-Zinsrechnung 2- Finanzmathe

(1)

25. November 2004 Anne Grund & Mathias Jahn Zinsrechnung 2

1

Finanzmathe

-Zinsrechnung 2-

1. Das Bruttoinlandsprodukt (in Preisen von 1980) der Bundesrepublik betrug 1970 1.134 Mrd.DM und 1980 1.485,2 Mrd. DM

Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr

geg:

ges:

Lös:

% 7 , 2 027 , 0 027 , 1

134 . 1

2 , 485 .

101

=

→

=

→

=

⋅

=

p i q q

Ko q Kn

q Ko Kn

n n

10 134 . 1

2 , 485 . 1

=

= n Ko Kn

ate Wachstumsr ttliche durchschni q...

100 1 i p

i q

= +

=

(2)

3 2. Jemand legt 20.000 DM zu 6% zinseszinslich an.

Auf welche Summe wächst das Kapital in 5 Jahren bei

a) jährlicher, b) halbjährlicher, c) monatlicher, d) täglicher, e) stetiger Verzinsung an?

geg:

ges:

Lös:

Jahre n p

DM Ko

5

% 6

000 . 20

=

Kn

DM Kn

Kn Kn

jährlich m a

m Ko p m Kn

Ko i Kn

m n m

n

51 , 764 . 26

) 06 . 1 ( 000 . 20

1 100 1 6 000 . 20

) ( 1 )

1 100 1

5 1 5

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

=

⎟ →

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⋅

DM Kn

Kn Kn

ch halbjährli m

b

33 , 878 . 26

) 03 . 1 ( 000 . 20

2 100 1 6 000 . 20

) ( 2 )

10 2 5

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

=

⋅

DM Kn

Kn Kn

monatlich m c

00 , 977 . 26

) 005 , 1 ( 000 . 20

12 100 1 6 000 . 20

) ( 12 )

60 12 5

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

=

⋅

DM Kn

Kn

täglich m d

50 , 996 . 26

360 100 1 6 000 . 20

) ( 360 )

360 5

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

=

⋅

DM Kn

e Kn

e Kn Kn

stetig m e

n i

18 , 997 . 26 000 . 20 000 . 20

) ( )

3 , 0 5 100

6

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

∞

=

⋅

(3)

5 3. Die Weltbevölkerung verdoppelte sich während der letzten 35 Jahre.

Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate bei stetiger Betrachtung.

geg:

ges:

Lös:

) .

( 2 35

sich verdoppelt Weltbevölk Ko Kn n

⋅

=

) ( ...beistetigerBetrachtung m→∞ q

0198 , 1

% 98 , 1

35 2 ln 100

ln 35 100 2 ln

eren logarithmi 2

2

10035 10035 100

=

→

=

⋅

=

→

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

q p

p p e e

e Ko Ko

e Ko Kn

p p pn n i

4. Welches Kapital wächst nach 5 Jahren und 6 Monaten bei gemischter Verzinsung und 6% Zins auf 10.000DM an?

geg:

ges:

Lös:

Jahre Jahre

Monate Jahre N p

12 n 6 , 5 n 6

, 5

% 6

2

1= =

→

=

Ko

DM Ko

Ko

n i i Ko Kn n i i

Ko _nKn ⁿ

93 , 7254

03 , 1 06 , 1

000 . 10

2 1 100 1 6 100 1 6

000 . 10

) 1 ( ) 1 ) (

1 ( ) 1 (

5 5

2 2

1 1

=

= ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⋅ +

=

⋅ → +

⋅

= +

(4)

7 5. Eine Aktienanlage, die nach zwei Jahren verkauft wurde, hatte im ersten Jahr eine Kurssteigerung von 50% und im zweiten Jahr einen Kursrückgang von 20%.

Dividenden wurden keine ausgeschüttet.

