Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun
D¨usseldorf, den 16.05.2018 Blatt 6
Ubungen zu Gr¨ ¨ obner-Basen
17. Mitσni werde f¨ur 1≤i≤ndasi-te elementarsymmetrische Polynom ink[x1, . . . , xn] bezeichnet. Ferner sei σn0 = 1 und σin = 0 falls i < 0 oder i > n. F¨ur ` ∈ N0 sei schließlichsn` =Pn
j=1x`j.
(a) Zeigen Sieσin=σin−1+xnσn−1i−1 f¨urn >1 und beliebiges i.
(b) Zeigen Sie mittels vollst¨andiger Induktion nachnf¨ur alle n, `≥1
`
X
j=1
(−1)`−jσ`−jn snj + (−1)``σ`n= 0.
(c) Zeigen Sie nun die Newtonschen Identit¨aten
sn` +
`−1
X
j=1
(−1)jσjnsn`−j+ (−1)``σ`n= 0, 1≤`≤n,
sn` +
n
X
j=1
(−1)jσnjsn`−j = 0, ` > n.
18. Es seiF ∈k[x1, . . . , xn, X] gegeben durch
F =
n
Y
j=1
(X−xj)
und es seien σ1, . . . , σn die elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen x1, . . . , xn.
(a) Zeigen Sie
F =Xn+
n
X
j=1
(−1)jσjXn−j.
Hinweis: Verwenden Sie vollst¨andige Induktion nach n und Aufgabe 17 (a).
(b) Es seikein algebraischer Abschluss von k, es seif ∈k[X], es seienα1, . . . , αn
die Nullstellen vonf ink, aufgez¨ahlt entsprechend ihrer Vielfachheiten, und es seig∈k[x1, . . . , xn] ein symmetrisches Polynom. Zeigen Sie g(α1, . . . , αn)∈k.
Besprechung:23. Mai
