3. 1 Di e rati onal en Z ahl en und di e Axi ome des K

(1)

Kapitel 3

Ar ithmetik

ArithmetikistdieLehrevondenZahlenundihrenVerkn

¨upfungen.

Vergessen,wasZahlensindundwasmanmitdenenallessomachenkann?Machtnichts.Diefol-gendenAbschnittesindalskleineErinnerungshilfegedacht. DereinhundertdreiundzwanzigsteNachfolgerderNullimdekadischenSystem(ZiffernderGrundperiode0,1,2,...,9)

1·10 2+2·10 1+3·10 0=123(3.1)

undimdyadischernSystem(ZiffernderGrundperiode0,1)

1·2 6+1·2 5+1·2 4+1·2 3+0·2 2

+1·2 1+1·2 0=1111011(3.2)

undimHexadezimalsystem(ZiffernderGrundperiode0,1,...,9,A,B,C,D,E,F)

7·16 1+B·16 0=7B(3.3)

Ach

¨ubrigens

–verwechselnSiebittenichtZahlmitZiffer.EineZahlisteinma-thematischenDing,dessenEigenschaftenineinemAxiomensystemoder

¨ahnlic

hemfestgelegtwerden.EineSymbolsequenzwie123istzun

Addition,das seZifferf¨urdeneinhundertdreiundzwanzigstenNachfolgerdesNeutralelementsder (arabisch:sifr).ImDezimalsystem,auchgenanntdasdekadischeSystem,stehtdie- ¨achstlediglicheineZiffer

¨ublic

herweisemit0bezeichnetwird.ImdyadischenSystem,auchge-nanntdualesSystem,w

¨are

dieseZahldurchdieZiffer1111011dargestellt,worin0wiegehabtdieZifferf¨urdasNeutralelementderAddition,und1dieZifferf¨urdenNachfolgervon0.MankannalsoZahlenganzunterschiedlichdarstellen.Sofernnichtausdr

dargestelltwobeiwirf¨urdiesog.GrundperiodeunseresSystemsdiearabischenZif- ¨ucklichvermerkt,werdenZahlenindieserVorlesungimDezimalsystem

c!MartinWilkens536.November2013

(2)

54Arithmetik

fern0,1,2,3,4,5,6,7,8,9verwenden,wobei1derNachfolgervon0,2derNachfolgervon1,...,9derNachfolgervon8.DerNachfolgervon9–dieZahl9+1–wirdmitderZiffer10bezeichnet,derNachfolgervon99mitderZiffer100undsoweiter.Allesklar?Nadannmallos...

3. 1 Di e rati onal en Z ahl en und di e Axi ome des K

¨or

p er s

Schonfr

¨uh

habenSie–unddieMenschheit–mitdenZahlen1,2,3,...gelerntzuz¨ahlen.AbererstMittedes19JhdtshatunsdieMathematikeinenpr

¨azisen

BegriffdieserZahlengeliefert.Demnachhandeltessichbei1,2,3,...umElementeeinergewissenMengeN,diedadurchcharakterisiertist,dassjedesElementvonNeinenundnureinenNachfolgerinNhat,und–mitAusnahmeeinesausgezeichneten“Startelements”–selberNachfolgergenaueinenElementsist.DiesobestimmteMengenenntmandieMengedernat

¨urlic

henZahlen,h

¨aufig

notiertinderForm 1

N={1,2,3,...}.(3.4)

Statt

¨ub

erdasAbz

¨ahlen

k¨onnen

nat

¨urlic

heZahlenauch

¨ub

erdieGr

¨oßen

bestim-mungvonMengeneingef

¨uhrt

werden.Demnachsteht1f¨urdieKollektionallerMengen,diegenaueinElementhaben(alsoKorbmiteinemApfel,KorbmiteinerBirneusw),und2f¨urdieKollektionderjenigenMengen,diezweiElementehaben

1ZuweilenwirdNunterEinbeziehungder“Null”definiert,unddiein(3.4)angegebenenMen-gewirdmitN∗bezeichnet.WirbleibenbeiunsererBezeichnung,undnotieren–sofernn¨otig–dieMenge{0,1,2,3,...}mitdemSymbolN0.DerGrundf¨urunserenStarrsinn:dieNullistkei-neAbz

¨ahlzahl,

undimAnhangwerdendienat

¨urlic

henZahlenaxiomatisch

Abz ¨uberdieKunstdes

¨ahlens

eingef

¨uhrt.

