Kr¨afteundGeschwindigkeitenamBlattelement Blattelementtheorie

Blattelementtheorie

Ωr = V_sx V_r=

v_res v’

dA dW

dF dQ

Rotorebene

Nullauftriebsrichtung R

r=x R v_r

v

ϕ

α

θ

Kr ¨afte und Geschwindigkeiten am Blattelement

Blattelementtheorie Bezeichnungen

r Abstand von der Rotorachse

θ Winkel zwischen der Rotorebene und der Nullauftriebsrichtung

ϕ Winkel zw. der Rotorebene und der res.

Anstr ¨omgeschw.

l Blatttiefe

V_r = Ω · r Umfangsgeschw. am Element

V_S = Ω · R Umfangsgeschw. an der Blattspitze V₁ Windgeschwindigkeit

Blattelementtheorie

• F ¨ur große Schnelllaufzahlen ist der Winkel ϕ der resultierenden Ge- schwindigkeit relativ zur Rotorebene ϕ = _Ω·r^{V 0} und die Anstr ¨omge- schwindigkeit des Rotors ist Vres = Ω · r. Der effektive Anstellwinkel α_e des Rotorprofiles ergibt sich aus der Differenz zwischen ϕ und dem Blatteinstellwinkel θ.

Wie groß ist die Schubkraft von k Rotorbl ¨attern auf ein Blattelement der Tiefe l und der spannweitigen Ausdehnung dr? Nehmen Sie an, dass sich der Auftriebsbeiwert linear mit dem effektiven Anstellwin- kel ¨andert.

• Wie groß ist die Schubkraft auf ein ringf ¨ormiges Element der spann- weitigen Ausdehnung dr unter Anwendung der Strahltheorie?

Blattelementtheorie

effektiver Anstr ¨omwinkel

α_e = ϕ − θ (1)

resultierende Anstr ¨omgeschwindigkeit V_res V_res =

q

(Ω · r)² + V ⁰² (2)

Winkel der resultierenden Geschwindigkeit relativ zur Drehebene des Rotors

ϕ ≈ tan ϕ = V ⁰

Ω · r (3)

Kr ¨afte am Element:

Auftrieb: dA = ^ρ₂V_res² · c_a · l · dr Widerstand: dW_p = ^ρ₂V_res² · c_w · l · dr mit c_a(α_e); c_w(α_e)

(4)

Blattelementtheorie

Zerlegung der Kr ¨afte senkrecht und parallel zur Rotorebene Schub: dF = dA · cos ϕ + dW_p · sin ϕ

Querkraft: dQ = dA · sin ϕ − dW_p · cosϕ (5) F ¨ur kleine ϕ (große Schnelllaufzahl)

V_res = Ω · r = V_s · x (6)

dF = dA (7)

dQ = ϕ · dA − dW_p (8)

Mit c_a = c⁰_a · α_e = c⁰_a · (ϕ − θ) Man erh ¨alt bei k Rotorbl ¨attern:

dF = 1

2 · ρ · (Ω · r)² · c⁰_a · (ϕ − θ) · k · l · dr (9)

Blattelementtheorie

ringf ¨ormiges Element: dS_R = 2π · r · dr aus der Strahltheorie

dF = ρV ⁰ · (V₁ − V₂)dS_R (10) V ⁰ = ϕ · Ω · r = 1

2(V₁ + V₂) (11) 1

2 · (V₁ − V₂) = V ⁰ − V₂ = V₁ − V ⁰ = V₁ − ϕ · Ω · r (12) dF = 4πρ · ϕ · Ω · r(V₁ − ϕ · Ω · r)r · dr (13)