Kapitel 3: Numerische Strömungssimulation

1.    Einleitung 2.    Strömungssimulation in Windkanälen 3.    Numerische Strömungssimulation 4.    Potentialströmungen 5.    Tragflügel unendlicher Streckung in inkompressibler Strömung  (Profiltheorie) 6.    Tragflügel endlicher Streckung in inkompressibler Strömung 7.    Aerodynamik der Klappen und Leitwerke 8.    Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik) 9.    Hochgeschwindigkeits‐Aerodynamik 10.  Stabilität und Steuerbarkeit

3. Numerische Strömungssimulation Historische Betrachtung  bis 17. Jahrhundert: Experimentelle Strömungsmechanik  17.‐ 18. Jahrhundert: Entwicklung der theoretischen  Strömungsmechanik  ca. 1960:  Beginn der Entwicklung der numerischen  Strömungsmechanik  CFD (computational fluid dynamics) als Bindeglied zwischen Experiment  und Theorie Experiment Theorie CFD

3. Numerische Strömungssimulation CFD: Numerisches Experiment

laminare Strömung

turbulente Strömung

3. Numerische Strömungssimulation CFD: Entwurfswerkzeug 

 seit ca. 1970:  Berechnung zweidimensionaler Strömungen

 seit ca. 1990:  Berechnung dreidimensionaler Strömungen, CFD 

entwickelt sich zum Entwurfswerkzeug

3. Numerische Strömungssimulation CFD ‐ Entwicklung der Rechnerleistung Strömungen lassen sich durch physikalische Grundprinzipien beschreiben  Erhaltung von Masse  Impulserhaltung (Newtons 2. Gesetz: Kraft = Masse x Beschleunigung)  Erhaltung von Energie  Beschreibung dieser Grundprinzipien durch partielle  Differentialgleichungen oder Gleichungen in integraler Form   Im Gegensatz zur geschlossenen analytischen Lösung ersetzt CFD Integrale  oder partielle Ableitungen durch diskrete algebraische Formen  Berechnung von Parametern im Strömungsfeld an diskreten Orten zu  diskreten Zeitpunkten   Erfordert die Entwicklung leistungsstarker Rechner mit großen  Speicherkapazitäten

3. Numerische Strömungssimulation CFD: Bedeutung (z.B. Stumpfer Körper bei M_ > 1) M > 1 M > 1 M > 1 M < 1 Verdichtungsstoss Elliptischer Bereich Hyperbolischer Bereich Mach'sche Linie  Strömungsfeld hinter einem  gekrümmten Stoß  Reibungsfreie Strömung  M <1: Elliptische partielle DGL  M >1: Hyperbolische partielle DGL  Problem: Gleichzeitige Lösung  unterschiedlicher Typen von  Differentialgleichungen  Numerische Lösung des Problems  erst 1966 durch Moretti und Abbett

3.1 Physikalische Grundprinzipien CFD wird bestimmt durch drei physikalische Grundprinzipien  Masseerhaltung  Impulserhaltung (Newtons 2. Gesetz: Kraft = Masse x Beschleunigung)  Energieerhaltung  Interpretation numerischer Ergebnisse, d.h. numerische Lösung dieser drei  Basisgleichungen setzt das Verständnis der physikalischen Bedeutung  dieser drei Gleichungen unabdingbar voraus  Form dieser Gleichung ist für einen theoretischen Ansatz in der Regel  völlig unerheblich  Lösung eines Algorithmus kann jedoch stark von der Form beeinflusst  werden

3.1 Physikalische Grundprinzipien Finites Kontrollvolumen V Durchströmtes Kontrollvolumen V,  Kontrollvolumen V, im Raum fixiert ‐ bewegt sich mit der Strömung ‐ konservatives System   nicht‐konservatives System  Gleichungen in integraler Form Kontrollvolumen V Kontrolloberfläche S Kontrollvolumen V Kontrolloberfläche S

