Seminar: Weiche Materie Der nematische Phasenübergang

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Überblick Phasenübergänge Der nematische Phasenübergang

Seminar: Weiche Materie Der nematische Phasenübergang

Simon Reinbold

11. Januar 2008

Simon Reinbold Seminar: Weiche Materie Der nematische Phasenübergang

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Überblick über Phasen

Der nematische Phasenübergang Lars Onsager

Virialtheorie des isotrop-nematischen Phasenübergangs Verteilungsfunktion der Auslenkungen

Freie Energie für Sphärozylinder

Virialkoeffizienten für harte Sphärozylinder

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Überblick über Phasen

I Phase6=Aggregatszustand

I Freie Energie muss analytisch bleiben

I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

I lyotrop, thermotrop und barotrop

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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I Nematische Phase

I Cholerische Phase

I Smektische Phase

I Kolumnare Phase

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Lars Onsager

Virialtheorie des isotrop-nematischen Phasenübergangs Verteilungsfunktion der Auslenkungen

Freie Energie für Sphärozylinder Virialkoeffizienten für harte Sphärozylinder

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

I 1925: Korrektur der Debye-Hückel-Theorie für elektrlytisch Lösungen

I 1929: Onsager reciprocal relations

I 1944: Lösung des 2D-Ising-Modells

I 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhalten von flüssigem Helium

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Lars Onsager

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

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Lars Onsager

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

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Lars Onsager

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

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Lars Onsager

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

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Lars Onsager

I p

kBT =ρ+B₂ρ²+B₃ρ³+. . .

mit Wechselwirkungspotentialu(i,j)zwischen Teilchen i und j

I Definiere Mayer-Funktion:Φ (i,j) =exp

−^u(i,j)_k

BT

−1

I Bestimme Vorfaktoren:

B₂=−^β₂¹ =−_2V¹ ^{R R}Φ (1,2)dr₁dr₂

B₃=−^2β₃² =−_3V¹ ^{R R R}Φ (1,2) Φ (1,3) Φ (2,3)dr₁dr₂dr₃

⇒ ∆F

Nk_BT = µ₀ k_BT +ln

Λ³ρ

−1+B₂ρ+1

2B₃ρ²+. . .

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Lars Onsager

I p

kBT =ρ+B₂ρ²+B₃ρ³+. . .

−^u(i,j)_k

BT

−1

B₂=−^β₂¹ =−_2V¹ ^{R R}Φ (1,2)dr₁dr₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+B₂ρ+1

2B₃ρ²+. . .

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Lars Onsager

I p

kBT =ρ+B₂ρ²+B₃ρ³+. . .

−^u(i,j)_k

BT

−1

B₂=−^β₂¹ =−_2V¹ ^{R R}Φ (1,2)dr₁dr₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+B₂ρ+1

2B₃ρ²+. . .

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Lars Onsager

I p

kBT =ρ+B₂ρ²+B₃ρ³+. . .

−^u(i,j)_k

BT

−1

B₂=−^β₂¹ =−_2V¹ ^{R R}Φ (1,2)dr₁dr₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+B₂ρ+1

2B₃ρ²+. . .

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Lars Onsager

I p

kBT =ρ+B₂ρ²+B₃ρ³+. . .

−^u(i,j)_k

BT

−1

B₂=−^β₂¹ =−_2V¹ ^{R R}Φ (1,2)dr₁dr₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+B₂ρ+1

2B₃ρ²+. . .

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Lars Onsager

I Jetzt: Sphärozylinder der Länge L, Radius D

I Unterschiedliche Ausrichtungen im Raum werden

beschrieben durch Verteilungsfunktionf(Ω)mit^Rf(Ω) =1

I Für isotrope Phase gilt:f(Ω) =f =_4π¹ =konst

I Einführung einer Orientierungsentropie: S_or =−Nk_B

Z

f(Ω)ln[4πf(Ω)]dΩ =−Nk_Bσ[f]

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Lars Onsager

Z

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Lars Onsager

Z

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Lars Onsager

I Einführung einer Orientierungsentropie:

S_or =−Nk_B Z

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Lars Onsager

S_or =−Nk_B Z

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Lars Onsager

Sor =−Nk_B Z

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Lars Onsager

I Die Virialkoeffizienten müssen nun gemittelt werden:

B₂=−¹₂^{R R}β1(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂

I Damit folgt nun für die freie Energie:

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+ Z

f(Ω)ln[4πf(Ω)]dΩ−

−1 2ρ

Z Z

β₁(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂+. . .

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Lars Onsager

B₂=−¹₂^{R R}β1(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+ Z

−1 2ρ

Z Z

β₁(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂+. . .

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Lars Onsager

B₂=−¹₂^{R R}β1(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂

⇒ ∆F

Λ³ρ

−1+ Z

−1 2ρ

Z Z

β₁(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂+. . .

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Lars Onsager

B₂=−¹₂^{R R}β1(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂

⇒ ∆F

Nk_BT = µ0

k_BT +ln Λ³ρ

−1+ Z

−1 2ρ

Z Z

β₁(Ω₁,Ω₂)f(Ω₁)f(Ω₂)dΩ₁dΩ₂+. . .

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Lars Onsager

I Härte-Stäbchen-Potential

I ⇒β₁=_V¹^{R R}h

exp_u(i,j)

kBT

−1i

dr₁dr₂=−v_ex(Ω₁,Ω₂)

I oder ausgeführt für Sphärozylinder:

−β₁=2L²D|sinγ|+2πD²L+⁴₃πD³

I für dünne Stäbchen ^D_L 1 bleibt nur der führende Term:

−β₁≈2DL²|sinγ|

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Lars Onsager

I ⇒β₁=_V¹^{R R}h

exp_u(i,j)

kBT

−1i

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Lars Onsager

I ⇒β₁=_V¹^{R R}h

exp_u(i,j)

kBT

−1i

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Lars Onsager

I ⇒β₁=_V¹^{R R}h

exp_u(i,j)

kBT

−1i

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Lars Onsager

I lyotroper Übergang mit Konzentrationc=B₂^isoρ= _D^Lv₀^N_V

I Freie Energie bisB₁-Term

I Minimierung der freien Energie durch Variation der Winkel-Verteilungsfunktion

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Lars Onsager

I

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Lars Onsager

I

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Lars Onsager

I

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Lars Onsager

I

I mit anderen Wechselwirkungspotentialen: z.B. geladene Teilchen

I Mischungen von verschiedenen Teilchen

I endliche Stäbchenlänge

I Phasenkoexistenz und Oberflächenspannung

I Nicht-Gleichgewicht

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Lars Onsager

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Lars Onsager

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Lars Onsager

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Lars Onsager