6.November201354c!MartinWilkens

(3)

3.1DierationalenZahlenunddieAxiomedesK

¨orpers55

usw.DieAbz¨ahlzahlennenntmanindiesemZusammenhangOrdinalzahlen,die“Mengengr

¨oßenzahlen”

nenntmanKardinalzahlen. 2 DasProduktdernat

¨urlic

henZahlenvon1biszueinergegebenenZahlnk¨urztmaninderNotationab,

n!=1·2·3·····n(3.5)

genanntn-Fakult¨at,undvereinbart0!:=1.DieFakult

derM Kombinatorik.DieZahln!istgenaudieZahl ¨atspielteinegroßeRolleindersog.

¨oglic

hkeiten,nverschiedeneObjekteineinerReiheanzuordnen(¨aquivalent:DieZahln!istdieAnzahlderPermutationennver-schiedenerElemente).Kombinatorischauchbedeutsamdiesog.Bi-nomialkoeffizienten!nk ":= n(n−1)...(n−k+1)k! ≡ n!k!(n−k)! .(3.6)DieZahl #nk $istgenaudieAnzahlderk-elementigenTeilmengeneinernichtleerenMengemitnElementen(Beweis:¨Ubung).Manbeachte,dassessichtrotzdesBruch-strichsbeieinemBinomialkoeffizientenimmerumeinenat

¨urlic

heZahlhandelt. Mitnat

¨urlic

henZahlenl¨asstsichabernichtnurz¨ahlen,sondernauchrechnen.Insbe-sonderelassensichzweinat

¨urlic

heZahlenaddierenodermultiplizieren,ohnedabeidenZahlbereichdernat

¨urlic

henZahlenzuverlassen.DieIhnenvertrauteSubtrak-tionistallerdingsnichtf¨urallenat

¨urlic

henZahlenerkl

¨art

–wasw

¨are

denndieZahl“EinsvermindertumZwei”?Hierhilfteinesog.Zahlbereichserweiterungdernat

¨urlic

henZahlenzudenganzenZahlenweiter,h

¨aufig

notiert

Z:={0,−1,1,−2,2,−3,3,...}.(3.7)

AlsneueSpielertretenhierdieNullunddienegativenZahlen(dassinddiemitdemvorangestelltenSymbol−,lies“minus”)inErscheinung.DieNullisteinedergenialstenErfindungenderMenschheit, 3dienegativenZahlenwarenbisinDescartesZeitenschlichteinUnding–mankonntesichunterihnennichtsrechtesvorstellen.

InderMengederganzenZahlenkannnunauchsubtrahiertwerden,ohneausderMengezufliegen.AllerdingsistDivisionnachwievornureingeschr

¨ankt

m¨oglic

h–wasw

¨are

denn“ZweigeteiltdurchDrei”?

UmhierweiterzukommenwirddieMengederganzenZahlenzurMengederra-

2TretenzueinemWettlaufdreiTeilnehmeran,n¨amlichAdelheid,BertaundCarl,k¨onntenbeispielsweiseBertaalsErste,CarlalsZweiter,undAdelheidalsDritteinsZielkommen.Die“drei”imletztenSatzbezeichnetdanndenUmfangderTeilnehmermenge,w

¨are

alsoeineKardinalzahl,w

¨ahrend

“Erster”,“Zweiter”und“Dritter”alsOrdinalzahlenfungieren.HabenalleTeilnehmerdasZielerreicht,w

¨are

alsodieTeilnehmermengemitHilfederOrdinalzahlenstruktuiert,st

¨unde

mitVergabedesPr

¨adiakts

“dieDritte”damitauchdieGesamtzahlderTeilnehmerfest(n

¨amlic

h“drei”).Kurz:endlicheOrdinalzahlenundKardinalzahlend¨urfengetrostidentifiziertwerden.3WunderbardasBuchTheNothingThatIsvonRobertKaplan(Penguin1999),derdeutscheTitelDieGeschichtederNull(Campus2001)eineziemlichbr

¨asige

¨UbersetzungdesOriginaltitels.

(4)

56Arithmetik

tionalenZahlenerweitert,

Q:= %pq |p,q∈Z,q%=0 &.(3.8)

ImSinnederPythagor

¨aer

isteinerationaleZahlnichtsanderesalseineProportion–dasVerh

¨altnis

zweierkommensurablerStrecken,alsodasVerh

¨altnis

zweierStrecken,dieeingemeinsamesMaßaufweisen.W

¨ahlt

manalsMaßbeispielsweise“D

¨odel”,

soverhieltensichzweiD

¨odel

zuvierzehnD

¨odel

wieeinD

¨odel

zusiebenD

¨odel.

