Kapitel VI Matchings in Graphen 1. Grundlagen

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Kapitel VI Matchings in Graphen

1. Grundlagen

Definition 127

SeiG= (V, E) ein ungerichteter, schlichter Graph. EinMatching M inG ist eine Teilmenge vonE, so dass keine zwei Kanten aus M einen Endpunkt gemeinsam haben.

Variante 1 Variante 2

@

Matching:

r r

(2)

Definition 128

1 Ein Matching M in G= (V, E) heißt perfekt(oder vollkommen), falls

|M|= |V| 2

2 Ein Matching M heißt

”Matching maximaler Kardinalit¨at“

(engl.maximum matching) inG, falls es inG kein Matching M⁰ mit|M⁰|>|M|gibt (durchgehend geringelt/rotim Beispiel)

3 Ein Matching M heißt maximalin G, falls es bez¨uglich

”⊆“ maximal ist (engl. maximal matching) (gepunktet

geringelt/gr¨unim Beispiel)

(3)

Definition 129

SeiG= (V, E) ein Graph. WennV in zwei nichtleere Teilmengen V₁ undV₂ partitioniert werden kann (V₁∪V₂ =V,V₁∩V₂=∅), so dassE⊆V1×V2 ist, dann heißt Gbipartit(G= (V1, V2, E)).

(4)

Satz 130

Ein GraphG= (V, E)hat ein perfektes Matching genau dann, wenn|V|gerade ist und es keinS⊆V gibt, so dass der durch V \S induzierte Teilgraph mehr als |S|

Zusammenhangskomponenten ungerader Gr¨oße enth¨alt.

&%

'$

S

r r r r

r r r r r

Bemerkung:Die Richtung

”⇒“ ist klar, da in einem perfekten Matching in jeder

”ungeraden“ ZHK mindestens ein Knoten mit einem Knoten inS gematcht sein muss.

(5)

Definition 131

1 Ein einfacher Pfad (Kreis)v₀, v₁, . . . , v_r heißt alternierend bzgl. eines Matchings M, falls die Kanten {v_i, vi+1}, 0≤i < r, abwechselnd inM und nicht inM liegen.

r r r r r

v₀ v₁ v₂ v₃ v₄ gerade L¨ange

r r r r r r

v₀ v₁ v₂ v₃ v₄ v₅

r r r r r r

v0 v1 v2 v3 v4 v5

ungerade L¨ange

r r

v₃ v₂

v₀ v₁

(6)

Definition 131

2 Ein alternierender Pfad bzgl. eines Matchings M heißt augmentierend, falls er bzgl.

”⊆“ maximal ist und an beiden Enden ungematchte Knoten hat.

r r r r r r

v₀ v₁ v₂ v₃ v₄ v₅ ungerade L¨ange

AA

?

Bemerkung: Es kann keineaugmentierenden Kreisegeben.

(7)

Definition 132

SeienS,T zwei Mengen, dann bezeichne S T diesymmetrische Differenz vonS und T, d.h.S T = (S−T)∪(T−S).

Lemma 133 (Augmentierung eines Matchings)

SeiM ein Matching, P ein augmentierender Pfad bzgl.M. Dann ist auchM P ein Matching, und es gilt |M P|=|M|+ 1.

Beweis:

q q q q q q q q q q q q

M

M P

P

(8)

Satz 134 (Heiratssatz [Frobenius, Hall, Rado, K¨onig])

SeiG= (U, V, E) ein bipartiter Graph.Genth¨alt ein Matching der Kardinalit¨at |U|genau dann, wenn gilt:

∀A⊆U :|N(A)| ≥ |A|,

wobeiN(A)die Nachbarschaft von A (inV) bezeichnet.

r r r r

PP PP PPPPP PPPPP P

U V

(9)

Beweis:

Die Richtung (

”⇒“) ist klar.

”⇐“: M sei ein maximum Matching in G.Annahme: |M|<|U|.

SeiA⁰⊆U die Teilmenge der durchM nicht gematchten Knoten inU. Seien weiter A (bzw.B) die von A⁰ aus mittels

alternierender Pfade erreichbaren Knoten inU (bzw.V). Enth¨alt B einen ungematchten Knoten, dann ist ein dazugeh¨origer alternierender PfadP augmentierend und |M P|>|M|, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Andernfalls ist|A|>|B|(daAzu jedem Knoten in B seinen gematchten Partner enth¨alt), aber auch, im Widerspruch zur Voraussetzung,N(A)⊆B, also|N(A)|<|A|.

