Über den Zusammenhang der Perioden quadratischer Formen positiver Determinante mit der Zerlegung einer Zahl in die Summe zweier Quadrate

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Doctoral Thesis

Über den Zusammenhang der Perioden quadratischer Formen positiver Determinante mit der Zerlegung einer Zahl in die Summe zweier Quadrate

Author(s):

Frick, Heinrich Publication Date:

1918

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091768

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Über den Zusammenhang der Perioden

quadratischer ^Formen positiver Determinante mit der Zerlegung einer Zahl in die Summe

zweier Quadrate.

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

nir Erlangung ^der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt ^von

HEINR.

FRICK,

diplom. ^Fachlehrer

aus Zürich und Maschwanden

.„. Referent: ^Herr Prof. Dr. A. Kurwitz.

Korreferent^: Herr Prof. Dr. L. Kollros.

ZÜRICH 1918 Druckvon Aschmann & Scheller.

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Meinen lieben Eltern.

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§

^1.

Zeichenerklärungen

^{und Sätze aus der Theorie der}

quadratischen

^{Formen mit}

positiver

Determinante.

Wir

legen

^unsern

Untersuchungen

^die

ganzzahlige quadratische

^Form

/ ^{= ax2} + ² bxy ⁺

cf~

(1)

zu Grunde und bezeichnen sie, ^wie üblich,

symbolisch

^mit / ⁼

(a,

b, c).

Dieser

quadratischen

Form ordnen wir die

quadra¬

tische

Gleichung

^zu

ax2 + ^2bx + ^{c =} o, (2)

deren Wurzeln

— b ^—

y~zr

_

— b +

fïï

sind, co wird als erste, y als zweite Wurzel der quadra¬

tischen Form bezeichnet, ^ihre Determinante D ⁼ b2— ac

als positiv ^{und nicht}

quadratisch

vorausgesetzt,

y

^{D be¬}

zeichnet den positiven ^{Wert der Wurzel.}

Unterwerfen wir dieForm (1) ^der

ganzzahligen

^Trans¬

formation:

x = ax' -f

ßy'

y ⁼ yx' 4- oy',

so erscheint die Form

/'

^{= a'x'* -+-} 2b'x'y' + c'/2 ⁼ (a\ b\ d), ^wo cC ⁼ aa2 -\- 2bay

\

^cf2

b' ⁼

aaß

+ ^b

(ad

-f

/?rj

+ er»

c' ⁼

aß2

^{4- 2}

6j3d

-f- <reK

Wir beschreiben diesen

Vorgang

^{abkürzend durch die.}

symbolische Gleichung

^: (a, b,

c)

^{S =} (a', b', c'),

— 6 ^-

wo S die Substitution

S ⁼

(a ^ß\

\r à)

ist. Oder /^{S =} /'.

Die Determinante dieser Substitution sei immer

a

ß

⁼ 4-1,

r 8 also S unimodular.

Wirwerden ferner

folgende

DefinitionenundSätze^ver¬

wenden:- »

Definition 1 : Die Form /' heißt zur Form /

aequivalent,

wenn / ^{5 —} /',

symbolisch

^:

/

^oo /'.

Satz 1: Die

Beziehung

^der

Hequivalenz

^ist gegenseitig, d. h. aus/ ^co /'

folgt

^auch

/'

^oo/.

Satz 2:

Äequivalente

Formen haben

gleiche

Determinanten.

Sämtliche zu / aequivalenten ^{Formen bilden ein}

System,

^{wir nennen es eine Klassevon Formen.}

Je

^zwei Formen einer Klasse sind aequivalent.

Der Teiler der drei Zahlen _a, 2b, ^{c wird} mit a, der¬

jenige ^{der drei Zahlen} a, b, ^c mit r bezeichnet. Sind w

und r

gleich

1, ^{so nennen wir die} Form {a, b, c)

eigentlich

primitiv.

Satz 3:

Äequivalente

Formen besitzen dasselbe a und dasselbe r.

Satz 4: Ist f ^S =/',

... ato'

4 ß

, ,. ^,

so gilt ^{w =} —, ^. , symbolisch ^{w co co}

oder (ü ⁼ S

o>',

aj

^4-

ß

^{... ,}

f ⁼

rv> ^{J- § >} symbollsdl V ^o° V oder fj ^{= 5}

rf.

— 7 ^—

Satz 5: Damit die

Gleichung

/ ^{S =} /' bestehe, ^{ist not¬}

wendig ^und hinreichend, ^daß

a (0

D ⁼ D', ^{to = ' ,} 7} ⁼

•4-

j3

__

a_^

y ^a> -+- d ^' T

y'

^{+ o"}

Definition 2: Die Form / ^heißt reduziert, ^wenn

\o)\

^{> 1} ,

|3f|<l,cu.3f<0,

^{oder, was auf}

dasselbe hinauskommt, wenn

f~D~-\-

^{b >}

\a\

^>

iW—

^{b > o.}

Für die reduzierten Formen

gelten

^{die Sätze:}

Satz 6: Die äußern Koeffizienten einer reduzierten Form (a, b, c), ^{also a und} c, haben entgegengesetzte

Vorzeichen,

der mittlere Koeffizient ist positiv ^und kleiner als

/

^D.

Satz 7: Zu

gegebener

Determinante D

gehört

^{nur eine} endliche Anzahl von reduzierten Formen.

Satz 8: Die beiden Formen (a, b, c) ^und (c, b,a) ^{sind ent¬}

weder beide oder keine von beiden reduziert. Sie heißen Gefährten.

Satz 9: Mit der Form {a, b, c) ^{sind auch die beiden} Formen (—a, b, —c) ^und {—c, b, —d) ^reduziert.