Inderheutzutagegebr

¨auc

hlichenNotation 17 = 214 –kurz 17 und 214 repr

¨asen

tierendiegleicherationaleZahl.VerallgemeinertschautmanhieraufdieK

¨urzungsregel

Abb3.1Addition–thePythagoreenstyle(viaParallelverschiebung). k·pk·q = pq ,(3.9)vonrechtsnachlinksgelesengenanntErweiterungsregel.DieZahlp

¨ub

erdemBruchstrichnenntmandenZ

¨ahler

,dieZahlqunterdemBruchstrichdenNennerdesBruchs pq .EinenBruchderForm 1q nenntmaneinenStammbruch.EinenBruchderForm p1 identifiziertmanmitderZahlp,also p1 =p,unddasbedeutet,dassdieganzenZahleneineTeilmengederrationalenZahlen,N⊂Z⊂Q.(3.10)

IndenrationalenZahlenstehenallevierGrundrechenartenuneingeschr

¨ankt

zurVerf

¨ugung.

Addition,Subtraktion,MultiplikationundDivisionvonrationalenZah-lensindinderBruchdarstellungdefiniert(p,q,r,ssindganzZahlen)

Abb3.2Multiplikation–thePythago-reenstyle(viaStrahlens

¨atze).

pq ± rs := p·s±r·qq·s (3.11)

pq · rs := p·rq·s ,(3.12)

pq ÷ rs := p·sq·r ,(3.13)

(5)

3.1DierationalenZahlenunddieAxiomedesK

¨orpers57

wobeiwirhier–wieimFolgenden–stillschweigendvoraussetzen,dassdieNennerungleichNull.DerK

¨urzungsregel

seiDanksinddieDefinitionenunabh

¨angig

vomjeweiligenRepr

¨asen

tanten,sollheißenstattpundqd

¨urfen

siehierauchk·pundk·qsowien·rundn·sverwenden,ohnedieG

¨ultigk

eitzubeeintr

¨achtigen.

EinZahlbereichf¨urdenallevierGrundrechenartenuneingeschr

¨ankt

zurVerf

¨ugung

stehen,istausmathematischerSichteinDingvomTyp“K

¨orp

er”.

Definition“K

¨orp

er”:EinK

¨orp

erbestehtauseinerMengeKundzweiVerkn

¨upfun-

gen+:K×K→K(a,b))→a+b (3.14)

und·:K×K→K(a,b))→a·b (3.15)

diefolgendenAxiomengen

¨ugen

1.(a+b)+c=a+(b+c)

2.a+b=b+a

3.EsgibteinElement0∈Kmita+0=af¨urallea∈K

4.Zujedema∈KgibteseinElement−a∈Kmita+(−a)=0.

5.(a·b)·c=a·(b·c)

6.a·b=b·a

7.EsgibteinElement1∈K,1%=0,mit1·a=af¨urallea∈K.

8.Zujedema∈K,a%=0,gibteseina −1∈Kmita −1·a=1.

9.a·(b+c)=a·b+a·c

(6)

58Arithmetik

Zugegebenermaßenetwasbarock–abersoistdashalt,wennmaneinsom

WerkzeugwiedieArithmetikeinfangenwill... ¨achtiges

Sie

¨ub

erzegensichineinerstillenMinute,dassdierationalenZahlenmitdenin(3.11–3.13)angegebenenRechenvorschriftendenK

¨orp

eraxiomengen

¨ugen.

Mansprichtdaherauchgernevom“K

¨orp

erderrationalenZahlen”.Dienat

¨urlic

henZah-lenoderdieganzenZahlenbildenkeinenK

¨orp

er–schließlichkannmaninihnennichtuneigeschr

¨ankt

dividieren(“ageteiltdurchb”wirdinK

¨orp

erspracheausge-dr

¨uckt“amalb”). −1

Abb3.3Wiemandiepositivenrationa-lenZahlenabz

¨ahlt.

AuchwennSieesnichtglaubenwollen–dierationalenZahlensindabz

¨ahlbar.

Esgibtn

¨amlic

heineBijektionN→Q–einUmstand,aufdenCantorerstmalshingewiesenhat.Sied

¨urfen

dasauchsolesen:esgibtgenausovielenat

¨urlic

heZahlenwieesrationaleZahlengibt–n

¨amlic

hℵ0(Aleph-Null,AlephistdasersteGlyphimHebr

¨aisc

henAlphabet),dieKardinalzahlvonN(undQ).Hatteichschonerw

¨ahn

t,dassesgenausovielegeradeZahlengibtwieesnat

¨urlic

heZahlengibt?GenausovieleganzeZahlen?UngeradeZahlen?Zahlendiedurch17teilbarsind?