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Alternativer Beweis:

Die Richtung (

”⇒“) ist (noch immer) klar.

”⇐“: SeiM ein Matching in G, mit|M|<|U|, und sei u0 ∈U ein inM ungematchter Knoten. Da|N({u₀})| ≥1, hat u₀ einen Nachbarnv₁ ∈V. Falls v₁ ungematcht ist, sind wir fertig, da wir einen augmentierenden Pfad gefunden haben. Andernfalls sei u₁ ∈U der mitv₁ gematchte Knoten. Dann ist u₁ 6=u₀ und

|N({u₀, u₁})| ≥2, und es gibt einen Knotenv₂ ∈V, der zuu₀ oderu1 adjazent ist.

Fallsv2 in M nicht gematcht ist, beenden wir die Konstruktion, andernfalls fahren wir in obiger Weise fort und erreichen, wegen

|V|<∞, schließlich einen ungematchten Knoten vr∈V. Damit haben wir aber wiederum einen augmentierenden Pfad

P = (v_r, u_i₁, v_i₁, . . . , u_i_k, v_i_k, u₀) (mit i₁ >· · ·> i_k) gefunden!

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Definition 135

SeiG= (V, E) ein (ungerichteter) Graph. Eine TeilmengeD⊆V heißtTr¨agervon G(engl.vertex cover), fallsD mit jeder Kante in E mindestens einen Knoten gemeinsam hat (also

”jede Kante bedeckt“).

Beobachtung:Sei DeinTr¨ager vonGund M einMatching inG.

Dann gilt offensichtlich

|D| ≥ |M|,

da derTr¨ager Djede Kante im Matching M treffen muss und die Kanten inM alle paarweise disjunkt sind.

Korollar 136

SeienDund M wie oben. Dann gilt

minD {|D|} ≥max

M {|M|}.

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Satz 137

SeiG= (U, V, E) ein (ungerichteter) bipartiter Graph. Dann gilt

min{|D|; DTr¨ager vonG}= max{|M|; M Matching in G}

(13)

Beweis:

Wir nehmen o.B.d.A. an, dass alle Knoten inG Grad≥1 haben.

SeiM ein maximum Matching inG, sei A⊆U die vonM gematchte Teilmenge vonU,B ⊆V die von V.

Sei nunB⁰ die Menge der Knoten in B, die von U\A aus mittels eines alternierenden Pfades erreichbar sind. Dann istB⁰ ⊆B, da wir andernfalls einen augmentierenden Pfad gefunden haben. Sei A⁰ die Menge der Knoten in A, die durch M mit Knoten in B⁰ gematcht sind. Dann gibt eskeine Kante zwischenA⁰ und V \B, da jede solche Kante wiederum zu einem augmentierenden Pfad f¨uhren w¨urde.

Es gilt (i)N(U\A)⊆B⁰, (ii)N(A⁰) =B⁰, (iii)

N(V \B)⊆A\A⁰. Damit istB⁰∪(A\A⁰) ein Tr¨ager vonG. Da

|A|=|M|und |A⁰|=|B⁰|, folgt die Behauptung.

(14)

Satz 138 (Berge (1957))

Ein Matching hat maximale Kardinalit¨at genau dann, wenn es keinen augmentierenden Pfad daf¨ur gibt.

Beweis:

s.u.

(15)

Lemma 139

SeienM,N Matchings in G, und sei |N|>|M|. Dann enth¨alt N M mindestens|N| − |M|knotendisjunkte augmentierende Pfade bzgl.M.

(16)

Beweis:

Der Grad eines Knotens in(V, N M) ist ≤2. Die Zusammenhangskomponenten von(V, N M) sind also

1 isolierte Knoten

2 einfache Kreise (gerader L¨ange)

3 alternierende Pfade

SeienC₁, . . . , C_r die Zusammenhangskomponenten in(V, N M), dann gilt:

M C1 C2 · · · Cr

| {z }

N M

=N

Nur dieC_i’s, die augmentierende Pfade bzgl.M sind, vergr¨oßern die Kardinalit¨at des Matchings, und zwar jeweils um genau 1. Also muss es mindestens|N| − |M|C_i’s geben, die augmentierende Pfade bzgl.M sind (und knotendisjunkt, da ZHKs).

(17)

Korollar 140 Satz von Berge

(18)

2. K¨urzeste augmentierende Pfade

Lemma 141

SeiM ein Matching der Kardinalitätr, und sei sdie maximale Kardinalität eines Matchings in G= (V, E),s > r. Dann gibt es einen augmentierenden Pfad bzgl.M der Länge≤2

j r s−r

k + 1.