Wie hoch war die reale Effektivverzinsung des eingesetzten Kapitals, falls eine jährliche Inflationsrate von 3% sowie 1,5% Spesen jeweils von der Kauf- und Verkaufssumme unterstellt werden?

geg:

ges:

0,015 1,5%

: Spesen

3%

: rate Inflations

20%

- : 2.Jahr rung Kurssteige

50%

: 1.Jahr rung Kurssteige

→

ns ....Realzi pr

Lös:

100 03 1 , 0 1

079 , 0 1

3%

: rate Inflations

100 1 1

% 1 90 , 7

100 015 1 , 1

182 , 1

100 015 1 , 0

018 , 0 2 , 1

100 . 1

100 . 1 p

(-) 0,018x 0,015 1,2x : Spesen

1,2Ko Kn 1,2x

0,8x 1,5

0,2) - (1 0,5) Ko(1 Kn : mme Verkaufssu : ebnis Kapitalerg

) ( 0,015x 1,5%

: Spesen

x : Kaufsumme : satz Kapitalein

2 n 2Jahre : Laufzeit

inflation eff 2

2 eff

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= +

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= +

⇒

=

⎟⎟⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

⎟⎟⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

+

= −

⎟⎟⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

→

⎟⎟⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

⋅

=

→

=

⋅

=

⋅ +

= +

→

=

→

r

r eff

eff eff

eff n n

p

i p i p

p

x x

x p x

Einsatz Kap

Ergebnis p Kap

Ko Kn

(5)

9 6. Das nominale Bruttoinlandsprodukt der Bundesrepublik ist zwischen 1980 und

1985 von 1478,9 Mrd.DM auf 1830,5 Mrd.DM gestiegen.

Berechnen Sie die durchschnittliche reale Wachstumsrate pro Jahr bei einer jährlichen Inflationsrate von 3,1%.

geg: Lös:

ges:

0,031 i 3,1%

rate Inflations

Jahre 5 n

1830,5Mrd.

Kn

1478,9Mrd.

Ko : BIP

=

→

=

pr

,

q ( )

% 22 , 1 p

100 031 1 , 0 1

0436 , 0 p 1

1 1 1 100

p

0,0436 i 4,36 p

100 1 - q p 1,0436 q

9 , 1478 5 , q 1830

Ko q Kn

q Ko Kn

r r

inflation r

5 n

n

=

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= +

=

→

=

⋅

=

→

=

⋅

=

i i

7. Eine Kapitalanlage hat sich in 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit betrug der Zinssatz 4%.

Wie hoch war er in der zweiten Hälfte?

geg: ges:

Lös:

04 , 100 0 i 4

04 , 100 1 1 4 q

% 4 : 2

5 5 10 10

=

= +

=

= +

=

→

= p Hälfte erste

Ko Kn

n p in der zweiten Hälfte

% 45 , 10

100 1045

, 0

1 1045 , 1

1 1045 , 04 1 , 1 2

04 , 1 2 2

2

5 5

=

⋅

=

→

=

−

=

−

=

→

=

→

⋅

=

⋅

=

⋅

=

→

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=

→

=

p i p i

i q i q

umstellen q nach q Ko Ko

q Ko Ko

Ko Kn

q q q q Ko Ko Kn

q Kn

n n n n

(6)

11 8. Eine Bevölkerung wuchs 5 Jahre lang 2,5% jährlich,10 Jahre lang 1,5% jährlich und 20 Jahre lang 1% jährlich.

Wie hoch war die durchschnittliche Wachstumsrate bei stetiger Betrachtung?

geg:

ges:

Lös:

( )

3 2 1 3 2 1

, ,

Verzinsung che hschnittli ...durc

20 10 5 35

01 , 0

% 1 20

015 , 0

% 5 , 1 10

025 , 0

% 5 , 2 5

i i i i i n

i p Jahre n

→ + +

=

→

=

→

=

→

=

→

=

→

=

→

=

0136 , 1

1

% 36 , 100 1 35 475 , 0

10035 475 ,

35 0

475 100 , 0 35

475 , 0 20 01 , 0 10 015 , 0 5 025 , 0 35

= +

=

→

=

→

=

⋅

=

→

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

q i q p p

e p Ko e K

e Ko e

Ko K

e Ko Kn

p n i

( )p q→Wachstumsratestetig

9. Ein Schuldner hat 10.000 DM sofort, 10.000 DM nach drei Jahren und 10.000 DM nach 7 Jahren zu zahlen.

a) Es wird neu vereinbart, die Gesamtschuld in sechs Jahren zu begleichen. Wie hoch ist diese bei einem Zinssatz von 8%?

b) Wann ist die Gesamtsumme von 30.000 DM bei einem Zinssatz von 8% fällig?

geg:

ges:

Lös:

% 8 6

000 . 30 )

% 8 )