3.1 Physikalische Grundprinzipien Infinitesimales Kontrollvolumen dV Durchströmtes Infinitesimales  Infinitesimales Volumenelement dV, Volumenelement dV,  bewegt sich mit der Strömung ‐ im Raum fixiert ‐ nicht‐konservatives System konservatives System  partielle Differentialgleichungen Volumenelement dV Volumenelement dV

3.1.1 Bedeutung des vollständigen Differentials  Infinitesimales Fluidelement dV bewegt sich im kartesischen Raum  Instationäres Geschwindigkeitsvektorfeld 𝑐⃗ wird beschrieben durch 𝑐⃗ 𝑢 ∙ 𝚤⃗ 𝑣 ∙ 𝚥⃗ 𝑤 ∙ 𝑘 mit 𝑢 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑣 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑤 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 Volumenelement dV t = t₁ Volumenelement dV t = t₂ (1) (2) x z y 𝑐⃗ 𝑐⃗ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘

3.1.1 Bedeutung des vollständigen Differentials Zeitpunkt t = t₁  Element befindet sich am Punkt 1  Dichte beträgt 



₁ = 



(x₁, y₁, z₁, t₁) Zeitpunkt t = t₂  Element befindet sich am Punkt 2  Dichte beträgt 



₂ = 



(x₂, y₂, z₂, t₂) Taylorentwicklung um Punkt 1 ergibt für die Dichte 



₂ 𝜌 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝑦 𝑦 𝜕𝜌 𝜕𝑧 ∙ 𝑧 𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ∙ 𝑡 𝑡 ⋯ 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑒 ℎöℎ𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑂𝑟𝑑𝑛𝑢𝑛𝑔

3.1.1 Bedeutung des vollständigen Differentials Division durch t₂ - t₁ ergibt die mittlere zeitliche Änderung der Dichte des  Kontrollvolumens auf dem Weg von (1) nach (2) 𝜌 𝜌 𝑡 𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 𝑡 𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝑦 𝑦 𝑡 𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑧 ∙ 𝑧 𝑧 𝑡 𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ⋯ 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑒 ℎöℎ𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑂𝑟𝑑𝑛𝑢𝑛𝑔

3.1.1 Bedeutung des vollständigen Differentials Grenzübergang lim → 𝜌 𝜌 𝑡 𝑡 𝑑𝜌 𝑑𝑡 ergibt das vollständige Differential d



/dt, das heißt die Änderung der Dichte  des Fluidelements auf dem Weg von Punkt (1) nach Punkt (2) Partielle Ableitung 



/t ergibt die zeitliche Änderung der Dichte an einem  festen Ort 

3.1.1 Bedeutung des vollständigen Differentials Vollständiges Differential der Dichte 



=



(x, y, z, t) ergibt sich somit zu 𝑑𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝜕𝜌 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ∙ 𝑑𝑡 bzw. nach Division durch dt 𝑑𝜌 𝑑𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑑𝑡 mit 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , 𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑡 , 𝑤 𝑑𝑧 𝑑𝑡 folgt 𝑑𝜌 𝑑𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝑣 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑦 𝑤 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑧

3.1.2 Kontinuitätsgleichung ‐ Integrale Form  Massebilanz Nettomassestrom aus dem Kontrollvolumen  𝑚 ∬ 𝜌 ∙ 𝑐⃗ ∙ 𝑑𝑆 Zeitliche Änderung der Masseverringerung  innerhalb des Kontrollvolumens 𝑚 ∭ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 Es gilt 𝑚 𝑚 d.h. ∬ 𝜌 ∙ 𝑐⃗ ∙ 𝑑𝑆 ∭ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 oder ∬ 𝜌 ∙ 𝑐⃗ ∙ 𝑑𝑆 ∭ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 0 dV Kontrolloberfläche S dS 𝑑𝑆 𝑐⃗