Definition 3: Die Form («', ^b', a") heißt rechter Nachbar der Form (a, ^b, a'), ^{falls b' = — b} (mod a') ^ist und beide Formen dieselbe Determinante haben.

(a,b,ä) heißt dann linker Nachbarvon (ä, b\ a").

Nachbarn sind einander

aequivalent.

Satz 10: Zu jeder reduzierten Form

gibt

^{eseinen und nur}

einen rechten, ^{sowie einen und nur einen linken} Nachbarn, der wieder reduziert ist.

Bilden wir den rechten Nachbarn einer reduzierten

Form,

^von dieser wieder denrechten

Nachbarn,

^{und so} fort,

so erhalten wir wegen der Endlichkeit der Anzahl von re¬

duzierten Formen einer Determinante eine Periode.

— 8 ^—

Satz 11 : Die Anzahl der FormeneinerPeriode ist

gerade.

Ist 2n diese Anzahl, ^{und die Periode}

—/o>/l>/2»

^•• fh, ^••• fan—1, J2n, ^—f2n+h, ^• ,

SO ist fh ⁼

fzn

+ h.

Satz 12: Die Anzahl der Perioden einerDeterminante ist endlich.

Satz 13: Zwei

Formen,

^{die dieselbe Periode} liefern, ^sind

aequivalent.

Satz 14: Zwei reduzierte Formen sind dann und nur dann aequivalent,^{wennsie derselben Periode}

angehören.

Insbesondere stützen wir uns auf den Satz:

IsteineZahlm durch eineForm {a,b,c) darstellbar, d.

h.,

^{istm —ax2+2}bxy+

cy2,

^{wo x}

und/

ganze Zahlen bedeuten, ^{so ist sie} auch durch alle dieser Form

aequivalenten

^Formen darstellbar.

§

^2.

Zusammenhang

^{zwischen der}

Darstellung

^einer

Zahl als Summe zweier Quadrate ^{und den}

quadra¬

tischen Formen positiver Determinante.

Bei der

Aufgabe,

^alle

Darstellungen

^einer gegebenen Zahl D als Summe zweier

Quadrate,

D = a2 + b2,

zu bestimmen, ^{darf man} sich bekanntlich auf solche Dar¬

stellungen beschränken,

^{in denen a und b keinen}

gemein¬

samen Teiler besitzen. Wir nennen sie

eigentliche

^Dar¬

stellungen.

Besitzen nämlich ^a und b den

größten

gemeinsamen Teiler

k,

^{so muß )2 in D enthalten} sein, ^{und es wird:}

^

^-

("f J+ (ff

eine

eigentliche Darstellung

^von -^- sein.

— 9 ^—

Wir sehen hieraus, ^{daß die}

Bestimmung

^{aller Dar¬}

stellungen

^{auf die von}

eigentlichen Darstellungen

^zurück¬

kommt.

Wir wollen deshalb voraussetzen, ^daß die beiden Zahlen ^a und ^b teilerfremd sind. Ferner können wir ver¬

langen,

^{daß a}

ungerade

^{ist und a und b}positiv sind, ^ohne

unsern

Untersuchungen

^eine

Einschränkung aufzuerlegen.

Setzen wir jetzt ^{eine solche} eigentliche

Darstellung

a, b von D voraus, fassen die positive ^{Zahl D als Deter¬}

minante

quadratischer

^Formen auf, ^{so isteine Formdieser} Determinante

(a, b, —a).

Sie ist, da ^a und b teilerfremd und ^a

ungerade

^vor¬

ausgesetzt wird,

eigentlich

primitiv.

Und,

^{da sie die Be¬}

dingungen

der Reduziertheit

fôM^ô2

^{+ b >}

\a\

^>

ia2

^{+b2 — b > o (Seite 7)}

offenbar erfüllt, auch reduziert.

Der Einfachheit _wegen wollen wir die beiden Dar¬

stellungen,

^{in denen b}

gerade

^{Zahl sei:}

D ⁼

(af

^4- (bf ^{und D =}

(—af

⁺ (bf und, ^{wenn auch b}

ungerade

ist, ^{die 4}

Darstellungen:

D ⁼ a2-\-b2 ⁼ (-a)!+^{Ää = b% + a2 =} (—bf+^a2 als eine einzige ^auffassen.

Demgemäß entsprechen

^einer

Darstellung

a, b zwei oder vier voneinander verschiedene

eigentlich

primitive ^{Formen der Gestalt} (A, B, —A).

Sei nämlich

1) ^D ungerade.

Da a

ungerade

ist, ^{muß b}

gerade

^sein.

Die

entsprechenden

Formen sind daher (a, b, —a), (—a, b, ä).

Denn die Formen {b, a,

—6),

{—b,a, b) ^{sind nicht}

eigentlich

primitiv ^{und fallen deshalb außer Betracht.}

— 10 ^—

Sei

2) ^D

gerade.

Dann müssen a und b

ungerade

sein, ^{es treten des¬}

halb die Formen auf

(a, b, —a), {—a, b, a), {b, a, —b), {—b, a, b).

Um nun die

eigentlichen Darstellungen

^{einer Zahl D}

zu untersuchen, ^{wollen wir} die diesen

Darstellungen

^ent¬

sprechenden

^{Formen und deren Perioden} untersuchen. Und

zwar müssen wir aus der

Betrachtung

^{aller Perioden}

eigentlich

primitiver ^{Formen der} Determinante D alle

eigentlichen Darstellungen

^{der Zahl D} erhalten, ^{da alle} Formen der Gestalt (A, B, —A) ^reduziert sind, ^{wenn B} positiv ^ist.

§

^{3. Sätze über das Geschlecht und die}

Komposition

von

quadratischen

^Formen.