000 . 10 7

000 . 10 3

000 . 10

=

→

=

→

=

→

p n

Kn b p a

Jahre n

Jahre n sofort

% 8 08

, 1

% 8

000 . 30 6

) ) (

) ₆

=

→

=

p q

p

Kn n

n Laufzeit b K Kn ld Gesamtschu a

DM sofort

Ko a

q Ko Kn q Ko

Kn ⁿ _n

23 , 773 . 08 23 , 1

000 . 10 08 , 1

000 . ) 10 ( 000 . 10

) = + ₃ + ₇ =

=

⇒

⋅

=

08 , 1 23 , 773 . 23 000 . 30 )

=

⋅

=

⋅

= b

q Ko Kn

n n

(7)

13 10. Die Bevölkerungszahl eines Industrielandes, die jährlich um 0,5% abnimmt, ist doppelt so hoch wie die eines Entwicklungslandes, die jährlich um 3% zunimmt.

In wie viel Jahren wird die Bevölkerungszahl des Entwicklungslandes doppelt so hoch wie das des Industrielandes sein?

geg:

ges: Lös:

. .

2

03 , 0

% 3

005 , 0

% 5 , 0 :

Entw Ind

Ko Ko

i p

aktoren Wachstumsf

=

→ +

=

−

=

→

−

=

)

* (

2

... ^. ^.

N n

K K für

n ^Entw_N _N^Ind

=

6 , 39

* 4 ln ln

* 035 , 0

eren logarithmi 4

2 2

* 2

*

* 005 , 0

* 03 , 0

* 005 , 0 .

* 03 , 0 .

. .

* 005 , 0 .

* 03 , 0 .

. .

* 03 , 0 . .

* 005 , 0 . .

=

→

⋅

=

⋅

=

⋅

=

→

⋅

=

⋅

=

⇒

⋅

=

⋅

=

⋅

=

−

n e n

e e

e Ko e Ko

Ko Ko e Ko e Ko

Kn Kn

e Ko Kn

n n

n Entw n Entw

Entw Ind n Ind n Entw

Ind Entw

n Entw Entw

n Ind Ind

in

11. Das Prokopfeinkommen im Land A ist z.Zt. dreimal so hoch wie im Land B. Das Bruttosozialprodukt wächst in A jährlich um 2%, in B jährlich um 5%. Das Bevölkerungswachstum beträgt in B 1% pro Jahr, während in A kein Bevölkerungswachstum vorhanden ist.

In wieviel Jahren ist das Prokopfeinkommen in B doppelt so hoch wie in A bei stetiger Betrachtung der Wachstumsraten?

(Prokopfeinkommen = Bruttosozialprodukt / Bevölkerungszahl)

(8)

15 ( )

( )

Jahre 89,6 n

0,02 n ln6

ln6 0,02n

ln 02 , 0 6 ln ln 0,04n

6 ln lne

eren logarithmi 6 e

YoB 3 YoA

3YoB YoA YoB 2YoA e

YoB : e YoA 2 e YoB

2 Yn : Jahren - n in

: :

Jahre - n Yn 2 Yn

. . Y 3 Y

P y Y : n Zeitpunkt zum kommen Prokopfein

P : n Zeitpunkt zum g Bevölkerun

Y : n Zeitpunkt zum alprodukt Bruttosozi

*

02 , 0 0,04n

n 02 , 0 0,04n

0,02n 0,04n

*

* 04 , 0

1%

g Bevölkerun 01 , 0

% 5 . 05 , 0 01 , 0 05 , 0 02 , 0

% 2 . 02 , 0 02 , 0 0 0

n n n n n

*

=

= +

=

⋅

=

→

⋅

=

→

⋅

=

⋅

=

⋅

=

→

⋅

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

= ⋅

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→

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→

=

+

= +

=

e n e

e e

e A Yn B e YoB YnB

e PoB

e YnB YoB B Land

e YoA YnA

PoA e YnA YoA A Land

A B

Zt z B A

n n

alpr Bruttosozi n n n

alpr Bruttosozi n

12. Die Effektivverzinsung einer Anlage, die vierteljährlich verzinst wird, ist 6,14%.

Wie ist der Jahreszinsfuß?

geg:

ges:

Lös: ( )

( ) ( )

6%

p 0,060 i

4 1 0,0614 m 1 1 i i

auflösen!

i nach

m 1 1 i 1 i 1 i

m 4 eff

m

*m eff

=

→

=

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⋅

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⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

− +

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( )

% 14 , 6 4

=

= p

rlich vierteljäh m

zinsfuß ....Jahres i

(9)

17 13. Jemand zahlt auf sein Sparkonto am 2.Juli 1979 1000DM ein.