3.1.2 Kontinuitätsgleichung ‐ Differentielle Form  Nettomassestrom in x‐Richtung 𝜌 ∙ 𝑢 𝜕 𝜌 ∙ 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜌 ∙ 𝑢 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜕 𝜌 ∙ 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Nettomassestrom in y‐Richtung 𝜌 ∙ 𝑣 𝜕 𝜌 ∙ 𝑣 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 𝜌 ∙ 𝑣 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 𝜕 𝜌 ∙ 𝑣 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 Nettomassestrom in z‐Richtung 𝜌 ∙ 𝑤 𝜕 𝜌 ∙ 𝑤 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 𝜌 ∙ 𝑤 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 𝜕 𝜌 ∙ 𝑤 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦

3.1.2 Kontinuitätsgleichung ‐ Differentielle Form  Gesamtnettomassetrom ∙ ∙ ∙ _{∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧} Zeitlichen Veränderung der Masse ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Massebilanz für das im Raum fixierte Volumenelement ∙ ∙ ∙ _{∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧} oder ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 0 bzw. ∙ ∙ ∙ 0

3.1.3 Impulsgleichung  (Bsp. x‐Richtung) Summe der Oberflächenkräfte in x‐Richtung 𝑝 𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜏 𝜕𝜏 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝜏 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜏 𝜕𝜏 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝜏 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 𝜏 𝜕𝜏 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝜏 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 bzw. 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

3.1.3 Impulsgleichung  

Körperkraft in x‐Richtung 𝜌 ∙ 𝑓 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 mit f_x als der auf die Masse  normierten Körperkraft, ergibt die Gesamtkraft in x‐Richtung 𝐹 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜌 ∙ 𝑓 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Masse 𝑚 𝜌 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Beschleunigung 𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑡

3.1.3 Impulsgleichung  

Eingesetzt in 𝐹 𝑚 ∙ 𝑎 liefert Navier‐Stokes‐Gleichung in x‐Richtung

𝜌 ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑧 𝜌 ∙ 𝑓 Navier‐Stokes‐Gleichungen in y‐ und z‐Richtung ergeben sich analog zu 𝜌 ∙ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑧 𝜌 ∙ 𝑓 bzw. 𝜌 ∙ 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝜕𝜏 𝜕𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑦 𝜕𝜏 𝜕𝑧 𝜌 ∙ 𝑓

3.1.4 Energiegleichung Änderung der Energie im Inneren des Elements 𝜌 ∙ 𝜕 𝑒 𝑐₂ 𝜕𝑡 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 = Nettowärmestrom in das Element hinein 𝜌 ∙ 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 + am Element durch Körper‐ und Oberflächenkräfte geleistete Arbeit 𝜕 𝑢 ∙ 𝑝 𝜕𝑥 𝜕 𝑣 ∙ 𝑝 𝜕𝑦 𝜕 𝑤 ∙ 𝑝 𝜕𝑧 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 𝜌 ∙ 𝑓⃗ ∙ 𝑐⃗ ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧

3.1.4 Energiegleichung Energiegleichung in der nicht‐konservativen Form, also für ein Element, das  mit der Strömung mitbewegt wird 𝜌 ∙ 𝜕 𝑒 𝑐₂ 𝜕𝑡 𝜌 ∙ 𝑞 𝜕 𝜕𝑥 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝜆 ∙ 𝜕𝑇 𝜕𝑧 𝜕 𝑢 ∙ 𝑝 𝜕𝑥 𝜕 𝑣 ∙ 𝑝 𝜕𝑦 𝜕 𝑤 ∙ 𝑝 𝜕𝑧 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑢 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑣 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑥 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑦 𝜕 𝑤 ∙ 𝜏 𝜕𝑧 𝜌 ∙ 𝑓⃗ ∙ 𝑐⃗

3.2 Lösungsansätze bei turbulenter Strömung Navier‐Stokes Gleichungen  System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung  Nur für wenige Sonderfälle analytisch lösbar (inkompressibel, laminar)  Beispiele: Spaltströmungen oder Kanalströmungen  Von deutlich größerer Bedeutung ist jedoch die Berechnung  kompressibler, turbulenter Strömungsbereiche  Lösungsansätze für turbulente Strömungen erfordern in allen Fällen ein  rein numerisches Vorgehen