LeidersindnichtalleZahlen,dieSieausderSchulekennen,rational.ImGegenteil–diemeistensindirrational.EinbeliebtesBeispieleinerirrationalenZahlistdieZahl √2,dieL

¨ange

derDiagonalenimEinheitsquadratbzw.diepositiveWurzelderGleichung

x 2−2=0.(3.16)

DerBeweis,dass √2nichtrational,isteinKlassiker.ErfindetsichschoneinEuklids“Elemente”.SeialsoaeinerationaleZahlmita 2=2.DanngibtesganzeZahlen

pundq>0,ohnegemeinsamenTeiler,sodassa= pq mit 'pq (2= p2

q2=2bzw.

p 2=2·q 2.Folglichp 2einegeradeZahl,somitpeinergeradeZahl,p=2·r,woreineganzeZahl,undq 2=2·r 2.EntsprechendauchqeinegeradeZahl,somitp,qnichtteilerfremd,imWiderspruchzurAnnahmen.qed

(7)

3.2DiereellenZahlen59

3. 2 Di e reel len Z ahl en

NunistdieZahl √2istzwarnichtrational,istabermiteinemZirkelaufderZah-lengeradedurchausgeometrischkonstruierbar.AndereZahlen,wiebeispielsweiseπsindauchnichtrational,undsindnochnichteinmalgeometrischkonstruierbar 4

MitBlickaufdieZahlengeradesagtman,Qseidichtaberunvollst

¨andig.

Die“Dicht-heit”solldabeibedeuten,dasszwischenzweiverschiedenenrationalenZahlenaundbbeliebigvieleandererationaleZahlenliegen,undm

¨ogen

diebeidenZahlenaundbaufderZahlengeradennochsoengbeieinanderliegen.ZumBeweisnehmemandocheinfachzweiverschiedenerationaleZahlenaundb,undbestimmederenMittelc= 12 (a+b).DieZahlcistnun(1)auchrational,(2)liegtzwischenaundb,undist(3)wedergleichanochgleichb.NunbestimmemandasMittelvon,sagenwiraundc,odercundb,undmacheimmersoweiter.Undweil“immersoweiterma-chen”keinEndefindet,befindensichzwischenzweiverschiedenenrationalenZahlenbeliebigviele(dasisth

¨oflic

hf¨ur“unendlichviele”)andererationaleZahlen.

Unvollst

¨andigk

eitbedeutet,dassesFolgenrationalerZahlengibt,diezwarinsichkonvergieren,derenLimesabereineirrationaleZahl.MeinLieblingsbeispielindie-semZusammenhangdieFolgean:= #1+ 1n $n.F

¨ur

jedesn∈Nistaneinera-tionaleZahl,aberderGrenzwert–Eulerse–istirrational,gartranszendent,limn→∞an=e/∈Q.DaSieFolgenaber“offiziell”(d.h.imRahmendiesesKur-ses)nochgarnichtkennen,d

¨urfen

SiedasBeispielauchgleichwiedervergessen,m

¨ussen

mirdannabereinfachglauben,dassdierationalenZahlennichtvollst

¨andig

sind. JedereelleZahlxl¨asstsichmitrationalenZahlenbeliebiggenauschachteln,sollheißenf¨urjedes!>0lassensichrationaleZahlenr,sangebenmitr≤x≤sunds−r<!.HatmanGl

w ¨uck,undxistselberrational,so

¨ahle

mandocheinfachr=s=x,undfertigistdieLaube.Andernfallsfangemandochein-fachbeiirgendzweirationalenZahlenrundsan,diexumfassen.ManbestimmedanndenMittelpunktt= 12 (r+s)(aucheinerationaleZahl!),undschauenach,obxinderlinkenH

¨alfte

lokalisiertist,oderinderrechtenH

¨alf-

te.Istxinderlinken(rechten)H

¨alfte

lokali-siert,wiederholemandasganzemittanstelles(tanstellevonr).Sof¨ahrtmanfort,biss−rkleineristalsdievorgegebenenGenauigkeit!.

4Achtung:derKreisumfangeineKreisesmitEinheitsdurchmesserbetr

¨agt

zwarπ,aberdiesesπl¨asstsichalsGeradenst

¨uckmitZirkelundLinealnichtkonstruieren.Nat

¨urlic

hk¨onnenSieeineKreisscheibeaufderZahlengeradenabrollenlassen–womitSiew

¨ussten,

woungef

¨ahr

dieZahlπliegt–aberdasisthaltkeinegeometrischesonderneinephysikalischeKonstruktion.