Einer

Anregung

^{von Herrn}Professor Dr. R. Hurwitz

folgend,

^{werden wir die}

Untersudiung

^des

Zusammenhanges

der

Darstellung

^{der Zahlen als Summe zweier}

Quadrate

mit der Theorie der Formen positiver Determinante durch¬

führen auf Grund der Theorie ^der Geschlechter und der

Komposition

^{der Formen.}

Wir schicken deshalb die

hauptsächlichsten

^{Sätze dieser} Theorien hier _voraus, wie sie in den

Vorlesungen

^über

Zahlentheorie von P. G.

Lejeune

^Dirichlet (4.

Aufl.)

^ent¬

wickelt sind in den

Supplementen

^{IV und X.}

Das

Symbol ( )

^{hat den Wert +1, wenn n}

quadratischer

^{Rest von} p ist, —1, ^{wenn n}

quadratischer

Niditrest von p ist. Dabei bedeutet _{p eine}

ungerade

^Prim¬

zahl.

— 11 ^—

Satz 1: Ist jD eine

ungerade

^{in D}

aufgehende Primzahl,

so hat für alle durdi _p nicht teilbaren Zahlen _n, welche durch die Form (a, b, c) ^der Determinante D darstellbar sind, ^das

Symbol ( )

^{einen und}

denselben Wert.

Satz 2: Ist D⁼ 3 (mod 4), ^{so hat für alle}

ungeraden,

durch die Form

(a,

b, c) darstellbaren Zahlen n

der Ausdruck

(—1) ''s*"-1) einen und denselben Wert.

Satz 3: Ist D⁼2 (mod 8), ^so hat für alle

ungeraden,

^durch

dieselbeForm darstellbaren Zahlenn derAusdruck (—1) ^{''»f«2-1» einen} und denselben Wert.

Satz 4: Ist D⁼6 (mod 8), ^{sohat für alle}

ungeraden,

^durch

dieselbe Form darstellbaren ZahlenⁿderAusdruck (_1) ^{>M«-i) + 'M«2-i) einen und} denselben Wert.

Satz 5: Ist D=4 (mod 8), ^so hat für alle

ungeraden,

^durch

dieselbe Form darstellbaren Zahlenn der Ausdruck (—1) ^{Vi («-!)einen} und denselben Wert.

Satz 6: Ist D⁼0 (mod 8), ^{so hat füralle}ungeraden,^durch dieselbe Form darstellbaren Zahlen n jeder ^der beiden Ausdrücke (—l) ^{^(»-U und} (—l) ^{^(««-D}

für sich einen unveränderlichen Wert.

Auf diesen Sätzen beruht die

Einteilung

^der

quadra¬

tischen Formen einer

gegebenen

Determinante D in Ge¬

schlechter. Wir können uns nach dem letzten

Paragraphen

beschränken auf die

eigentlich primitiven

^{Formen und auf}

positive

Determinanten.

Bezeichnet man mit pv p2, ps, ^... alle von einander verschiedenen in D

aufgehenden ungeraden Primzahlen,

^so

— 12 ^—

hat für alle durdi eine und dieselbe Form (a, b, c) erzeugten Zahlen n

jedes

^der

Symbole

für sich einen unveränderlichen Wert. Istferner D nicht⁼ 1

(mod 4), ^so

gilt

dasselbe, je ^{nachdem D=3}

(mod 4),

^=:2

(mod 8),

^{== 6}

(mod 8),

^{= 4}

(mod 8),

^{= 0}

(mod. 8)

ist,

entsprechend

^{von demAusdruck}

(—

¹

)%(«-!), (—i) »M^-D, (_1)

>/,(«-i)

+»lg(*»-!), (_i)i/s(«-u

^{oder von}

jedem

^der beiden Ausdrücke

(—i)V2(«-i)

^Und

(— l)

^{^(^-i).}

Nach d^m ^{Ausfalldieser}

Werte,

^{die wir die Charaktere}

C nennen, werden alle

eigentlich

primitiven ^{Formen der¬}

selben Determinante in Geschlechter

eingeteilt,

^indem je

zwei Formen ^{in dasselbe} Geschlecht oder in zwei ver¬

schiedene Geschlechter

gerechnet

werden, je^{nachdemsie die¬}

selben oder verschiedene Charaktere aufweisen, ^{d. h. den¬}

selben Totalcharakter besitzen oder nicht. Da alle

Zahlen,

die durch eine Form

dargestellt

werden, auch durch die dieser

aequivalenten

^Formen

dargestellt

^werden können,

so gehören alle Formen ^{einer und derselben} Klasse auch in ein und dasselbe Geschlecht.

Offenbar sind alle Charaktere der

Hauptklasse,

^die

wir durch die Form

(1,

0, ^—

D)

^uns

dargestellt

^denken können, ^{-4- 1. Die} Formen, deren Charaktere wie die der

Hauptiorm

^sämtlich+1 sind, ^{bilden das}

„Hauptgeschlecht".

Den

Ausgangspunkt

^{für die}Theorie der

Komposition

bildet

folgendes

^Lemma:

Ist b b ⁼ D

(mod a)

^{und *' b' ==D}

(mod a'),

^haben

ferner die drei Zahlen a, a', ^b+b' keinen gemeinsamen

Teiler,

^so existiert in

Bezug

^{auf den Modulus a. a' eine}

und nur eine Klasse von Zahlen B, ^{welche den drei Be¬}

dingungen

genügen:

— 13 ^—

B^b

(mod a),

^{B= *'}

(mod a'),

^{BB= D}

(mod

^a

a').