3.2.1 Direkte numerische Simulation (DNS)   Turbulenz lässt sich (theoretisch) durch die Navier‐Stokes‐Gleichungen ohne  zusätzliche Modellbildung beschreiben  Dieses Vorgehen wird als Direkte Numerische Simulation (DNS) bezeichnet  Problem:  Sehr feine räumliche und zeitliche Auflösung des Strömungsfelds zur  Erfassung der Feinstruktur der Turbulenz erforderlich  Enormer Bedarf an Rechenleistung und Speicherkapazität  Methode für komplexe dreidimensionale Strömungsfelder nicht anwendbar  Anwendbarkeit auf den Bereich eindimensionaler Strömungen bei kleinen  Reynolds‐Zahlen beschränkt (z.B. Rohrströmungen)

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS)

Reynolds Averaged Navier Stokes ‐ RANS 

 Zeitlichen Mittelung der Strömungsgrößen  Zerlegung jeder Strömungsgröße an einem bestimmten Punkt im  Strömungsfeld in einen zeitlichen Mittelwert 𝑢 und einen statistisch  schwankenden Anteil 𝑢́ Beispiel: Geschwindigkeit in x‐Richtung 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑢́ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 Integration über ein Zeitintervall t ergibt den entsprechenden Mittelwert 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 1 ∆𝑡 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜗 ∆ ∙ 𝑑𝜗

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS)  Zeitliche Mittelung wird analog auf alle in den Navier‐Stokes‐Gleichungen  enthaltenen Variablen angewendet  Anschließend werden Mittelwertbildung und Ableitung vertauscht Beispiel:  Kontinuitätsgleichung ergibt 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕 𝑢 𝑢́ 𝜕𝑥 𝜕 𝑢 𝑢́ 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥  Mittelwert der Fluktuation muss null ergeben  Ursprünglicher Term muss dem gemittelten Term entsprechen  Durch die Mittelwertbildung der Schwankungsgrößen werden die Navier‐ Stokes‐Gleichungen auf der rechten Seite um einen Schwankungsterm  erweitert

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS)  x‐Richtung (Turbulenzkraft) 𝜕 𝑢́ ∙ 𝑢́ 𝜕𝑥 𝜕 𝑢́ ∙ 𝑣́ 𝜕𝑦 𝜕 𝑢́ ∙ 𝑤́ 𝜕𝑧  Beschreibt die durch den turbulenten Impulsaustausch auftretenden  Trägheitskräfte  Multiplikation der Turbulenzkraft mit der Dichte liefert die Reynoldsche Normal‐ und Schubspannung Beispiel x‐Richtung 𝜕 𝜌 ∙ 𝑢́ ∙ 𝑢́ 𝜕𝑥 𝜕 𝜌 ∙ 𝑢́ ∙ 𝑣́ 𝜕𝑦 𝜕 𝜌 ∙ 𝑢́ ∙ 𝑤́ 𝜕𝑧 𝜕𝜏́ 𝜕𝑥 𝜕 𝜏́ 𝜕𝑦 𝜕 𝜏́ 𝜕𝑧

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS)  Für die an dem Flächenelement dydz infolge der Viskosität wirkende  laminaren Schubspannung 𝜏 gilt 𝜏 𝜇 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥  Für die an dem gleichen Flächenelement angreifende scheinbare  turbulente Schubspannung 𝜏́ gilt  𝜏́ 𝜇́ ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥 Ansatz von Boussinesq  Berücksichtigung lediglich des isotropen*) _{Anteils der Turbulenz} *) _{= in alle Richtungen gleiche Eigenschaften aufweisend}

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS)

 Parameter 𝜇́ wird als Austauschgröße oder scheinbare, turbulente 

Viskosität bezeichnet  Am Flächenelement dydz wirkende Schubspannung 𝜏 _, 𝜏 𝜏́ 𝜇 𝜇́ ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥  Bestimmung der Austauschgröße 𝜇́ durch unterschiedlich komplexe  Turbulenzmodelle