Wie hoch ist der Kontostand am 2.April 1988 bei 3% Zins, falls das Konto zu diesem Zeitpunkt abgerechnet wird?

geg:

ges:

Lös:

1988 . 4 . 2

% 3 1000 1979 . 7 . 2

bis p

DM Ko

→

=

1988 . 4 .

→2 Kn

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

DM Kn

Kn

in in i Ko Kn

n Tage

n Tage Tage

Verzinsung gemischte Monate

Jahre Laufzeit

n

42 , 1295

100 3 360 1 91 100

3 360 1 179 100 1 3 1000

1 1 1

91 1 3 30 Tag 1 4.

3Monate mal 30Tage 3.

- 1.

1988

n 8Jahre 1988 1980

179 30 5 1 - 30 5Monate mal 30Tage 12.

- 8.

1 30 . 7 1979

9 , 8

8 3 2

3 1

2

1

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛+ ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛+ ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

+ + +

=

→

= +

⋅

→

⇒

→

⇒

−

→

=

⋅ +

→

⇒

−

⇒

→

⇒

→

geg:

ges: Lös:

) ( ...

) ...

)

∞

→ m stetig Kn b

ch halbjährli Kn

a ( )

e DM e Ko Kn

e Ko Kn b

DM i

Ko Kn

m Ko i Kn i Ko Kn a

in in

m n N

12 , 488 . 000 5 . 10 )

76 , 536 . 5 100 1 3

000 . 10

1 2

1

* 1 )

10 06 , 0

10 2 10 2

=

⋅

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

→ +

=

⋅

14. Welcher Betrag muss zu 6% bei a) Halbjährlicher

b) Stetiger

Verzinsung angelegt werden, damit daraus nach 10 Jahren 10.000 DM werden?

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

* 2

) 06 , 0

%(

6 2

000 . 10 10

i m i i

i p m Kn n

(10)

19 15. Eine Kapitalanlage hat sich nach 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit war der Zinssatz halb so hoch wie in der zweiten Hälfte.

Wie hoch waren die Zinssätze?

geg:

ges:

Lös:

2 1 2

1 0,5 2

2

5 5 10 10

i i i i

Ko Kn n

=

⋅

=

+

=

Hälften zwei den in p

( ) ( )

( )

2 5 5 2

5 2 2 5

2 5 5

5 5 5 5

5 1 5 1

2 2 1 0 2 2 0

2 2 1

2 2 2 1

2 2

1 2 2

2 1 1 2

2

⋅

−

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=

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=

q q q q

q q

q q Ko Ko

i i Ko Ko

q Ko Ko

Kn ⁿ

( ) ( ( ))

2.Hälfte 9,6%

p 2

1.Hälfte 4,8%

p 0479 , 0

1 04799 , 1

0 q 5743 , 16 0

1 4 1

5743 , 2 0 0 1

2 : 2

2 1 1

1

2 12

2

2 12

≈

→

=

≈

→

=

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=

−

⋅

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=

⎟ −

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⎜ ⎞

⎝

± ⎛

−

=

i i i

i q q

raus fällt q

q q

p q x p

Formel

<

16. Ein Kapital verzinse sich im ersten Jahr mit 4%, danach nimmt der Zinsfuß jährlich um 0,1 Prozentpunkte ab.

Nach wie viel Jahren verdoppelt sich das Kapital?

geg:

ges:

Lös:

001 , 0 04 , 0 )

%(

1 , 0

) . 1 ( 04 , 0

% 4

−

=

→

−

=

→

=

i jährlich p

Jahr i

p

Ko Kn bei n... =2

[ ]

81 81

0 29 , 386 . 1 81

2 ln ) 001 , 0 ) 1 ( 04 , 0 ( 04 , 20

) ) 1 ( 2 2( Sn n : Reihe che arithmetis 1)0,001) - (n - (0,04 ...

0,038 0,039 0,04 ln2

eren logarithmi ) 001 , 0 ) 1 ( 04 , 1 ...(

038 , 1 039 , 1 04 , 1 2

2

2 2

1

n n n n

d n a n

Ko Ko

Ko Kn q Ko

Kn ⁿ

⎟ +

⎜ ⎞

± ⎛

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− +

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