Beweis:

SeiN ein Matching maximaler Kardinalit¨at inG,|N|=s.N M enth¨alt≥s−r augmentierende Pfade bzgl.M, die alle

knotendisjunkt und damit auch kantendisjunkt sind. Mindestens einer dieser augmentierenden Pfade enth¨alt daher≤j

r s−r

k

Kanten ausM.

(19)

Lemma 142

SeiP ein k¨urzester augmentierender Pfad bzgl.M, und sei P⁰ ein augmentierender Pfad bzgl. des neuen MatchingsM P. Dann gilt:

|P⁰| ≥ |P|+ 2|P ∩P⁰|

(20)

Beweis:

N =M P P⁰, also|N|=|M|+ 2. Also enth¨altM N mindestens 2 knotendisjunkte augmentierende Pfade bzgl.M, etwa P₁ undP₂. Es gilt:

|N M|=|P P⁰|

=|(P−P⁰)∪(P⁰−P)|

=|P|+|P⁰| −2|P∩P⁰|

≥ |P₁|+|P₂| ≥2|P|, also

|P|+|P⁰| −2|P∩P⁰| ≥2|P|, also

|P⁰| ≥2|P| − |P|

| {z }

|P|

+2|P ∩P⁰|

(21)

Schema f¨ur Matching-Algorithmus:

1 Beginne mit MatchingM₀ :=∅.

2 Berechne Folge M₀, P₀, M₁, P₁, . . . , M_i, P_i, . . ., wobei jeweilsP_i eink¨urzester augmentierender Pfadbzgl.M_i ist und

M_i+1 :=M_i P_i.

Im obigen Schema gilt

|P_i+1| ≥ |P_i|f¨ur alle i .

(22)

Lemma 143

SeienP_i und P_j in obiger Folge zwei augmentierende Pfade gleicher L¨ange. Dann sindPi und Pj knotendisjunkt.

Beweis:

Annahme: es gibt eine Folge(Pk)k≥0 mit |P_i|=|P_j|,j > i, Pi∩Pj 6= 0,j−iminimal gew¨ahlt. Durch die Wahl vonj sind die PfadeP_i+1, . . . , P_j knotendisjunkt. Also istP_j auch ein

augmentierender Pfad bzgl.M⁰ :=Mi+1, dem Matching nach den Augmentierungen mitP0, P1, . . . , Pi. Aus dem vorhergehenden Lemma folgt|P_j| ≥ |P_i|+ 2|P_i∩P_j|, also P_i,P_j kantendisjunkt, da|P_i|=|P_j|. Da inM⁰ jeder Knoten inP_i gematcht ist (und dies dann auch inM⁰ Pi+1 Pi+2 · · · Pj−1 gilt), k¨onnen auchPi

undP_j keinen Knoten gemeinsam haben.

(23)

Satz 144

Seisdie maximale Kardinalit¨at eines Matchings in G= (V, E).

Dann enth¨alt die Folge|P₀|,|P₁|, . . . h¨ochstens b2√ s+ 1c verschiedene Werte.

Beweis:

Seir :=bs−√

sc(=s− d√

se). Per Konstruktion ist|M_i|=i, also|M_r|=r. Mit Lemma141folgt

|P_r| ≤2

bs−√ sc s− bs−√

sc

+ 1≤2 s

√s

+ 1 = 2√ s

+ 1.

F¨uri≤r ist also|P_i|eine der ungeraden Zahlen in [1,2√ s+ 1], also eine vonb√

sc+ 1ungeraden Zahlen.P_r+1, . . . , Ps−1 tragen h¨ochstens s−r−1<√

szus¨atzliche L¨angen bei.

(24)

Verfeinertes Schema:

M :=∅

while ∃augmentierender Pfad bzgl. M do

l:= L¨ange eines k¨urzesten augmentierenden Pfades bzgl.M bestimme eine bzgl.

”⊆“ maximale Menge {Q₁, . . . , Q_k} augmentierender Pfade bzgl. M, die alle L¨angel haben und knotendisjunkt sind

M :=M Q₁ · · · Q_k od

Korollar 145

Die obigewhile-Schleife wird h¨ochstensO

|V|¹² mal durchlaufen.