3.2.2 Reynolds‐gemittelte Navier‐Stokes‐Gleichungen (RANS) Null‐Gleichungsmodell  Bestimmung der Austauschgröße unabhängig von dem Strömungsverlauf  auf der Basis eines lokalen Geschwindigkeitsprofils Ein‐Gleichungsmodell  Erfassung des turbulenten Energietransports durch eine partielle  Differentialgleichung unter Berücksichtigung des Strömungsverlauf Zwei‐Gleichungsmodell (K‐‐Modell)  Zusätzlich zum Transport der turbulenten kinetischen Energie K wird auch  noch die Dissipation 



der turbulenten Schwankungsbreite berücksichtigt Reynolds‐Spannungs‐Modell  Modell beruht auf der Modellierung der turbulenten scheinbaren  Schubspannung 𝜏́ auch für anisotrope Turbulenz

3.2.3 Grobstruktursimulation (LES ‐ Large Eddy Simulation)

Turbulenzstrukturen in einem zerfallenden Freistrahl

3.2.3 Grobstruktursimulation (LES ‐ Large Eddy Simulation) Struktur turbulenter Strömungen  Ausbildung  vergleichsweiser großer, symmetrischer Wirbelstrukturen  (isotrope Turbulenz) nach dem Ausströmen in die freie Umgebung  Diese zerfallen im weiteren Verlauf in immer kleinere, ungerichtete  Feinstrukturen (anisotrope Turbulenz)  Überlagerung der Hauptströmung durch fluktuierende Geschwindigkeiten  (Turbulenzballen)

3.2.3 Grobstruktursimulation (LES ‐ Large Eddy Simulation) Spektrum der turbulenten Energieverteilung E als Funktion der Häufigkeit n LES FS (1) (2) (3) E n (1) Wirbelstrukturen in der Größenordnung des Rohrdurchmessers, groß, vergleichsweise selten, Übertragung von viel Energie (2)   Große Strukturen zerfallen in kleinere Turbulenzballen,  Turbulenter Impulsaustausch infolge der Trägheitskräfte (3)   Weiterer Zerfall in sehr kleine Turbulenzballen, die dissipiert werden (Kümmel, 2007)

3.2.3 Grobstruktursimulation (LES ‐ Large Eddy Simulation) Reynolds gemittelten Navier‐Stokes Gleichungen (RANS)  Berechnung stationärer, statistisch gemittelte Werte für die Größen im  Strömungsfeld  Zeitliche Mittelung des instationären turbulenten Anteils Grobstruktursimulation (LES)  Berechnung des zeitliche Verlaufs der großen Turbulenzstrukturen, die  maßgeblich für die Energieübertragung verantwortlich sind  Instationäre Berechnung der Strömungsgrößen  Zerlegung des Energiespektrums durch eine Fourier‐Transformation in  seine Frequenzanteile  Zusätzlich zur Grobstruktursimulation in den Bereiche (1) und (2) ist noch  die Modellierung der Feinstruktur der Turbulenz (3) erforderlich  Ermittlung des instationären Anteil der Turbulenz durch eine Filterung,  (z.B. Gauß‐Funktion)

3.3 Diskretisierung  Beschreibt einen Prozess, der eine geschlossene mathematische Form, z.B.  eine Integral‐ oder Differentialgleichung mit unendlich vielen Werten  innerhalb der Berechnungsdomäne durch Funktionen annähert, denen  nur an einzelnen diskreten Punkten innerhalb der Berechnungsdomäne  Werte zugewiesen werden. Analytische Lösungen  Partieller Differentialgleichungen bilden wieder kontinuierlich auf ein  geschlossenes Gebiet ab Numerische Lösungen  Abbildung nur auf diskrete Punkte im Lösungsraum (Gitterpunkten) Vorgehensweise  Ersetzen der partiellen Ableitungen in den Gleichungen durch algebraische  Differenzenquotienten für diskrete Gitterpunkte