(8)

60Arithmetik

Vervollst

¨andigt

werdendierationalenZahlendurcheineZahlbereichserweiterungindenreellenZahlenR.DieErweiterungistetwasverwickelt,undwirddaheraufdieErg

¨anzungen

verschoben.Dortlerntmandann,dasssichdiereellenZahlenalskleinsteobereSchrankevonnachobenbeschr

¨ankten

TeilmengenderrationalenZahlendefinierenlassen. 5F

¨ur

unsereZweckereichtesaus,wennSiesichunterdenreellenZahlendiePunkteaufderZahlengeradevorstellen(Mathematikertundasauch,auchwennsiedasoffiziellnichtgernezugeben).NeueRechenregelnm

¨ussen

SiebeimUmgangmitdenreellenZahlen

¨ubrigens

nichtlernen.Wieschonf¨urdierationalenZahlenstehenauchf¨urdiereellenZahlenallevierGrundrechenartenzurVerf

¨ugung,

undesgeltendieRechenregelen,dieIhnenausderElementarmathematikvertrautsind.Kurz:auchdiereellenZahlengen

¨ugen

denK

¨orp

eraxiomen. EinenAusdruckderForma<b,wieaucheinenAusdruckderForma≤bnenntman

¨ubrigens

eineUngleichung.BeimUmgangmitUngleichungenleistenfolgendeGrund-regelnunsch¨atzbareDienste(Beweisinden¨Ubungen):

•F

¨ur

allea,b,c∈Rista≤b

¨aquiv

alenta+c≤b+c.

•BeiderMultiplikationmussmanmitdemVorzeichnenetwasaufpassen.Nurwenncpositivista≤b

¨aquiv

alentc·a≤c·b.Isthingegencnegativ,ista≤b

¨aquiv

alentc·b≤c·a.

3. 2. 1 Ar chi m edi sc he O rdn ung

¨UberihreK

¨orp

erhaftigkeithinaushabenreelleZahleneinewichtigeEigenschaft,diedieweiterunteneinzuf¨uhrendenkomplexenZahlennichtaufweisen:sielassensichanordnen.DemnachheißteinereelleZahlagenaudannkleinergleicheinerreellenZahlb,notierta≤b,wennb−anichtnegativ.DieRelation≤erf

¨ullt

dieKriterieneinerOrdnungsrelation:sieist1.reflexiv,denna≤a,2.antisymmetrisch,dennwenna≤bundb≤a,danngilta=b,und3.transitiv,dennwenna≤bundb≤c,danngilta≤c.DieOrdnungisttotal,auchgenanntlinear,dennf¨urjedesbeliebigePaarrellerZahlenl¨asstsichentscheiden,oba<b,b<aodera=b,undsieistarchimedisch:zujezweireellenZahlen0<x<ygibteseinenat

¨urlic

heZahlnsodassy<nx.DieArchimedischeOrdnungdarfmanauchlesen“esgibtkeineunendlichkleinenZahlen”,unddasganzenunzusammengefasst:diereellenZahlenbildeneinenvollst

¨andigen,

archimedischgeordnetenK

¨orp

er. WichtigeTeilmengenderreellenZahlensinddieIntervalle.ManunterscheidetdasoffeneIntervall]a,b[:={x|a<x<b},dasabge-schlosseneIntervall[a,b]:={x|a≤x≤b},daslinksseitighalboffeneIntervall]a,b]:={x|a<x≤b},unddasrechtsseitighalboffeneIntervall[a,b[:={x|a≤x<b}.Nurimabge-schlossenenIntervallfindetsicheinkleinstesundeingr

¨oßtes

Element,treffendgenanntMi-nimumundMaximum.InallenanderenInter-vallenfehltentwederdaseine,oderdasande-reodergarbeide.DieIntervallgrenzenlassensichdannmitdemSupremumbzwInfimumidentifizieren.

5Alternativals¨AquivalenzklassenvonCauchy-Folgen,oderals¨AquivalenzklassenvonIntervall-

(9)

3.2DiereellenZahlen61

3. 2. 2 Betr ag

Desweiterenl¨asstsichsinnvoll

¨ub

erdieabsoluteGr

¨oße

einerreellenZahlunddenAbstandzweierrellenZahlenaundbreden.EinMaßf¨urdieabsoluteGr

¨oße

einerreellenZahlxvermitteltihrAbsolutbetrag,

|x|:= %xfallsx≥0−xfallsx<0 (3.17)

undderAbstandzweierrationalerZahlena,bwirderkl

¨art

|a−b|.F

¨ur

"≤0heißenrationaleZahlenxmit|a−x|<"“ausder"-Umgebungvona”.AbsolutbetragundAbstandgestattenGr

¨oßen-

bzw.Entfernungsvergleiche,dieinsbesonderef¨urdieAnalysisvongroßerBedeutungsind.