(25)

for allev∈U∪V do label[v] := 0od R :=∅;l:= 1

for alle ungematchten Knotenv∈U do

for alle{v, w} ∈E do label[w] := 1;R:=R∪ {w}od od

while R6=∅ and R enth¨alt keinen ungematchten Knoten do L:=∅;l+ +

for w∈R,{v, w} ∈M do L:=L∪ {v};label[v] :=l od R:=∅;l+ +

for allev∈L,{v, w} ∈E\M do if label[w] = 0then

R:=R∪ {w};label[w] :=l fi

od od

qq qq q

U∪ L

V∪ R

XXXXX HH

HHH HH

HHH

(26)

r r r r r

@

H HH HH H

HH HH HHHHHHH H

ungematcht m Q

Q Q

QQ

R

A A A A A A

@

@ m

ungematchte Knoten in R

U V U V U V

Kopie der Knoten von

L

(27)

Nachdem wir die Längel eineskürzesten augmentierenden Pfades bzgl.M ermittelt haben, führen wir nacheinander von jedem ungematchten Knoten inU aus eine (zwischen ungematchten und gematchten Kanten)alternierendeDFS bis zur Tiefe laus, wobei wir

1 wenn wir einen ungematchten Knoten (in Tiefe l) erreichen, einen kürzesten augmentierenden PfadQi gefunden haben; für den weiteren Verlauf der DFSs markieren wir Q_i als gelöscht;

2 jede Kante, über die die DFS zurücksetzt, ebenfalls als gelöschtmarkieren.

Der Zeitaufwand für diese DFSs beträgtO(n+m), da wir jede Kante höchstens zweimal (einmal in der DFS vorwärts, einmal rückwärts) besuchen.

(28)

Lemma 146

Gegeben die L¨ange eines k¨urzesten augmentierenden Pfades, kann eine bzgl.

”⊆“ maximale Menge k¨urzester augmentierender Pfade in ZeitO(n+m) gefunden werden.

Satz 147

In bipartiten Graphen kann ein Matching maximaler Kardinalit¨at in Zeit

O

n¹²(n+m)

gefunden werden.

Beweis:

Gemäß Korollar145genügen O(n¹²) Phasen, in denen jeweils mittels einer simultanen BFS und einer sequentiellen DFS (beide in ZeitO(n+m)) eine maximale Menge kürzester augmentierender Pfade bestimmt wird.

(29)

John Hopcroft, Richard Karp:

Ann^5/2 algorithm for maximum matchings in bipartite graphs SIAM J. Comput.2(4), pp. 225–231 (1973)

(30)

4. Maximum Matchings in allgemeinen Graphen

In einem allgemeinen (nicht unbedingt bipartiten) Graphen k¨onnen wir in ZeitO(n+m) jeweils einen k¨urzesten augmentierenden Pfad finden und erhalten damit

Satz 148

In einem GraphG= (V, E) kann ein Matching maximaler Kardinalit¨at in Zeit

O(n·m)

gefunden werden.

(31)

F¨ur Maximum-Matching-Algorithmen in allgemeinen Graphen mit LaufzeitO(n¹²(n+m)) verweisen wir auf die Literatur:

Silvio Micali, Vijay V. Vazirani:

AnO(p

|V| · |E|)algorithm for finding maximum matching in general graphs

Proceedings of the 21st Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, FOCS’80 (Syracuse, NY, October 13–15, 1980), pp. 17–27 (1980)

Vijay V. Vazirani:

A theory of alternating paths and blossoms for proving correctness of theO(√

V E)general graph maximum matching algorithm Combinatorica14(1), pp. 71–109 (1994)

Norbert Blum:

A new approach to maximum matching in general graphs Proceedings of the 17th International Colloquium on Automata, Languages and Programming, ICALP’90 (Warwick University,

(32)

5. Matchings in gewichteten bipartiten Graphen

5.1 Zerlegung doppelt stochastischer Matrizen

SeiM eine n×n-Matrix mit reellen Eintr¨agen m_ij ≥0, so dass alle Zeilen- und alle Spaltensummen=r >0sind. Wir assoziieren mitM den bipartiten Graphen G=G_M = (U, V.E), wobei

U ={u₁, . . . , u_n} dienZeilen undV ={v₁, . . . , v_n} dienSpalten vonM repr¨asentiert.Genth¨alt die Kante{u_i, vj}gdwmij >0.

Ein Matching inGentspricht einer Menge von Eintr¨agenmij >0, die alle inverschiedenenZeilen und Spalten vorkommen. Wir nennen eine solche Menge von Positionen eineDiagonale der MatrixM.

EinTr¨ager vonM ist eine Menge von Zeilen und Spalten, die zusammen alle Matrixeintr¨age >0 enthalten.

