Das Zyklotron

Das Zyklotron

Abbildung 1: Schematischer Aufbau In einem Zyklotron wird ein, in einer Io-

nenquelle erzeugtes, positives Ion, meist Pro- ton in dem elektrischen Feld zwischen den D-f¨ormigen Dosen beschleunigt. Diese Dosen sind hohle Metallhalbzylinder, die senkrecht von einem starken Magnetfeld durchsetzt wer- den. Wenn die Ionen sich in diesen Do- sen befinden, dann sind sie in einem fara- dayischen K¨afig und gewinnen keine kineti- sche Energie, werden aber auf eine Kreis- bahn gelenkt. Verlassen sie die Dose wer- den sie durch das zwischenzeitlich umgepolte E-Feld wieder beschleunigt. Das E-Feld wird technisch durch eine Wechselspannung reali- siert, welche mit der Frequenz f umgepolt wird.

Ansatz

FL =FZ → ^mv_r² =qvB

Abh¨angigkeiten

f ∼r und v ∼r und f ∼ _T¹

1. Je gr¨oßer die Geschwindigkeit v ist, umso gr¨oßer ist der Radius 2. Je gr¨oßer die Frequenz, umso kleiner die Umlaufdauer T

3. Da die h¨ohere Geschwindigkeit v mit einem gr¨oßeren Radiusr einhergeht ist die Umlaufdauer T konstant, d.h. das Umpolen der Spannung kann immer mit der gleichen Frequenzf erfolgen.

Spezielle Anwendungen

Siehe hierzu Abitur 2008 LK-Vorschlag 2: Aufgabe 1f

Wenn die Protonen sehr hohe Geschwindigkeiten erreichen, muss man relativistische Effekte ber¨ucksichtigen. Diese f¨uhren dazu, dass Teilchen mit einem Zyklotron obiger Bauart (auch bei ggf. vergr¨oßerten Abmessungen) nur auf eine bestimmte maximale Energie beschleunigt werden k¨onnen, weil sie, wie man sagt

”aus dem Takt“ geraten. Erkl¨aren Sie, welcher relativistische Effekt in diesem Fall eine entscheidende Rolle spielt. Erl¨autern Sie qualitativ, warum die Proto- nen ”aus dem Takt“ geraten und daher nur auf eine bestimmte maximale Energie beschleunigt werden k¨onnen.

1. Mit wachsender Geschwindigkeit v muss dynamische Masse ber¨ucksichtigt werden 2. Umlaufdauer gem¨aß T = ^2πm_qB^p nicht mehr konstant sondern w¨achst mit Masse

3. Protonen erreichen den Spalt nicht mehr zu dem f¨ur die optimale Beschleunigung g¨unstigsten Zeitpunkt, sondern kommen versp¨atet an

4. Werden weniger beschleunigt bzw. werden gebremst, wenn sie bei umgekehrter Polung der Wech- selspannung den Spalt erreichen → Maximum der Energie der Protonen vorhanden!

Aufgaben

Warum wird das klassische Zyklotron f¨ur Elektronen kaum verwendet?

(Das klassische Zyklotron funktioniert nur, solange die geladenen Teilchen keinen nennenswerten Massenzuwachs durch die Beschleunigung erfahren. Generell gilt, dass bei Geschwindigkeit von etwa ¨uber 0,1 c der Massenzu- wachs zu ber¨ucksichtigen ist.)

Ab welcher Beschleunigungsspannung muss der Massenzuwachs ber¨ucksichtigt werden?

(eU =¹₂mv²→U = 2.6kV)

Zeigen Sie, dass die Umlaufdauer im Zyklotron unabh¨angig vom Radius der Kreisbahn ist.

Ansatz: FL=FZ

Zus¨atzlich: v= ^s_t undU = 2πr v=^s_t →v=^U_t =^2πr_t

vt= 2πr t= ^2πr_v

Daraus folgt, dass f¨ur die Umlaufdauer gilt:T =^2πr_v →F¨ur einen Halbkreis gilt: t= ^πr_v