Diverse Aufgaben zur Abi-Vorbereitung - Entwurf -

Diverse Aufgaben zur Abi-Vorbereitung - Entwurf -

Basis-Aufgaben Analysis

Aufgabe "Allgemeines"

a) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x)=4 sin(2x) mit F(π)=7 ? b) Berechne das Integral

∫

1

2 1

(2x−1)² dx . c) Ist die Funktion ^{f(x)= x}

x³−x Punkt- oder Achsen-symmetrisch?

d) Ist die Funktion f(x)=e^x+e^−x Punkt- oder Achsen-symmetrisch?

e) Löse ^ex−2−15 e^x = 0

Kurvendiskussion / Bestimmung von Funktionsgleichungen

Aufgabe "Schale" (aus Lambacher Schweizer / Kursstufe) Der Querschnitt einer Schale kann mithilfe der Funktion

f(x)=−1

16 x⁴+1 2 x²−1

modelliert werden (zwischen den Nullstellen; x und f(x) in dm).

a) Bestimme die Höhe und den Radius der Schale.

b) Untersuche, ob eine Dose mit einem Radius von 9 cm und einer Höhe von 6 cm vollständig in die Schale passt.

c) Die Schale wird bis zur halben Höhe mit Wasser gefüllt. Wie groß ist der Radius des entstehenden Flüssigkeitskreises?

Aufgabe "Stollen" (Stark 2013-8)

Der Querschnitt eines 50 m langen Bergstollens wir beschrieben durch die x-Achse und den Graphen der Funktion f mit

f(x)=0,02 x⁴−0,82 x²+8 ; −4≤ x ≤4 (x und f(x) in Meter).

a) An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten?

Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein?

Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser in dem Stollen 1,7 m hoch.

Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen?

b) Im Stollen soll in 6 m Höhe eine Lampe aufgehängt werden.

Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestens 1,4 m von den Wänden entfernt sein.

Überprüfe, ob dieser Abstand eingehalten werden kann?

c) Ein würfelförmiger Behälter soll so in den Stollen gestellt werden, dass er auf einer seiner Seitenflächen steht.

Wie breit darf der Behälter höchstens sein?

Aufgabe "Analysiere f auf Basis des Schaubilds von f ' " (Stark P2007 -Aufg. 5 (S.2)) Gegeben sei das Schaubild der Ableitung f' einer Funktion f:

Welche Aussagen über die Funktion f ergeben sich im Hinblick auf:

• Monotonie

• Extremstellen

• Wendestellen?

Begründe die Aussagen.

Es gilt f(0)=2 . Skizziere das Schaubild von f.

Aufgabe "Funktionsuntersuchung 1" (aus Lambacher Schweizer / Kursstufe) Gegeben ist die Funktion f(x)=2x²+5x−3

2−x .

a) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse und die Asymptoten des Graphen von f.

b) Skizziere den Graphen von f.

c) Bestimme die Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 2 hat.

Kurvenscharen

Aufgabe "Kurvenschar 1"

(Abi 2013 / Wahlt.) Für jedes t∈ℝ, t≠0 ist eine Funktion ^ft gegeben durch f_t(x)=(x−1)⋅(1− 1

t⋅e^x) . Für welche Werte von t besitzt f_t mehr als eine Nullstelle?

Aufgabe "Kurvenschar 2"

Gegeben ist die Kurvenschar f_t mit f_t(x)=x³−4 tx , t∈ℝ . a) Untersuche die Graphen von f_t auf Symmetrie.

b) Wie muss t gewählt werden, damit der Graph von f_t einen Hochpunkt hat?

c) Zeige, dass die Graphen der Funktionsschar durch einen Punkt gehen.

d) Kann der Parameter t so gewählt werden, dass der Punkt P(2|-8) ein Extrempunkt ist?

e) Bestimme für t=−1 den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt.

f) Für t = 0,25 wird der Graph zwischen dem ersten und dritten Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse um die x-Achse rotiert. Wie groß ist der Rauminhalt des dabei entstehenden Rotationskörpers?

Wachstum / Differentialgleichungen

Aufgabe "Klärbecken" (LS Kursstufe 191)

In ein biologisches Klärbecken, das anfangs nicht verunreinigt ist, laufen pro Minute 90 Liter Abwasser ein.

Die momentane Abbaurate des Abwassers ( in l

min ) beträgt 6% des vorhandenen Abwassers.

a) Stelle eine Differentialgleichung für die Funktion f auf, welche die Abwassermenge (in Litern) beschreibt, die sich zur Zeit t (in Minuten) in dem Becken befindet, und bestimme ihre Lösung. Wie viel Liter

Abwasser sind höchstens im Becken?

b) Wie groß ist die momentane Zunahmerate von f(t) , wenn sich 1000 Liter Abwasser in dem Becken befinden? Nach welcher Zeit ist dies der Fall?

Aufgabe "Wassertank" (Stark 2013-12)

Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion r mit

r(t)=10.000⋅(e^−0,05⋅t−e^−t) 0≤t≤12

beschrieben ( t in Stunden seit Regenbeginn, r(t) in Liter pro Stunde).

a) Bestimme die maximale momentane Zuflussrate.

In welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als 2.000 Liter pro Stunde?

Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?

b) Wie viel Wasser befindet sich drei Stunden nach Regenbeginn im Tank?

Zu welchem Zeitpunkt sind 5.000 Liter im Tank?

c) Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach 3 Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion w mit

w(t)=r(t)−400 ; 3≤t≤12

beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, w(t) in Liter pro Stunde).

Wie viel Wasser wird in den ersten 12 Stunden nach Regenbeginn entnommen?

Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab?

Bestimme die maximale Wassermenge im Tank.

Vektorrechnung

Aufgabe "Lage Ebenen / Gerade"

Gegeben sind die Ebenen

E₁:⃗x=

(

)

(

)

(

)

a) Untersuche, ob die 2 Ebenen orthogonal zueinander sind.

b) Die Gerade g verläuft durch den Punkt P(1|-1|-2) und ist orthogonal zu ^E₂ . Gebe eine Gleichung von g an.

Welche Punkte auf g haben von ^E2 den Abstand 3?

Aufgabe Lage Ebene / Ebene (Stark 2007 A7) Gegeben sind folgende Ebenen:

E : ⃗x =

(

)

(

)

(

)

F :

(

⁽

⁾ )

⁽

⁾

Zeige, dass die Ebenen parallel sind.

Bestimme den Abstand der Ebenen.

Stochastik

Aufgabe "T-Shirts" (Stark W 18, S. 39)

Eine Firma produziert und verkauft in großem Umfang T-Shirts in den Farben Schwarz, Weiß und Rot . Erfahrungsgemäß sind 40% der verkauften T-Shirts schwarz, 35% weiß und 25 % rot.

a) Es werden drei T-Shirts nacheinander verkauft. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse A: Die drei T-Shirts haben verschiedene Farben

B: Mindestens eines der drei T-Shirts ist weiß oder rot

b) Der Geschäftsführer der Firma hat den Verdacht, dass das Kaufinteresse an schwarzen T-Shirts nachgelassen hat. Zur Überprüfung seiner Vermutung kontrolliert er die nächsten 200 verkauften T-Shirts und stellt fest, dass davon 72 schwarz sind.

Spricht dies bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% für die Vermutung des Geschäftsführers?