Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun
D¨usseldorf, den 06.06.2018 Blatt 9
Ubungen zu Gr¨ ¨ obner-Basen
25. Das IdealI inC[x, y] sei gegeben durchI =hg1, g2, g3i, wobei g1=x2+ 2y2−3,
g2=xy−y2, g3=y3−y.
Sie d¨urfen ohne Beweis verwenden, dass es sich bei {g1, g2, g3} um eine Gr¨obner- Basis vonI zur Termordnung >lex mitx > y handelt.
(a) Bestimmen Sie alle Elemente von
V =
(x, y)∈C2
f(x, y) = 0 f¨ur alle f ∈I .
(b) Es sei Ge die reduzierte Gr¨obner-Basis von I zur Termordnung >lex mity >
x. ¨Uber Ge verrate ich Ihnen, dass das Basiselement gt mit dem kleinsten f¨uhrenden Term den Totalgrad 4 besitzt. Geben Siegt an.
26. Es seik ein beliebiger K¨orper und es sei I ⊂k[x1, . . . , xn] ein Ideal. Ferner sei G eine reduzierte Gr¨obner-Basis von I zur Termordnung >lex mit x1 > · · · > xn. Zeigen Sie, dassG∩k[xn] h¨ochstens ein Element enth¨alt.
27. Das Ideal I ⊂ Q[x, y] sei gegeben durch I =
x2+ 2y2−2, x2+xy+y2−2 . Bestimmen Sie alle Elemente von
V =
(x, y)∈Q2
f(x, y) = 0 f¨ur alle f ∈I .
Hinweis: Eventuell ben¨otigte Gr¨obner-Basen d¨urfen maschinell bestimmt werden.
Das sollte aber auch von Hand machbar sein.
Besprechung:13. Juni