HatmannuneineGleichunga=b,soistselbstverst

¨andlic

hauch|a|=|b|.Allerdingsl¨aßtsichauseinerGleichung|a|=|b|nichtschließen,dassaundbgleich,sondernledigleicha=±balsKurzformderAussage“(a=b)∨(a=−b).”F

¨ur

dasProdukta·bgilt|a·b|=|a|·|b|.F

¨ur

dieSummea+bgiltallerdingskeineswegsimmer|a+b|=|a|+|b|,denkenSienurana=−bmita%=0,dannw

¨are

doch|a+b|=|a−a|=|0|=0%=2·|a|.Vielmehr

||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(3.18)

Beweis:¨Ubungen... DasSignumeinerZahlistdefiniert

Sgn(a)= 

 +1fallsa>00fallsa=0−1fallsa<0 (3.19)

Offensichtlich|a|=a·sgn(a).Angesichtssgn(a·b)=sgn(a)·sgn(b)ist|a·b|=a·b·sgn(a·b)=a·sgn(a)·b·sgn(b)=|a|·|b|.

3. 2. 3 P otenz und W ur zel n

BeimRumrechnenmitZahlenst

¨oßt

manh

¨aufig

aufTermederFormx noderx 1n,genanntdien-tePotenzvonxbzw.dien-teWurzelvonx.

schachtelungenrationalerIntervalle.

(10)

62Arithmetik

Definition(Potenz):SeiaElementeinesK

¨orp

ersK;dannistdiePotenza nf¨urganze,nicht-negativeZahlenn≥0rekursivdefiniert,

a 0:=1,a n+1:=a·a n(n≥0)(3.20)

Soferna%=0seif¨urderhin

a −n:=(a −1) n≡ 1an .(3.21)

DieDefinitionbedeutet,dassf¨urjedeZahla%=0derWertvona pf¨urbeliebigeganzeZahlenp∈Zbestimmtist.Wegen“Minus-Mal-Minus-ist-Plus”gilt

(−1) p= %+1f¨urpgeradeZahl−1f¨urpungeradeZahl (3.22)

AußerdemgeltendieRechenregeln

a p·a q=a p+q(3.23)(a p) q=a p·q(3.24)

a p·b p=(a·b) p(3.25)

fürnicht-negativenganzenZahlenp,qund,fallsaundbvon0verschiedensind,füralleganzenZahlenp,q.Manbeachte,dassesfürdasProdukta p·b qkeineeinfacheRechenregelgibt.Ach

¨ubrigens

–Sieerinnernsichsicherlich,dassRechenregelnimmerbeweisbed

¨urftig

sind,bevormansieimAlltagbenutzt.... DieinGl.(3.6)eingef

¨uhrten

Binomialkoeffi-zientverdankenihrenNamendemBinomi-schenSatz

(a+b) n=a n+ !n1 "a n−1b+ !n2 "a n−2b 2

+···+ !nn−1 "ab n−1+b n

= n,

k=0 !nk "a kb n−k(3.26)

denSieinden¨Ubungenbeweisen.Vorausset-zungf¨urdenBinomischenSatzistlediglich,dassaundbauseinenK

¨orp

erstammen.Wel-cherK

¨orp

er(rationaleZahlen,reelleZahlen,komplexeZahlen)dasimeinzelnenist,istun-erheblich.

DieGleichungx n=x nisteineBanalit

¨at,

¨ub

erdiezuredennichtweiterlohnt.DierechteSeiteisteineZahl,nennenwirsiea.DieBanalit

¨at

erscheintjetztinderFormx n=a,undwirdf¨urgegebenesazurFrage:welcheZahlenxsindes,derenjeweiligen-tePotenzdieZahlaliefern?DieMehrzahlformisthiermitBedachtgew¨halt:Sei

(11)

3.3KomplexeZahlen63

n¨amlic

hf¨urngeradeeineZahlx0L

¨osung

derGleichungx n=a,alsox n0=a,dannistwegen()auch−x0≡−1·x0eineL

¨osung!

Istallerdingsnungerade,entf

¨allt

dieseM

¨oglic

hkeit:dasVorzeichenvonx0istindiesemFalledurchdasVorzeichenvonabereitsbestimmt.

L¨osungen

derGleichungx n=aheißenWurzelnvona.F

¨ur

nicht-negativeadefiniert

a 1n(3.27)

diesog.positiveWurzelderGleichungx n=a.DieNotationrespektiert(),denn(a 1n) n=a n·1n=a nn=a 1=a.

SofernneineungeradeZahlistdiepositiveWurzeldieeinzigeWurzelvonx n=a>0.SofernneingeradeZahl,sinddiepositiveWurzelunddienegativeWurzel−(a) 1nWurzelnvonx n=a.ImFallenegativera,alsoa<0,istdieGleichungx n=anurf¨urungeradenl¨osbar,miteindeutigbestimmterWurzel−(−a) 1n.