Zwei binäre quadratische ^Formen

{a,

^b,

c), (a',

^b\

c')

von

gleicher

Determinante D sollen einig

heißen,

^wenn

die Zahlen a, d, ^b+ b' keinen

gemeinschaftlichen

^Teiler

besitzen. Dann

folgt

^{nach dem}

Vorhergehenden

^{die Exi¬}

stenz von unendlich vielen Formen

{aa',

^B,

C)

^derselben

Determinante D, deren mittlere Koeffizienten B den Be¬

dingungen

^{B =b}

(mod a),

^{B^ b'}

(mod a')

genügen.

Jede

^solcheForm

^(a

a', B,

C)

^{heißt aus den beiden Formen}

(a,

^b,

c)

^und

(a',

^b',

c)

zusammengesetzt,^oder

komponiert.

Für diese

„Komposition"

^{der Formen}

gilt

^der Fundamentalsatz: Sind die beiden einigen ^Formen

(a,

^b,

c),

(a',

b',

c)

resp.

aequivalent

^{den beiden}einigen ^Formen (m, n,

l),

^{{m!, n',}

/'),

^{so ist auch die aus den beiden}

ersten zusammengesetzte^Form (aa', B, C)

aequivalent

der aus den beiden letztern zusammengesetzten ^Form {mm', N,

L).

Aus dem allgemeinen ^{Satz: Sind}

(a,

^b,

c),

(a', b',

c')

zwei einige ^{Formen mit den Teilern} o, a\ ^{so ist aa' der} Teiler der aus ihnen zusammengesetzten ^Form {aa', B,

C), folgt,

^{daß die aus zwei}

eigentlich

primitiven ^{Formen kom¬}

ponierten ^{Formen wieder} eigentlich primitiv ^{sind. Und}

aus dem Fundamentalsatz entnehmen wir vor allem die

Tatsache,

^{daß wir aus der}

Komposition

^{von Formen einer} Klasse K mit Formen einer Klasse K' Formen_{einer ganz} bestimmten Klasse ß erhalten, ^{die wir}

symbolisch

^mit

ft ⁼ KK' ⁼ K'K bezeichnen. Ferner

gilt:

(KK)

^{K" =}

{KK")

^{K' =}

(K' K")

^K.

Für unsere

Untersuchungen

werden zudem

folgende

Sätze von Nutzen sein:

_ 14 ^—

Die

Hauptîorm

(1,0, ^—

D)

^ist

einig

^mit

jeder

^Form (a, b, c) ^derselben

Determinante,

^{und die}

Komposition

beider Formen

ergibt

^{dieselbe Form}(a, b,

c).

^DurchKom¬

position

irgend

^{einer Klasse K mit der}

Hauptklasse

^ent¬

steht immer die KlasseK,

symbolisch,

^{wenn wir die}

Haupt¬

klasse mit 1 bezeichnen:

1 K= K

Ist die Form {a, b, c)

eigentlich

primitiv, ^{so ist sie} einig ^{mit der Form}

(c,

b, ä), ^{und aus beiden ist die Form} (ac, b,

l) komponiert.

^Da (ac, b, 1) ^oo (1, 0, ^— D) ist,

so gilt ^{der Satz:}

Die

Komposition

^{von zwei} entgegengesetzten

eigentlich

primitiven ^{Klassen ff und ff'}

ergibt

^die

Hauptklasse:

ff ff ⁼ 1.

Den

Zusammenhang

zwischen den Geschlechtern der Klassen K und K' ^{mit dem} Geschlecht der hieraus kom¬

ponierten ^{Klasse KK' erhellt} folgender ^{Satz: Sind s, e'} die Werte eines Charakters _{C resp.} für die Klassen K und K, ^{so ist C = ee' für die} Klasse KK-

Somit

gehört

jede ^Klasse Q, die durch die

Kompo¬

sition einer Klasse mit sich selbst entsteht, ^dem

Haupt¬

geschlecht

^an.

Umgekehrt gilt

^{der Satz:}

Jede

^{Klasse des}

Hauptgeschlechtes

^{entsteht durch}

Duplikation,

^{d. h. durch die}

Komposition

^{einer Klasse mit}

sich selbst.

- 15 ^—

§

^{4. Der}

Grundgedanke

^unserer

Untersuchungen.

Mit K bezeidinen wir

irgend

^{eine Klasse}

eigentlich primitiver

^{Formen der} positiven Determinante D oder deren

Formenperiode,

^{durch die sie} repräsentiert wird, K ^{= -}

(a,

b, ä), («', b', a"), ^...

(a«2-1),

^b

(«»-D, a),

^{... I.}

Unter K~1 ^{verstehen wir die}

Klasse,

^{die alle Ge¬}

fährten der Klasse K enthält, ^{oder deren Periode:}

K-1 ^{= ...} («', *, a),

(a, *e»-D, fl(2«-i)),

^... (a», b",

a%

^{... II.}

Endlich sei © die Klasse der Form (—1, 0,

D).

Komponieren

^{wir die beiden Klassen K~l und}

^©,

^so

erscheint eine

Klasse,

^deren Periode offenbar lautet:

...(-a',bt-a),(-a,b^-^-a^-^),...(-a",b",-^),...,m.

symbolisch

^{mit ©/C-1} bezeichnet.

Wenn nun in der Klasse Kdie Form

(a,

^b,

—a)

^vor¬

kommt, ^{so ist ihr Gefährte} (—a, b,

a),

^{und dieser mit} (—1, 0,

D)

komponiert,

ergibt

wiederum die Form (a, b,

—ß), ^{die beiden}Klassen /Cund/C_1@ ^{sind also} indiesem Fall identisch, ^{d. h. es ist}

K ⁼ ©/C-1.

Wir wollen diese

Gleichung

^{noch in andere Form} bringen.

Komponieren

^wir links und rechts mit K, ^{so er¬}

halten wir

/Cs ⁼ %KrlK.

Da aber K~1K ^{= 1 ist}

(Seite 14),

^{also die}

Haupt¬

klasse ergibt, ^{so wird}

K2 ⁼ ®.

Satz: Enthält die Periode

K^{= -} (a,b,ä), («', *',

a'%

^...

(a'2«-1», bV»~v,

a), ^...

eineForm der Gestalt(a, b, —a), ^so

gilt

^die

Gleichung

K} ⁼

©,

unter © die Klasse derForm (—1, 0,

D)

verstanden.

— 16 ^—

Es

gilt

^{nun audi die}

folgende

Umkehrung

^{dieses Satzes: Besteht für die} Klasse K ^die

Eigensdiaft

/C2⁼

@,

^{so enthält die Periode von K}

zwei und nur zwei Formen der Gestalt {a, b, —d).

Aus K2 ⁼ ©

folgt

^durdi

Komposition

^{mit /C_1:}

d. h. die Perioden von K und K~l ^© sind identisdi.

Es ^sei nun (p0 ^—

(a,

b, ä) ^{eine Form der Periode} K- Dannmuß audi die Form _<p/i ⁼ (—d, b, —a) ^indieser Periode auftreten, ^da ja ^{III mit} I zusammenfällt. Wir wollen diese beidenFormen einander

entsprechend

^nennen.

Und zwar sei fi< 2n, ^{wo 2« die} Anzahl der voneinander verschiedenen Formen der Periode K bedeutet. Da ^die Vorzeichen von a und —a' gleich sind, muß jjl eine

gerade

Zahl sein. (p1 lautet^: (a', b\ a"), ^ihre

entsprechende

^Form

ist (—a",b',—a'), somit linker Nachbarvon (p/_i, also ç^-j.

Ebenso sind Çh und (p/i-h

entsprechende Formen,

^{wo h <}p.

sein soll. Da die Zahl _fi gerade ist, wird zwischen _ç0 und

<Pfi ^eine Form

liegen,

die sich selbst entspricht, ^nämlich die Form <j?^, denn ^{für h = ~ wird} (fh ^{^} Çn~h- Diese

2

sich selbst

entsprechende

^Form ça kann nur die Gestalt

2

haben (a, b, —a).

Gehen wir anderseits von der Form _ipp zur Form

<Pfi+i, ^so

entspricht

dieser die Form ç>_i^{^}<p2n-i, der Form<Pn+h die Form _^2«-a. Diese beiden fallen_zusammen,

wenn fi + h ⁼ 2n—h ist, ^{also h= n}+

JL.

Audi die Form _<pn+£.

entspricht

^sich selbst, ^{auch sie ist} also von

2

der Gestalt (a, b, —ä).

— 17 ^—

Wir erhalten somit zwei voneinander verschiedene Formen der Gestalt (a, b, —à) ^{in einer} Periode, ^nämlich (pji und <Pt+n, ^sie

liegen

^{in der Periode offenbar um n}

2 2

Formen voneinander.

Beispiel

^:

Für D ⁼ 205 ist für die Klasse

K ^{= ...} _<Po ⁼

(3,

13, -12), ify ⁼ (-12, 11, 7),

<p,

=(7,10,-15),

9a⁼(—15,5,12), p4 ⁼ (12,7,-13),

<Pö =(—13,6,13), <p6 =(13,7,-12), cp7 =(-12,5,15), Çs =(15,10,-7), <p9 =(-7,11,12), <p10=(12, 13,-3),

<plt= (-3,

14,3),

^...

unsere

Voraussetzung

erfüllt, ^wie unmittelbar ersicht¬

lich ist.

In diesem Fall ist:

ç,⁼ (3, 13, -12) çv ⁼ <?10 ⁼⁼ (12, 13, —3) ç>! ⁼

(-12,

11, 7) ?„_, ^{= 9, =} (-7, 11, 12)

<pi ⁼ (12, 7, -13) _fy^ ⁼ 9„ ⁼ (13, 7, —12)

05 ⁼ çj10_B ⁼ (—13, 6, ^-4- 13).

Ferner: _W/u+i ⁼ _9n ⁼ (—3, 14,3) ⁼ <J>2«-i ⁼ Çn.

Die 2. Form der Gestalt

{A,

^B, —A) ^{muß von der}

ersten um n⁼6 Formen _weg liegen, sie ist also ç?0+^«= 9u ⁼ (-3, 14, 3).

Aus dem letzten Satz gewinnen ^{wir den}

Weg,

^um

alle

Darstellungen

^{einer Zahl D = a2} -f ^{ô2 zu} finden, ^die alle

eigentlich

^{sind und in denen a}

ungerade

^{Zahl ist.}

Umalle

eigentlichen Darstellungen

^D=a2+b2

zu bestimmen, ^{suche man alle Klassen}

eigentlich

primi- tiver Formen der DeterminanteD, ^{welche die}

Gleichung

K* ⁼ ©

befriedigen

^{und bestimme zu}

jeder

dieser Klassen K die

zugehörige

^Periode. Jede dieser Perioden enthält

— 18 ^—

zwei Formen der Gestalt

(a,

ft,

—a),

^{von denen}

jede

eine

Lösung

^der

Gleichung

^{D = a3}

-fft2

^mit

ungeradem

a und

positivem

^b

ergibt.

Auf diese Weise erhält man

jede eigentliche

^Dar=

Stellung

^{von B in der} Form ^a2-+- ft2, ^{welche der Be¬}

dingung

^{b > 0, a == 1}

(mod 2) genügt.

§

^{5. Die}

Lösung

^der

Gleichung

^{K2 =$.}

Die Lösbarkeit der

Gleichung

^{K2 — ©}

bedingt

^nach S. 14, ^daß © dem

Hauptgeschlecht angehört.

Die Zahl ^—1 ist nun durch die Formen der Klasse

© sicher darstellbar, ^{denn aus der Form} (—1, 0, D) ^er¬

halten wir die

Darstellung

^{x —} 1, y ⁼ Q für —1. Wir finden also das Geschlecht von ®, indem wir die Werte:

(

^— ! ^-

(—j

^.

(—-],...(—1>"

untersuchen,^wopvp2,...

die

ungeraden

^{in D} vorkommenden Primzahlen sind, ^und /( verschiedene Wertehat, je^{nachdem D==}0,1, ^{... 7} (mod⁴ oder 8) ist, ^{nach den Sätzen in} § ^3.

©

gehört

^dem

Hauptgeschlecht

an, ^wenn alle diese Charaktere + ^{1 sind.} Nun ist ^—1

quadratischer

^Rest

aller Primzahlen von der Form 4x-f-1. D muß also die Form D ⁼ 2a. p^1.

/>2"2.

p3a3 ^... besitzen, ^{wo die Prim¬}

zahlen _pv p2, Po, ^•-. alle von der Form 4x-+-1 sind. Die Werte (^—1)*" ^bestimmen noch den

Exponenten

^a:

1) ^{a =} 0, ^{also D = 1} (mod 4). ^Die einzigen ^Be¬

dingungen

^I

)

^{==- —I—1} sind erfüllt.

— 19 ^—

2) ^{a =} 1, ^{D = 2} (4 xx -4- 1) (4 x2 -+- 1) ^{... = 2} (mod 8), ^{es muß also} (—

l)1'»««2-1^

^{-4- 1 sein îiir n=}—1,

was erfüllt ist.

3) ^{a =} 2, ^{Z)= 4} (mod 8). ^{Es müßte}

(—l)

^{^(»-D}

= -4-1 sein, ^{was nicht erfüllt ist für n = — l.}

4) ^{a =} 3, 4, ^{... D= 0} (mod 8). ^Die

Bedingung

(—

l)1^"-1)

^{— -4-1 ist für « = —1} wiederum nicht erfüllt.

Somit

ergibt

^{sich der}

Satz^: Die Klasse ©

gehört

^dem

Hauptgeschlecht

an, ^wenn D ⁼ 2a. pj"1. p2aK p^ ^... , wo a⁼ 0 oder 1 und die

ungeraden

^Primzahlen /7j, p2, pz, ^{... von} der Form _4*4-1 sind.

Diese

Bedingung

^{ist für die Lösbarkeit von K2=©} notwendig. ^{Sie ist auch} hinreichend, ^{da nach Qauß} jede Klasse, ^{die dem}

Hauptgeschledit angehört,

^durch

Dupli¬

kation entsteht.

Aus den §§4 ^{und 5 erhalten wir damit den}

Fundamentalsatz:

Alle und nur die Zahlen von der Form D ⁼ 2a. pj"1.

p2aK

p3"s ^... , wo a ⁼ 0 oder 1 und die

ungeraden

Primzahlen pltp2, ps, ^...

von der Form 4x4-1 sind, ^{können in die} Summe zweier zueinander teilerfremder Qua¬

drate

zerlegt

^werden.

Dieses Resultat steht im

Einklang

^{mit denausder}

Theorie der

quadratischen

^{Formen mit} negativer ^Deter¬

minante

folgenden

^{Sätzen über die}

Darstellung

^einerZahl

durch die Form ^x2

-\-

^y2.

— 20 ^—

§

^5.

Zusammenhang

der Klassen K, ^{welche die}

Gleichung

^{K2 —®}

befriedigen.

Für die

eigentlidi

^{primitiven Klassen Kund K mögen}

die

Gleichungen

KK ⁼ K' K' ⁼ ©

gelten.

In welchem

Zusammenhang

^{stehen K und K' ?} Sei A die aus der

Gleichung

K ⁼ AK

bestimmte

Klasse,

^{also A = K}K~x- ^Dann

folgt

^aus K>2 ⁼ A2 K2 ⁼ K2:

A* ⁼ 1;

d. h., ^{A ist eine} zweiseitige

eigentlidi

primitive ^Klasse.

Umgekehrt:

^{Ist A eine} zweiseitige Klasse,

eigentlidi

primitiv, ^so

folgt

^aus

K ^{= A}K und K2 ^{— ©} audi die

Gleidiung

K2 ^{= ©•}

Die Klassen K, K', K", ^... W'** ^{seien alle von¬}

einander versdiiedene

Lösungen

^der

Gleichung

^{K2 =}

®,

dann erhalten wir r ^— 1 einander nidit aequivalente Klassen A:

A,K=

^K', A2K= K", ^... Ar-x ^K= K^l).

Nehmen wir nodi die

Hauptform

(1,0, —D) ^{als Ar} hinzu, ^die ja ^{audi eine}

zweiseitige

^{Klasse ist, sodaß Ar K}

= Kwird, ^{so sind diese Formen}

Av A2,

^{... Ar einander}

nidit

aequivalente eigentlidi primitive

zweiseitige- ^Formen der Determinante D, und

jede eigentlidi

primitive ^zwei¬

seitige ^{Form der} Determinante D ist einer von diesen

aequivalent,

^{da wir} vorausgesetzt haben, ^{daß die Klassen} K> K', ^— K(r~^ ^alle voneinander versdiiedenen

Lösungen

der

Gleichung

K2 ^{= ® sind.}

— 21 ^—

Sei also eine Klasse K

gegeben,

^{z. B. durdi eine} Form (a, b, —a), ^sodaß /<C2 ^— © ist, ^{so erhalten wir} durdi

Komposition

^{dieser Klasse mit} allen einander nidit

aequivalenten eigentlidi

primitiven zweiseitigen ^Klassender Determinante Dalle voneinander versdiiedenenKlassenK, und damit alle

möglidien eigentlidien Darstellungen

^der

Zahl D durdi die Summe zweier

Quadrate.

