11. Vorlesung Finanzwirtschaft

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Finanzwirtschaft

11. Vorlesung

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Fachhochschule Lausitz University of Applied Sciences

Prof. Dr. Wilhelm Produktionswirtschaft

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Kapitalmarkt 2

Wiederholung: Statistik Risiko und Portfoliotheorie Aufgaben

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1

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Mittelwert 1

• Der Mittelwert wird auch weitläufig als Durchschnitt oder arithmetisches Mittel bezeichnet. Er wird berechnet, indem man alle Daten aufsummiert und durch die Datenanzahl teilt. Bei n Daten xi ergibt sich die Formel:

x =

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n

• Als Beispiel soll ein Würfelexperiment betrachtet werden, bei welchem nacheinander folgende Zahlen auftreten:

6 2 3 3 5 6 1 2 1 2 5 6 4 1 3

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• Augenzahlen bei 15 Würfeln

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Mittelwert 2

• Der Mittelwert beim Würfelexperiment ergibt sich

zu:

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— 15

3,33

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• Häufigkeit des Auftretens von Würfelaugenzahlen und

deren Mittelwert

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Wahrer Wert 1

•65535 Der wahre Wert (einer Menge) ist theoretisch und kann normalerweise nie exakt bekannt sein. Es ist der Wert, den man in einer perfekten Messung erhalten würde. Wahre Werte sind naturgemäß unbestimmt.

•65535 Beispiel 1: Im Würfelbeispiel entspricht der wahre Wert 3,5.

Dies bedeutet, dass man bei einem idealen Würfel im Mittel 3,5 erhalten sollte, wenn man unendlich oft würfelt. Erhält man jedoch bei unendlich vielen Würfen nicht 3,5 als Mittelwert, dann ist die Differenz der sogenannte bias.

2 2

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•65536 Fachhochsch ule Lausitz

University of Applied Sciences

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Wahrer Wert 2

•65535 Beispiel 2: Der erhaltene Wert für die Konzentration von Blei

in Wasser sei 3,2 mg/l. Dieser Wert ist das Ergebnis von einhundert Messungen mit verschiedenen Techniken.Wenn eine nachfolgende Messung der Probe einen Wert von 3,5 mg/l ergibt, entspricht dies nicht dem wahren Wert.

•65535 Gibt man den Wert dieser nachfolgenden Messung mit seiner zugehörigen Unsicherheit an, z. B. 3,50,5 mg/l, so kann man sagen, dass innerhalb der Unsicherheitsgrenzen dies dem wahren Wert entspricht.

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Streumaß, Varianz 1

•65535

Eine weitere charakteristische Größe neben dem

Mittelwert ist das Streumaß (Standardabweichung

bzw. die Varianz). Die Varianz ist ein Maß dafür, wie die einzelnen Daten um den Mittelwert

verteilt

sind (wie stark die Daten um den Mittelwert streuen).

•65535

Für die Varianz aus n Daten gilt :

3 3

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var n-\

^{— fix}

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Streumaß, Varianz 2

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•65535 Hierbei wird durch n-1 geteilt, weil der in die Formel eingesetzte Mittelwert aus den Daten berechnet wird.

Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade reduziert. Bei der Berechnung der Varianz wird das Quadrat verwendet, da damit weiter außerhalb liegende Punkte das Ergebnis stärker beeinflussen.

•65535 Im Würfelbeispiel (siehe Folie Mittelwert) wird der berechnete Mittelwert von 3,33 eingesetzt. Die Varianz ergibt sich damit zu

2 t \ J-

= var(x)

3,33) =3,52

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4

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Streumaß, Varianz 3

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• Bezieht man sich jedoch nicht auf den Mittelwert , sondern auf den wahren Wert |j, so teilt man nicht durch n-1, sondern durch n. Man spricht auch oft vom Fehler der

Einzelmessung bzgl. wahrem Wert:

• Dabei werden griechische Symbole (Bezug auf den wahren Wert) statt römische Buchstaben (Bezug auf den

berechneten Mittelwert) gewählt: Σ² (Varianz) oder Σ

(Standardabweichung).

n

_i=\

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Streumaß, Varianz 4

Im Würfelbeispiel ist der wahre Wert dadurch charakterisiert, dass man von einem idealen Würfel ausgeht, und bei vielen Würfen im Schnitt 3,5 erhält. Der wahre Wert ist dann 3,5. Die Varianz bezüglich dem wahren Wert ergibt sich im Würfelbeispiel zu:

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■ 3,5 f =3,32

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• Ein grafischer Vergleich der beiden Bezüge befindet sich auf der Folie Standardabweichung.

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Standardabweichung 1

•65535

Die Standardabweichung wird in der Praxis häufiger als die Varianz verwendet, da sie die gleiche Dimension wie die Messwerte hat:

•65535

Die Standardabweichung s(x) oder sdv(x) ist die Wurzel aus der Varianz und wird oft als mittlerer

quadratischer Fehler der Einzelwerte bezeichnet:

5 5

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Standardabweichung 2

• Dieser Wert hängt nicht vom Umfang der Stichprobe ab, sondern wird von der Qualität einer Messmethode beeinflusst. Man sieht aus der Gleichung, dass die wachsende Messwertanzahl durch die

Fehlersummation kompensiert wird.

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• Im Würfelbeispiel ergibt sich die Standardabweichung bezogen auf

den Mittelwert

z u : [ ) ^ 5 2 = 1 , 8 8

rdabw

[x)

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Standardabweichung 3

6 6

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• Die Standardabweichung kann natürlich auch wie

die Varianz auf den wahren Wert bezogen sein:

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• Im Würfelbeispiel ergibt sich die

Standardabweichung bezogen auf den wahren

Wert zu:r

) J 1,82

Prof. Dr. Wilhelm Produktionswirtschaft Fachhochschule Lausitz

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Varianz und Standardabweichung des Mittelwertes 2

• Relative Standardabweichung :

Varianz und Standardabweichung des Mittelwertes 1

• Varianz des Mittelwertes :

• Standardabweichung des Mittelwerts :

• Eine größere Anzahl von Messungen verbessert die Sicherheit des Mittelwertes

7 7

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relsdv(x) = sdv(x)

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• Variationskoeffizient:

• Der Variationskoeffizient ist ein Maß für die

Streubreite und gibt den Abstand zwischen

kleinstem und größtem Wert (auch Spannweite

genannt) an.

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Kapitalmarkt 2

Wiederholung: Statistik Risiko und Portfoliotheorie Aufgaben

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8

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Different types of risks:

• Total Risk:

•65535 Standard deviation is a measure of total risk.

•65535 Total risk is made up of unique risk and market risk.

• Unique risk /Unsystematic risk / Diversifiable risk:

• Risk that can potentially be eliminated by diversification, e.g... lawsuits, strikes

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Diversification

• Diversification:

•65535 It reduces variability (risk) because prices of different stocks do not move exactly together (their returns are not perfectly correlated).

•65535 For a reasonably well-diversified portfolio, only market risk

of the securities included in the portfolio matters.

Different types of risks (Cont'd)

• Market risk / Systematic risk / Non-diversifiable risk:

• Risk that cannot be avoided. They are economy-wide and affect all businesses, e.g... recession

9 9

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1 0

Diversification (Cont'd)

• Diversification eliminates unique risk

Portfolio standard deviation

market risk

securities

Prof. Dr. Wilhelm Produktionswirtschaft Fachhochschule Lausitz

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Portfolio Theory

• Find the expected return and standard deviation of a

two-stock portfolio:

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21 xBoein g

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xKodak

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20 40

Standard deviation (%)

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1 1

Diversification (Cont'd)

• If 33% is invested in Boeing and 67% is invested in Kodak, and the correlation coefficient for the two stocks is .4 :

• Portfolio expected return

= (.33 x 21) + (.67 x 15)

= 17%

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Portfolio Theory (Cont'd)

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• Portfolio variance

- X-\ ! +^X1X2p12 1 2

= (.33)²(40)² + 2(.33)(.67)(.4)(20)(40) + (.67)²(20)²

= 495

• Portfolio standard deviation = 22%

• What happens to the portfolio standard

deviation if the correlation coefficient is 1, or 0, or -1 ?

y 2 O 2

x2 2

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Fachhochschule Lausitz

University of Applied Sciences Prof. Dr. Wilhelm

Produktionswirtschaft

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Limits to Diversification

•65535

For a portfolio of 2 securities, the portfolio variance

consists of 2 variance terms and 2 covariance terms.

•65535 For portfolios of N securities

•65535

=> N variance terms

•65535

=> (N

²

- N) covariance terms

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Limits to Diversification (Cont'd)

• Suppose equal proportion is invested in each of N stocks:

σp2

= N(1/N)

²

x (avg variance) +

(N

²

-N)(1/N)

²

x (avg covariance) =

(1/N) x (avg variance) + (1 - 1/N) x

(avg covariance)

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Limits to Diversification (Cont'd) Example:

• If there are 100 stocks in the portfolio and each has a standard deviation of 0.1. The correlation

coefficient between any pair of securities is 0.3. Find

the portfolio standard deviation.

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13

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Riskless Borrowing and Lending

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Expected return

CML

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0 ^Standard

deviation

(69)

The efficient set is now the capital market line (CML)

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Kapitalmarkt 2

Wiederholung: Statistik Risiko und Portfoliotheorie Aufgaben

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Question 1

• Given the following probability distributions, what are the expected return and standard deviation?

State Probability Return

1 0.3 20%

2 0.4 25%

3 0.3 30%

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Question 2-1

• Here are some historical data on the risk and return characteristics of Kodak and Citicorp:

• Kodak Citicorp

•65535 Yearly expected return (%) 15 20

•65535 Yearly standard deviation of return (%) 25 29

•65535 The correlation coefficient of Kodak's return versus Citicorp's is 0.46.

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Question 2-1

1. What is the expected return and standard deviation of a portfolio half invested in Kodak and half in Citicorp?

1. If you want to achieve an expected rate of return of 23%, what must be the investment proportions of your portfolio of Kodak and Citicorp? What will be the resulting standard deviation?

1. What is the expected return and standard deviation if the investment portfolio in part (a) is financed at 50% margin, i.e., you put up only 50 percent of the total amount and borrows the balance from the broker? Assume a margin interest of 5%.

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2. Fachhochschule Lausitz

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Question 3

• Suppose that there are many stocks in the market and that the characteristics of Stocks A and B are given as follows:

Expected Return Standard Deviation

10% 5%

15% 10%

Correlation coefficient = -1

• Suppose that it is possible to borrow at the risk free rate, Rf, what must be the value of the risk free rate? (Hint: Think about constructing a risk-free portfolio from Stocks A & B.)

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Question 4-1

• Consider three stocks: A, B, and C. The correlation coefficients between pairs of stocks is as follows:

•65535 Corr(A,B) = 0.85;

•65535 Corr(A,C) = 0.60;

•65535 Corr(B,C) = 0.45.

• Each stock has an expected return of 8% and a

standard deviation of 20%.

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Question 4-2

1.

If your entire portfolio is now composed of Stock A and you can add some of only one stock to your portfolio, which one would you choose (explain your choice)?

1. Suppose that in addition to investing in one more

stock, you can invest in T-bills as well. Would you

change your answer to part (a) if the T-bill rate is

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2. Fachhochschule Lausitz

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