(33)

Beispiel 149

2 0 1 3 0 0 4 0 0 2 3 1 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 3 3

Die markierten Elemente bilden eine Diagonale der Gr¨oßen= 5.

(34)

Annahme:M hat keine Diagonale der Größe n. Dann gibt es nach Satz137z Zeilen undsSpalten vonM mitz+s < n, die alle Einträge >0 vonM bedecken. Damit wäre aber

r·n=X

m_ij ≤r·(z+s)< r·n

Widerspruch.

Also existiert eine Diagonale der Größe nund ein entsprechendes perfektes MatchingM1 vonG. Die AdjazenzmatrixP1 von G₁ = (V, M₁) enthält in jeder Zeile und Spalte genau eine 1, ist also eine so genanntePermutationsmatrix(alle anderen Einträge sind 0). Sei nun

m₁ := min{m_ij; {u_i, v_j} ∈M₁}.

Die MatrixM−m1M1 hat wiederum konstante Zeilen- und Spaltensummen (n¨amlich r−m1) und strikt mehr Eintr¨age = 0 als

(35)

Durch Iteration ergibt sich damit Satz 150 (Birkhoff, von Neumann)

SeiM eine doppelt-stochastische Matrix (d.h. alle Zeilen- und Spaltensummen sind= 1, alle Eintr¨age sind reell und ≥0), dann gibt es eine Darstellung

M =

k

X

i=1

m_iP_i,

wobei diePi Permutationsmatrizen und diemi∈R, mitmi >0 undPk

i=1m_i = 1.

Bemerkung:Jede doppelt-stochastische Matrix ist also eine Konvexkombination von endlich vielen Permutationsmatrizen.

(36)

5.2 Matchings in knotengewichteten bipartiten Graphen SeiG= (U, V, E) ein bipartiter Graph mit einer Gewichtsfunktion w : U →R⁺. Wir suchen ein MatchingM in G, so dass die Summe der Gewichte der gematchten Knoten inU maximiert wird.

Eine TeilmengeT ⊆U, die durch ein Matching in Ggematcht werden kann, heißt auchTransversale.

SeiT die Menge der Transversalen vonG(beachte:∅ ∈ T).

Satz 151

Die MengeT der Transversalen vonG bildet ein Matroid.

(37)

Beweis:

Es ist klar, dass∅ ∈ T und dass T unter Teilmengenbildung abgeschlossen ist. SeienT und T⁰ Transversalen ∈ T mit

|T⁰|=|T|+ 1, und seienM bzw. M⁰ zugeh¨orige Matchings. Dann gibt es bzgl.M einen augmentierenden Pfad P. Ein Endknoten vonP liegt in U. Augmentieren wirM mittels P, erhalten wir also eine Transversale der Kardinalit¨at|T|+ 1.

Dasgreedy-Paradigma l¨asst sich also anwenden, um in Zeit O(n·m) eine Transversale maximalen Gewichts zu konstruieren.

(38)

5.3 Matchings in kantengewichteten bipartiten Graphen Sei nunG= (U, V, E) ein bipartiter Graph mit einer

Gewichtsfunktionwvon den Kanten in die nichtnegativen reellen Zahlen. Wir k¨onnen o.B.d.A. annehmen, dass |U|=|V|(=n) und dassG=Kn,n, indem wir geeignet Knoten sowie Kanten mit Gewicht0 hinzunehmen.

Damit k¨onnen wir auch o.B.d.A. voraussetzen, dass jedes Matching maximalen oder minimalen Gewichts inGperfekt ist.

Indem wirw(ui, vj)durch wmax−w(ui, vj) ersetzen (wobei wmax

das gr¨oßte auftretende Gewicht ist), reduziert sich das Problem, ein Matching maximalen/minimalen Gewichts zu finden, auf das, eines minimalen/maximalen Gewichts zu finden.

Wir betrachten daher o.B.d.A. das Problem, inG ein perfektes Matching minimalen Gewichts zu finden.

(39)

Wir suchen also eineDiagonale der Größe nmit minimalem Gewicht. SeiW die Gewichtsmatrix. Verändern wir das Gewicht eines jeden Elements einer Zeile/Spalte vonW um einen festen Betragδ, so ändert sich das Gewicht einer jeden Diagonale

ebenfalls umδ (da diese ja genau ein Element aus jeder Zeile bzw.

aus jeder Spalte enth¨alt), und eine Diagonale minimalen Gewichts bleibt minimal.