3. 3 Kompl exe Z ahl en

DieFeststellung,dassx+2=1keineL

¨osung

indenNat

¨urlic

henZahlenhat,f¨uhrtezurErfindungderganzenZahlen.UnddieFeststellungdass2x=1keineL

¨osung

indenganzenZahlenhat,f¨uhrtezurErfindungderrationalenZahlen.DieEinsicht,dassx 2=2keineL

¨osung

indenrationalenZahlenhatf¨uhrtezurErfindungderreellenZahlen.UnddieEinsichtdassx 2=−1keineL

¨osung

indenreellenZahlenhatf¨uhrtezurErfindungder–TataTata!–komplexenZahlen.

(12)

64Arithmetik

3. 3. 1 Defini ti on

Definition:UnterdemK

¨orp

erderkomplexenZahlen,bezeichnetC,verstehtmandieMengeR×RzusammenmitdenbeidenVerkn

¨upfungen

(x,y)+C(u,v):=(x+u,y+v),(3.28)(x,y)·C(u,v):=(x·u−y·v,x·v+y·u)(3.29)

genanntkomplex-Additionundkomplex-Multiplikation.

DieVerkn

¨upfungen

sindassoziativundkommutativundgen

¨ugen

demDistributiv-gesetz.VordiesemHintergrunderlaubenwirunseinekleineSchlamperei,undlassendasPr

¨afix

“komplex-”undSubskriptCunterdenTischfallen.

PaarevomTyp(0,y)lassensichmitderAbk

¨urzung

i:=(0,1)(3.30)

undBlickauf()auchschreiben(y,0)·ibzw–diekomplexeMultiplikationistkom-mutativ–i·(y,0).MitBlickauf()erh

¨alt

man(x,y)=(x,0)+i·(y,0),unddaPaarevomTyp(x,0)∈R×{0}sichbzgl.derkomplexenAdditionundMultiplikationgenausoverhaltenwiediereellenZahlenx∈Rbzgl.der

¨ublic

henAdditionundMultiplikation,d

¨urfen

diePaare(x,0)mitreellenZahlenxidentifiziertwerden,undmanschautaufdieheutzutagegebr

¨auc

hlicheSchreibweiseeinerkomplexenZahlz∈C,z=x+iy(3.31)

mitx,y∈Rundi·i≡i 2=−1(3.32)

(13)

3.3KomplexeZahlen65

MannenntdiereellenZahlenxundydenRealteilunddenImagin

UnddieZahlinenntmanzuweilen“Wurzel-aus-Minus-Eins”,i=−1.Mank √ ¨arteilvonz.

¨onn-

tesieauch“MinusWurzel-aus-Minus-EIns”nennen,schließlichistauch(− √−1)·(− √−1)=−1,aberwirbleibenbei“iistdiepositiveWurzel-aus-Minus-Eins”.

GerechnetwirdmitkomplexenZahlengenausowiemitreellenZahlen,wobeiPro-duktevoniunterVerwendungvoni 2=−1vereinfachtwerden,

(x+iy)+(u+iv)=x+u+i(y+v),(3.33)(x+iy)·(u+iv)=x·u−y·v+i(y·u+x·v).(3.34)

3. 3. 2 Gauss’ sc he Zahl eneb ene

Abb3.4DieGauss’scheZahlenebene. KomplexeZahlenlassensichalsPunkteeinerZahlenebene/R 2darstellen,genanntdieGauss’scheZahlenebene.InGauss’eigenenWorten 6

SowiemansichdasganzeReichallerrellenGr

¨oßen

durcheineunendli-chegeradeLiniedenkenkann,sokannmandasganzeReichallerGr

¨oßen,

reellerundimagin

¨arer

Gr

¨oßen

sichdurcheineunendlicheEbenesinnlichmachen,worinjederPunkt,durchAbzisse=aOrdinate=bbestimmt,dieGr

¨oße

a+ibgleichsamrepr

¨asen

tiert.

HeutzutagenenntmandieAbzisseindiesemZusammenhangauchdiereelleAchse,unddieOrdintatedieimagin

¨areAchse.

Abb3.5DieAdditionzweierkomplexerZahlenz1,z2mittelsParallelogrammregelinderZeigerdarstellung. MankannnunmitjederkomplexenZahleinenZeigerzuweisendessenSchaftimUrsprungunddessenSpitzeaufdiejeweilsgew

¨unsc

hteZahlzeigt.DieAdditionzweierZahlenindemmaneinenderbeidenZeigerparallelverschiebt,sodasssein

6zitiertnachEbbinghausetal.Zahlen,S.49f

(14)

66Arithmetik

SchaftmitderSpitzedesanderenZeigerszusammenf

¨allt.

DerresultierendeZeigeristdanndasBildderSumme.WelchenderbeidenZeigermanverschiebtistdabeiganzgleichg

¨ultig

–dieAdditionistschließlichkommutativ.

N¨utzlic

hindiesemZusammenhangdiezueinerkomplexenZahlz=x+iykonjugiertkomplexeZahlz ∗:=x−iy(3.35)

diemaninderGausschenZahlenebenedurchSpiegelunganderreellenAchseerh

¨alt.