3.3.1 Methode der Finiten Differenzen

Ersetzen der partiellen Ableitung durch algebraische Differenzenquotienten  Wird die x‐Komponente der Geschwindigkeit am Punkt (i,j) mit u_i,j und am  Punkt (i+1,j) mit u_i+1,j bezeichnet, so lautet die Taylor‐Reihenentwicklung um  den Punkt (i,j) 𝑢 _, 𝑢 _, , ∙ ∆𝑥 , ∙ ∆ , ∙ ∆ ⋯ Darstellung der ersten partielle Ableitung der Geschwindigkeit als finite  Differenz 𝜕𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 𝑢 _, ∆𝑥 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 _, ∙ ∆𝑥 2 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 _, ∙ ∆𝑥 6 ⋯

3.3.1 Methode der Finiten Differenzen Information 'rechts' von dem Punkt: Vorwärts‐Differenz mit Genauigkeit  erster Ordnung 𝜕𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 𝑢 _, ∆𝑥 𝐹 ∆𝑥 Information 'links' von dem Punkt: Rückwärts‐Differenz mit Genauigkeit erster  Ordnung 𝜕𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 𝑢 _, ∆𝑥 𝐹 ∆𝑥 Subtraktion der Taylorentwicklung aus 'rechter' und 'linker' Betrachtung  liefert Genauigkeit zweiter Ordnung 𝜕𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 𝑢 _, 2 ∙ ∆𝑥 𝐹 ∆𝑥

3.3.1 Methode der Finiten Differenzen Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen erfolgt analog 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 2 ∙ 𝑢 _, 𝑢 _, ∆𝑥 𝐹 ∆𝑥 Weitere Verbesserung der Genauigkeit durch Einbeziehung weiterer  Gitterpunkte 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 16 ∙ 𝑢 _, 30 ∙ 𝑢 _, 16 ∙ 𝑢 _, 𝑢 _, 12 ∙ ∆𝑥 𝐹 ∆𝑥

3.3.2 Gitter mit Transformation

Tragflügelprofil in einem Rechteckgitter

x y

3.3.2 Gitter mit Transformation  = const.  = const. ab c a _b c     Physikalische Ebene Gitter mit gekrümmten Koordinaten (



, 



) angepasst an die Profilgeometrie in (x, y) Berechnungsebene Transformiertes rechtwinkliges System (



, 



) Gleichungen müssen von  (x, y) nach (



, 



)  als unabhängige Variable transformiert werden Transformationen von (x, y) nach (



, 



): 𝜂 𝜂 𝑥, 𝑦, 𝑡 , 𝜉 𝜉 𝑥, 𝑦, 𝑡 und 𝜏 𝜏 𝑡

3.3.2 Gitter mit Transformation – Gitteranpassung im Grenzschichtbreich y x  u y x  u

3.4 Einfache numerische Verfahren

 Lax‐Wendroff‐Methode: Finite‐Differenzen‐Verfahren  Mccormack‐Methode: Finite‐Differenzen‐Verfahren   Panel‐Verfahren

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode  Finite‐Differenzen‐Methode  Ausgehend von den bekannten Größen im Strömungsfeld zum Zeitpunkt t werden die Größen im Strömungsfeld zum Zeitpunkt t+t berechnet Beispiel  Berechnung der Euler‐Gleichungen für eine instationäre, zweidimensionale  Strömung  Keine Berücksichtigung von Massekräften, Reibung und Wärmezufuhr

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode Gitterschema für Lax‐Wendroff Methode (Anderson, 1995)

y

Zeit

t

t+

t

x

i,j

i-1,j

_i+1,j

i,j-1

i,j+1

i,j

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode Kontinuitätsgleichung 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝜌 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑢 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝜌 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑣 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑦 Impulsgleichung in x‐Richtung 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑣 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 1 𝜌 ∙ 𝜕𝑝 𝜕𝑥 Impulsgleichung in y‐Richtung 𝜕𝑣 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑣 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑦 1 𝜌 ∙ 𝜕𝑝 𝜕𝑦 Energiegleichung 𝜕𝑒 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕𝑒 𝜕𝑥 𝑣 ∙ 𝜕𝑒 𝜕𝑦 𝑝 𝜌 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑝 𝜌 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑦

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode  Zeitabhängige Terme stehen auf der linken Seite  Ortsabhängige Terme stehen auf der rechten Seite  Zum Zeitpunkt t sind alle Parameter im Strömungsfeld bekannt Beispiel: Berechnung der Dichte   𝜌 _, entspricht der Dichte an dem Gitterpunkt (i,j) zum Zeitpunkt t  Strömungsfeld wurde für den Zeitpunkt t bereits berechnet  𝜌 _, ∆ an dem gleichen Gitterpunkt (i,j), jedoch zum Zeitpunkt t+t folgt  aus der Taylor‐Entwicklung 𝜌 _, ∆ 𝜌 _, 𝜕𝜌 𝜕𝑡 _, ∙ ∆t 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 _, ∙ ∆t 2 ⋯

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode  Berechnung der ersten partiellen Ableitung der Taylor‐Entwicklung erfolgt  durch finite Zentral‐Differenzen 𝜕𝜌 𝜕𝑡 _, 𝜌 _, ∙ 𝑢 , 𝑢 , 2 ∙ ∆𝑥 𝑢 , ∙ 𝜌 _, 𝜌 _, 2 ∙ ∆𝑥 𝜌 _, ∙ 𝑣 , 𝑣 , 2 ∙ ∆𝑦 𝑣 , ∙ 𝜌 _, 𝜌 _, 2 ∙ ∆𝑦  Alle Größen auf der rechten Seite der Gleichung sind bekannt, da sie sich  auf den Zeitpunkt t beziehen  Strömungsfeld wurde für diesen Zeitpunkt bereits berechnet

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode  Berechnung der zweiten partiellen Ableitung 𝜕 𝜌 𝜕𝑡 𝜌 ∙ 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕 𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝜌 ∙ 𝜕 𝑣 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 𝑣 ∙ 𝜕 𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑡  Gemischte Ableitungen, z.B. 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡⁄ 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 𝑢 ∙ 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑣 ∙ 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 1 𝜌 ∙ 𝜕 𝑝 𝜕𝑥 1 𝜌 ∙ 𝜕𝑝 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑥

3.4.1 Lax‐Wendroff Methode  Berechnung über zentrale finite‐Differenzen‐Quotienten zum Zeitpunkt t 𝜕 𝑢 𝜕𝑥 ∙ 𝜕𝑡 _, 𝑢 , ∙ 𝑢 _, 2 ∙ 𝑢 _, 𝑢 _, ∆𝑥 𝑢 _, 𝑢 _, 2 ∙ ∆𝑥 𝑣 _, ∙ 𝑢 , 𝑢 , 𝑢 , 𝑢 , 4 ∙ ∆𝑥 ∙ ∆𝑦 𝑢 _, 𝑢 _, 2 ∙ ∆𝑦 ∙ 𝑣 _, 𝑣 _, 2 ∙ ∆𝑥 1 𝜌 _, ∙ 𝑝 _, 2 ∙ 𝑝 _, 𝑝 _, ∆𝑥 1 𝜌 _, ∙ 𝑝 _, 𝑝 _, 2 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝜌 _, 𝜌 _, 2 ∙ ∆𝑥  Berechnung räumlicher Ableitungen erster Ordnung, also 𝜕𝑢 𝜕𝑥⁄ , 𝜕𝑣 𝜕𝑦⁄ ,  𝜕𝜌 𝜕𝑥⁄ _{und 𝜕𝜌 𝜕𝑦}⁄ _{durch zentrale Differenzen zweiter Ordnung, z.B.}  Geschwindigkeit in x‐Richtung 𝜕𝑢 𝜕𝑥 _, 𝑢 _, 𝑢 _, 2 ∙ ