Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker Wintersemester 2011/12 08.02.2012

Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker

Wintersemester 2011/12 08.02.2012

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Matrikelnummer: ...

Bearbeitungszeit: 2 Stunden

Erlaubte Hilfsmittel:

• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)

• standardisierte Formelsammlung Statistik vom WS 11/12 in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter)

Nicht zugelassen sind:

• eigenes Papier

• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen

• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen

Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.

Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle f¨unf Aufgaben enth¨alt. ¨

Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!

Aufgabe 1 2 3 4 5

erreichbare

Punkte 20 20 20 20 20 100

erreichte

Punkte

Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht (jeweils 1 Punkt), und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 4 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.

1. Der Median ist ein Streuungsmaß. (5 Punkte) Richtig

Falsch Begr¨undung:

Der Median wird im MAD benutzt, also in einem Streuungsmaß.

Der Median ist ein Lagemaß.

Der Median ist ein Konzentrationsmaß.

Der Median ist ein Schiefemaß.

2. Zur Bestimmung einer mittleren Wachstumsrate wird das arithmetische Mittel benutzt. (5 Punkte)

Richtig Falsch Begr¨undung:

Wachstumsraten sind metrisch skaliert, daher ist das arithmetische Mittel ange- messen.

Wachstumsraten sind nur ordinal skaliert, daher kann das arithmetische Mittel nicht benutzt werden.

Wachstumsraten sind gar nicht skaliert, daher kommt das geometrische Mittel zur Anwendung.

Wachstumsraten werden durch Multiplikationen bestimmt, daher kommt das geometrische Mittel zur Anwendung.

3. Der Schiefekoeffizient nach Pearson basiert auf dem dritten Moment. (5 Punkte) Richtig

Falsch Begr¨undung:

Die Formel basiert auf dritten Potenzen der Abweichungen vom Mittelwert, die auch dritte Momente heißen.

Der Schiefekoeffizient misst die Symmetrie der H¨aufigkeitsverteilung.

Man unterscheidet drei F¨alle zur Beurteilung der Schiefe (>0, = 0, <0).

Der Schiefekoeffizient hat nichts mit Momenten zu tun.

4. Ist der Schiefekoeffizient deutlich kleiner als Null, so ist die Verteilung rechtssteil.

(5 Punkte) Richtig Falsch Begr¨undung:

In diesem Fall ist die Verteilung rechtsschief.

In diesem Fall ist die Verteilung linksschief.

In diesem Fall ist die Verteilung linkssteil.

In diesem Fall ist die Verteilung symmetrisch.

Eine Hotelkette hat unter anderem H¨auser in Berlin und M¨unchen. Beide Hotels arbeiten mit 10 Reiseveranstaltern zusammen, f¨ur die bestimmte Zimmerkontingente reserviert sind.

Durch diverse Sonderarrangements ergibt sich f¨ur jeden Veranstalter ein durchschnittlicher Ubernachtungspreis (X) pro Gast. In der folgenden Tabelle sind diese durchschnittlichen¨ Ubernachtungspreise f¨ur die 10 Veranstalter und die Hotels in den beiden St¨adten dargestellt.¨

Veranstalter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Berlin 100 120 200 130 140 180 100 210 130 140 M¨unchen 270 150 160 130 160 230 150 300 140 160

(a) Bestimmen Sie die arithmetischen Mittel und die Varianzen der durchschnittlichen Ubernachtungspreise in den beiden Hotels. Interpretieren Sie die berechneten Werte.¨ Sehen Sie hier ein Problem? Falls nein, warum nicht? Falls ja, wie k¨onnen Sie es l¨osen?

(10 Punkte)

(b) Betrachten Sie die Daten der beiden Hotels gemeinsam. In welchem Bereich sollten rund 95% der durchschnittlichen ¨Ubernachtungspreise liegen? (6 Punkte)

(c) Im oben dargestellten Beispiel liegen nicht rund 95% der beobachteten Werte in diesem Bereich, sondern 90%. Woran kann das liegen? (4 Punkte)

Hinweis:

Geben Sie in (a) und (b) zun¨achst die allgemeinen Formeln an.

Nutzen Sie zur Berechnung die folgenden Hilfsgr¨oßen:

P10

i=1xi,Berlin= 1 450, ^P10_i=1xi,Munchen¨ = 1 850,

P10

i=1x²_i,Berlin= 2239 00, ^P10_i=1x²_i,Munchen¨ = 374 100

Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf vier Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 3 (20 Punkte)

In der Vorlesung haben Sie vier Typen statistischer Kenngr¨oßen kennengelernt, mit denen Sie eine H¨aufigkeitsverteilung charakterisieren k¨onnen.

(a) Nennen Sie zwei dieser Typen und beschreiben Sie, welche Eigenschaft der Verteilung von diesen Gr¨oßen jeweils gemessen wird. Antworten Sie bitte kurz in Stichworten! (6 Punkte)

(b) Angenommen, Sie wollen untersuchen, ob zwei Gruppen von Angestellten eines Hotels (z.B. K¨uchenhilfen und Bedienungen) vergleichbare Geh¨alter erhalten. Welche zwei Arten von Kenngr¨oßen ziehen Sie zuerst f¨ur diesen Vergleich heran? Begr¨unden Sie Ihre Wahl stichwortartig. (14 Punkte)

Auch in der Hotelbranche spielt das Energiesparen zunehmend eine wichtige Rolle, sowohl f¨ur die Wirtschaftlichkeit als auch f¨ur die (Werbe-)Wirkung auf die G¨aste. Eine Untersuchung in 15 Hotels ergab die in der folgenden Tabelle dargestellten Beobachtungen. Dabei beschreibt die VariableX die Anzahl der im Hotel innerhalb der letzten 5 Jahre vor der Untersuchung durchgef¨uhrten Maßnahmen zum Engergiesparen, Y beschreibt die relative Umsatzver¨ande- rung ein Jahr nach Abschluss der Maßnahmen (Jahr der Untersuchung) im Vergleich zum Vorjahr.Z ist eine Messung der G¨astezufriedenheit, bei der im Jahr der Untersuchung jeder Gast seine Zufriedenheit mit dem Hotel auf einer Skala von 1 (= sehr zufrieden) bis 5 (= gar nicht zufrieden) angegeben hat. Die in der Tabelle ausgewiesenen Werte stellen den Median dieser Zufriedenheiten ¨uber alle G¨aste des Untersuchungsjahres dar.

Beobachtung 1 2 3 4 5 6 7 8

Anzahl energiesparender Maßnahmen X 3 5 2 1 1 3 5 1

Umsatzver¨anderung Y 0.8 0.9 -0.1 0.0 -0.3 0.3 0.8 -0.2

Zufriedenheit der G¨aste Z 2 1 4 5 4 2 1 5

Beobachtung 9 10 11 12 13 14 15

Anzahl energiesparender Maßnahmen X 4 2 4 4 2 1 6 Umsatzsteigerung Y 0.7 0.0 1.1 0.6 -0.1 -0.5 1.4

Zufriedenheit der G¨aste Z 1 3 2 2 3 3 1

(a) Die Hoteliers interessiert nat¨urlich, ob sich mit der Anzahl energiesparender Maßnah- men auch der Umsatz erh¨oht hat. Um diese Frage zu beantworten, soll zun¨achst der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson berechnet werden. F¨uhren Sie die Berech- nung durch und interpretieren Sie das Ergebnis sowohl formal als auch inhaltlich. (11 Punkte).

(b) Auf welche Maßzahl w¨urden Sie zur¨uckgreifen, um die Frage zu beantworten, ob die Zufriedenheit der G¨aste mit der Anzahl der durchgef¨uhrten energiesparenden Maßnah- men steigt? Begr¨unden Sie kurz Ihr Urteil. (5 Punkte)

(c) Die Daten aus der oben angegebenen Tabelle lassen sich durch Klassierung auch in Form einer Kontingenztafel darstellen. Damit ließe sich auch der korrigierte Kontin- genzkoeffizientK^∗ berechnen. Warum eignet sichK^∗ dennoch nicht, um die Frage aus (b) zu beantworten? (4 Punkte)

Hinweis:

Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an.

Nutzen Sie zur Berechnung die folgenden Hilfsgr¨oßen:

P15

i=1x_i = 44, ^P15_i=1y_i = 5.4,^P15_i=1z_i = 39,

P15

i=1x²_i = 168, ^P15_i=1y_i² = 6.6, ^P15_i=1z_i² = 129,

P15

i=1x_i·y_i = 28.4,^P15_i=1x_i·z_i = 85, ^P15_i=1y_i·z_i = 5

Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.

Der Gesch¨aftsf¨uhrer eines 4-Sterne-Hotels an der Nordsee plant eine Erweiterung seiner R¨aumlichkeiten. Die Kapazit¨at des Hotels liegt momentan bei maximal 4800 ¨Ubernachtungen pro Monat. Mit der Erweiterung w¨aren 5500 ¨Ubernachtungen pro Monat m¨oglich. Um eine Entscheidung treffen zu k¨onnen, betrachtet er die ¨Ubernachtungszahlen pro Monat der letz- ten 3 Jahre, die in der folgenden Tabelle angegeben sind. Zus¨atzlich ist die Zeitreihe in der auf der n¨achsten Seite stehenden Abbildung graphisch dargestellt.

Jahr 2009

Monat 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

Anzahl ¨Ubernachtungen Y 1.1 1.4 1.3 0.7 0.3 3.1 3.2 3.5 3.0 2.4 1.2 1.5 (in 1 000)

Jahr 2010

Monat 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

Anzahl ¨Ubernachtungen Y 2.2 2.1 2.0 1.9 1.5 4.6 4.7 4.8 3.3 2.9 2.3 2.5 (in 1 000)

Jahr 2011

Monat 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

Anzahl ¨Ubernachtungen Y 3.0 3.1 2.7 2.5 2.4 4.8 4.8 4.8 3.4 3.1 2.7 3.0 (in 1 000)

(a) Welche typischen Zeitreihenfiguren k¨onnen Sie erkennen? Wie erkl¨aren Sie die Gestalt der Reihe inhaltlich? (9 Punkte)

(b) Stellen Sie die wesentliche Entwicklung der ¨Ubernachtungszahlen f¨ur das Jahr 2011 anhand der Reihe der gleitenden Durchschnitte der Ordnung p=5 graphisch dar. Nut- zen Sie f¨ur die Zeichnung das auf der n¨achsten Seite vorgegebene Koordinatensystem (Abbildung: Entwicklung der ¨Ubernachtungszahlen im Jahr 2011). Welche Hinweise lassen sich f¨ur den Gesch¨aftsf¨uhrer hieraus ableiten? (11 Punkte)

Hinweis:

Geben Sie in (b) zun¨achst die ben¨otigte allgemeine Formel an.

Runden Sie ggf. auf vier Nachkommastellen.

012345

Anzahl Übernachtungen Y (in 1000)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jahr 2009 Jahr 2010 Jahr 2011

Abbildung: Entwicklung der ¨Ubernachtungszahlen im Jahr 2011

012345

Monat

Anzahl Übernachtungen Y (in 1000)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12