Esist also unsere nädiste

Aufgabe,

^{für eine}

gegebene

Determinante D alle einander nidit aequivalenten

eigentlidi

primitiven zweiseitigen ^{Klassen zu} bestimmen. Es ist aber einîadier,

vorläufig

^{die sämtlichen} zweiseitigen ^{Formen zu} suchen.

In

jeder

zweiseitigen ^{Klasse ist immer mindestens}

eine

zweiseitige

^Form (a, b, c) vorhanden, ^{also eine}

Form,

für die 2 b durch ^a teilbar ist. Entweder ist nun schon b, oder nur 2 b durdi a teilbar. Diesen Fällen

entsprechend

ist die zweiseitige ^Form (a, b, c)

aequivalent

^zu (a, 0, —) resp. (2b, b,

-^-)

(Diridilet,

§ 153).

Die Formen (2b, b, _ , ) ^{kommen für uns niditin}

2b

Betracht, ^{da dann D== 3} (mod 4) ^{oder D = 0} (mod 4)

sein muß, ^{unser D aber = 1 oder = 2} (mod 4) ^ist.

Es verbleiben für uns somit nur die Formen (a, 0,

),

^wo

(a,

) ^{= 1 sein soll. Deren}

gibt

^es 2F+V+1, ^w0 ^ djc Anzahl der voneinander verschiedenen

ungeraden

^{Primzahlen ist, die in D}

aufgehen,

^{und v =0,}

wenn D

ungerade,

^{v— 1, wenn D}

gerade

^ist. Eine Hälfte hat

negative,

^{die andere}

positive

^erste Koeffizienten.

Es

fragt

^sich nun, ^was fürverschiedene Klassen diese

zweiseitigen

^Formen repräsentieren.

— 22 ^—

Von zwei Formen (a, 0, ä) ^und (a', 0, ä), ^{wo a und}

a' immer relativ prim sind, ^ist ersichtlich, ^{daß sie durch} die Substitution L „ ineinander

übergehen,

^{also ein¬}

ander

aequivalent

^{sind. Es} genügt

also, diejenige

^{von den} zweiseitigen ^Formen beizubehalten, ^{deren erster} Koeffizient der kleinere ist, ^{dessen absoluter}

Betrag

also kleiner als

i~D~

^ist.

Unter diesen Formen

gibt

^{es nun noch} ebensoviele mit positivem ^{wie mit} negativem ^ersten Koeffizienten.

Jeder

^{dieser Formen} entspricht ^{eine und nur eine}

aequivalente

zweiseitige ^Form (a, b', c'), ^{für die b' -= 0}

(mod

a) und zudem die

Bedingung

0 <

f~D~—

^{b' <}

\a\

erfüllt ist. Da

\a\

^<

y

^{D nach unserer}

Voraussetzung,

muß b' positiv sein, ^{und somit ist auch}

\a\

^<

^D-\-b\

die Form {a, b', c') ^{also reduziert.} (§ 1, Definition 2.) Und zwar muß jede zweiseitige reduzierte Form not¬

wendig ^{eineunserer so} berechneten zweiseitigenreduzierten Formen sein. Ist nämlich (a, b, c) ^eine solche, ^{so muß}

\a\

^<

y

^D sein,^{da bdurch a teilbar} ist, ^{alsoist diese Form}

aequivalent

^{der Form} (a, ^0,a'), ^{die eine unserer Formenist.}

Wir erhielten im ganzen 2""+,+1 zweiseitige ^Formen (a, 0, a'), die

eigentlich

primitiv sind, ^{in denen also} (a, a')

= 1 ist. Hievon haben wir alle

wegfallen

lassen, ^{in denen}

\a\

^<

y

^D ist, ^{also die} Hälfte, es verbleiben noch 2/J,+v- Da nun in

jeder

zweiseitigen ^{Klasse zwei} voneinander verschiedene reduzierte

zweiseitige

^Formen auftreten1), ^ist die Anzahl der Klassen A und der Klassen K: 2'l+v~1-

i) Dirichlet, §78,Hnmerkung.

— 23 ^—

Beispiele:

1) ^D= 13, fi ⁼ 1, ^{v = 0.}

Die

zweiseitigen

^{Formen (a, o,} ä)- ^sind:

(1,0,-13), (-13,0,1), (-1,0,13), (13,0,-1), also 2fl+v+1 ⁼ 4.

Wegen

^der

Bedingung \a\

^<

]/

¹³ verbleiben:

(1, 0, —13), (—1, 0, 13), ^also 2^+" ⁼ 2.

Die diesen beiden

aequivalenten

reduziertenzwei¬

seitigen ^{Formen müssen nun in ein und} derselben Pe¬

riode aultreten, ^{es ist} ja 2"+"_1 ^{= 1.}

Zu

(-j-1,

^0, —13) ^ist

aequivalent

(1, 3, —4), ^da

o <

yiä"—

^{3 < 1.}

Zu (—1, 0, 13) ^ist

aequivalent

(—1, ^3, 4).

Die Periode ist: ^... (1, 3, —4), (—4, ^1, 3), (3,2,-3), (-3,1,4),

(4,3,-1), (-1,3,4),

(4, 1, -3), (-3, 2, 3), (3, 1, -4), (-4, 3, 1), ^...

2) ^{D = 5.41 = 205.}

i~D~=

14, ^.. [i ⁼ 2, ^{v = 0.}

Die

zweiseitigen

^{Formen (a, 0, a') sind:}

(1,0,-5.41),

(5,0,-41),

(41,0,-5), (5.41,0,-1),

(-1,0,5.41),

(-5,0,41), (-41,0,5), (-5.41,0,1),

also 2^+v+l ⁼ 8.

Wegen

^der

Bedingung \a\

^{< 14, ..} verbleiben:

(1,0,-5.41), (5,0,-41), (-1,0,5.41), (—5,0,41), also 2^+" ⁼ 4.

Die

dazugehörigen

Perioden sind:

...(1,14,-9),

^(-9,13,4), (4,11,-21), (-21,10,5),

(5,10,-21),

(-21,11,4), (4,13,-9), (-9,14,1),...

...(-1,14,9), ^{(9,13,-4), (4-,11,21),} (21,10,-5),

(-5,10,21),

(21,11,-4), (-4,13,9), (8,14,-1),...

Also 2^+"-1 ^{= 2} Perioden.

— 24 ^—

3) ^{Z) =} 2.5.13 ⁼ 130. \ ^{D =} 11, ^.. ,« ⁼ 2, ^{v = 1.}

Die zweiseitigen ^{Formen sind:}

(2,0,-5.13),

(5,0,-2.13),

(13,0,-2.5),

(2.5,0,-13),

(2.13,0,-5),

(5.13,0,-2),

(2.5.13,0,-1),

(1,0,-2.5.13),

(-2,0,5.13),

(-5,0,2.13), (-13,0,2.5),

(-2.5,0,13),

(-2.13,0,5), (-5.13,0,2),

(-2.5.13,0,1),

(-1,0,2.5.13),

also 2^+"+1 ⁼ 16.

Wegen

^der

Bedingung |a|

^< 11, ^.. verbleiben:

(2, 0, —5.13), (5, 0, —2.13),

(2.5,

^0, —13), (1,0,-2.5.13), (—2,0,5.13), (-5,0,2.13), (—2.5,0,13), (-1,0,2.5.13), ^also 2^+v ⁼ 8.

Die

dazugehörigen

^{Perioden sind:}

...(2,10,-15),

(-15,5,7), (7,9,-7), (-7,5,15), (15,10,-2), (-2,

10, 15),

(15,5,-7), (-7,9,7), (7,5,-15), (-15,10,2),...

...(5,

10, -6),

^(-6,8,11), (11,3,-11), (-11,8,6), (6,10,-5), (—5, 10,

6),

(6,8,-11), (-11,3,11), (11,8,-6), (-6,10,5),...

...(10, 10, -3), (-3, 11, 3), (3, 10, -10), (-10, 10, 3), ^{(3, 11, -3), (-3, 10,} 10), ^...

...(1,

11,-9),

(-9,7,9), (9,11,-1),

(—1,11,

9),

^{(9,7, -9),} (-9, 11,1), ..., die Anzahlder Perioden 2>'+v-1 ⁼ 4.

4) ^{D = 2.53 == 250.}

i~D~=

15, ^.. _,« ⁼ 1, ^{v = 1.}

Die zweiseitigen ^{Formen sind:}

(1,0,-2.53),

(2, 0,

-53),

(2.53,0, -1),

(53,0,

-2), (—1, 0,

2.5s),

(-2, 0,

53), (—2.53,

0, 1), (—53, 0, 2), also 2^+"+! ⁼ 8.

Wegen

^der

Bedingung \a\

^< 15, ^.. verbleiben:

(1, 0,

-2.53),

(2, 0,

-53), (-1,

0,

2.53),

(-2, 0,

53),

^{also 2'l+v = 4.}

— 25 ^—

Die

dazugehörigen

^{Perioden sind:}

..(1,15,-25), (-25,10,6), (6,14,-9), (-9,13,9), (9,14,-6), (-6,10,25), (25, 15,-1), (-1, 15, 25), (25, 10,-6), (-6, 14, 9), (9, 13, -9), (-9, 14, 6), (6, 10,-25), (-25, 15, 1), ^...

,(2,14,-27),

(-27,13,3), (3,14,-18), (—18,4,13), (13,9, -13), (—13, 4, 18), (18, 14, -3), (-3, 13, 27), (27,14,-2),

(-2,14,27)

(27,13,-3), (-3,14,18), (18,4,-13), (-13,9,13), (13,4,-18), (-18,14,3), (3,13,-27), (-27,14,2), ^...,

also 2^+"-1 ⁼ 2.

§

^{7. Die} Zerlegung ^{einer Zahl in die} Summe zweier

Quadrate.

Nach dem Fundamentalsatz wissen wir, ^{daß dieZahl}

D

eigentliche Darstellungen

^{durch die Summe zweier}

Quadrate

gestattet, ^{wenn sie von der Form ist}

D ⁼ 2PPf"1 p<^ ^...p>cax> ^{wo v = 0 oder 1 und} pi eine

ungerade

^{Primzahl der Form 4x+ 1} bedeutet. Die vor¬

gehenden

Untersuchungen

^{weisen den}

Weg,

^{alle Darstel¬}

lungen

^{dieser Zahl zu erhalten: durch die}

Ausrechnung

der Perioden der

quadratischen Formen,

^{die dieser Zahl}

alspositiver Determinantezukommen, ^mit

Berücksichtigung

ihrer

Zusammenhänge

^{durch die} zweiseitigen Formen, ^am besten aus einer

Darstellung

^{mit Hilfe der}

Komposition

mit den zweiseitigen ^Formen.

Insbesondere

gelingt

es, mit Hilfe der Anzahl der in Betracht kommenden zweiseitigen ^{Formen die Anzahl der}

eigentlichen Darstellungen

^{zu finden.}