Leicht

¨ub

erzeugtmansichvondenRegeln

(z+w) ∗=z ∗+w ∗,(3.36)(z·w) ∗=z ∗·w ∗,(3.37)(z ∗) ∗=z.(3.38)

Lies:dieKonjugationeinerSummebzw.einesProduktsistdieSummebzw.dasProduktderkonjugiertenundDoppelkonjugationistwienixtun.

Abb3.6EinekomplexeZahlzundih-rekomplex-konjugierteSchwesterz ∗inderZeigerdarstellung. MitHilfederKonjugationlassensichReal-undImagin

¨arteil

extrahieren,

0(z)= z+z ∗

2 ,1(z)= z−z ∗

2i (3.39)

wassichalsn

¨utzlic

herweist,wennmanznichtschonalsSummevonReal-undImagin

¨arteil

gegebenhat.

DasProdukteinerkomplexenZahlzmitihrerkonjugiertenz ∗,

z·z ∗=x 2+y 2(3.40)

istnachPythagorasdieQuadratl

¨ange

dergeometrischenStrecke0z.DieL

¨ange

selber

|z|:= √z·z∗≡ -x2+y2(3.41)

(15)

3.3KomplexeZahlen67

nenntmandenBetragderkomplexenZahlz.

Kehrwertbildungz)→ 1z l¨asstsichjetztleichtgeometrischdeuten.Esist

1z = 1z · z ∗

z∗ (3.42)

= z ∗

z·z ∗ (3.43)

= x−iyx2+y2 (3.44)

= !1|z| z|z| "∗(3.45)

undda z|z| komplexeZahlvomBetrag1inRichtungz,dieAbbildungz)→ 1|z| z|z| eineSpiegelungamEinheitskreis,ist 1z nichtsanderesalszgespiegeltamEinheitskreisgefolgtvoneinerSpiegelunganderreellenAchse.

Abb3.7Kehrwertbildunggeometrisch,mittelsSpiegelungamEinheitskreis:We-genStrahlensatzOB %:OA %=OB:OA,unddaOB=OA %=1(Einheitskreis!)folgtOB %=1:OA=1:|z|.DerPunktA %bezeichnetdiekomplexeZahl z|z| (dievomBetrag1ist),derPunktB %bezeichnetdiekomplexeZahl 1|z| z|z| .

3. 3. 3 P ol ar dar stel lung

ErinnertmansichandieserStelleandiegeometrischeDefinitiondesCosinusundSinus,wundertmansichgarnichtmehr,wennmandiekomplexeZahlz=x+iyauchdarstellenkannz=:#cosϕ+i#sinϕ(3.46)

worinϕderWinkel,denderZeigerzmitderreellenAchsebildet,und#seineL

¨ange,

ϕ=arctan !xy ",(3.47)

#=|z|≡ -x2+y2.(3.48)

(16)

68Arithmetik

Gl.(3.46)definiertdiesog.Polardarstellungvonz,imUnterschiedzuz=x+iy,dieindiesemZusammenhangauchdiekartesischeDarstellungvonzgenanntwird.

UnterBezugaufdieExponentialfunktionbehauptenwirnundieEulerscheFormel

cosϕ+isinϕ=e iϕ(3.49)

sodassz=|z|e iϕ(3.50)

DieExponentialfunktion,auchgenanntEulerschee-Funktion,istdie“Mutteral-lerFunktionen”(J

¨anic

h).VielleichtkennenSiediee-FunktonausderSchule.Undwenn,dannvermutlichf¨urreelleArgumente.Wennabernicht,dannistdasauchnichtschlimm.SchiebenwirhalteinekleineErl

¨auterung

zurExponentialfunktiondazwischen.

Wirnennencosϕ+isinϕ:=f(ϕ),undwollenzeigen,dassf(ϕ)=e iϕ.Zun

stellenwirfestf(α)·f(β)=f(α+β). ZahlenebeneaufdemEinheitskreis.Dannstellenwirfestf(ϕ)=f(−ϕ).Schließlich ∗ lenwirmalfest|f(ϕ)|=1,d.h.f¨urbeliebigesreellesϕliegtf(ϕ)inderGauss’schen ¨achststel-

WIrdifferenzierennachϕ,erhaltenwegen[cosϕ] %=−sinϕund[sinϕ] %=cosϕdieAussagef %=if.

3. 4 Aufgab en

'Aufgabe3-1(πPunkte)

GehenSieaneineKreidetafelundskizzierenSiefreih

¨andig

(ohneHilfsmittel!)diesog.Zahlengerade(L

¨ange

ca150cm.Warum?).VergessenSienicht,anzugebenwo0