Durch Subtraktion geeigneter Konstanten von den Zeilen bzw.

Spalten der MatrixW können wir daher eine äquivalente GewichtsmatrixW⁰ erhalten, die in jeder Zeile und Spalte mindestens eine0enthält, während alle Werte noch immer≥0 sind.

(40)

Beispiel 152







9 11 12 11

6 3 8 5

7 6 13 11 9 10 10 7







⇒







0 2 3 2 3 0 5 2 1 0 7 5 2 3 3 0













0 2 3 2 3 0 5 2 1 0 7 5 2 3 3 0







⇒







0 2 0 2 3 0 2 2 1 0 4 5 2 3 0 0







(41)

Enthält die Matrix W⁰ eine 0-Diagonale der Größe n (also eine Diagonale, deren Elemente alle= 0 sind), so geben die Positionen dieser Diagonale auch die Kanten eines perfekten Matchings minimalen Gewichts im GraphenG mit der ursprünglichen Gewichtsfunktionwan, und wir sind fertig.

Andernfalls ist die maximale Länge einer 0-Diagonale in W⁰ kleiner alsn. Wir nennen eine Menge von Zeilen und Spalten einer Matrix W⁰ eine0- Überdeckungvon W⁰, falls diese Zeilen und Spalten alle Einträge = 0 der Matrix beinhalten.

(42)

Im vorhergehenden Beispiel







0 2 0 2 3 0 2 2 1 0 4 5 2 3 0 0







bilden z.B. die Zeilen 1 und 4 zusammen mit der Spalte 2 eine 0- ¨Uberdeckung der Gr¨oße 3.

Aus Satz137wissen wir, dass die maximale Gr¨oße einer

0-Diagonale gleich der minimalen Gr¨oße einer 0- ¨Uberdeckung ist.

FallsW⁰ also eine 0- Überdeckung der Größe< n hat, ändern wir die GewichtsmatrixW⁰ zu einer Gewichtsmatrix W⁰⁰ so, dass die Einträge ≥0 und minimale perfekte Matchings solche bleiben.

(43)

Es existiere also eine 0- ¨Uberdeckung vonW⁰, diez Zeilen unds Spalten enthalte, mitz+s < n. Sei wmin das Minimum dernicht

¨uberdecktenEintr¨age von W⁰. Also istw_min>0.

Um ausW⁰ die MatrixW⁰⁰ zu erhalten, verfahren wir wie folgt:

1 subtrahiere wmin von jedemElement der n−z nicht

überdeckten Zeilen (dadurch können vorübergehend negative Einträge entstehen);

2 addiere w_min zuallen Elementen ders¨uberdeckten Spalten.

Damit ergibt sich f¨ur die Eintr¨age w_ij⁰⁰ vonW⁰⁰

w_ij⁰⁰ =











w_ij⁰ −w_min falls w_ij⁰ nicht ¨uberdeckt ist

w_ij⁰ falls w_ij⁰ entweder von einer Zeile oder von einer Spalte ¨uberdeckt ist

w_ij⁰ +w_min falls w_ij⁰ von einer Zeile und von einer Spalte ¨uberdeckt ist

(44)

F¨ur unsere Beispielsmatrix ergibt sich







0 2 0 2 3 0 2 2 1 0 4 5 2 3 0 0







⇒







0 2 0 2

2 −1 1 1 0 −1 3 4

2 3 0 0













0 2 0 2

2 −1 1 1 0 −1 3 4

2 3 0 0







⇒







0 3 0 2 2 0 1 1 0 0 3 4 2 4 0 0







=:W⁰⁰

(45)

Die Anzahl der inW⁰ sowohl durch eine Zeile als auch durch eine Spalte überdeckten Einträge ist s·z, die der überhaupt nicht

¨uberdeckten Eintr¨age n²−n(s+z) +sz.

Damit ergibt sich f¨ur die Gesamtgewichtsver¨anderung X

ij

(w⁰⁰_ij−w_ij⁰ ) = ((sz)−(n²−n(s+z) +sz))·wmin

= (n(s+z)−n²)·wmin

<0

Da die Kantengewichte als ganzzahlig≥0vorausgesetzt sind, kann die TransformationW⁰ ⇒W⁰⁰ nur endlich oft wiederholt werden, und der Algorithmus terminiert.

(46)

Man kann zeigen:

Satz 153

In einem kantengewichteten bipartiten Graphen mit ganzzahligen Kantengewichten≥0 kann ein gewichtsmaximales Matching in Zeit

O(n³)

bestimmt werden.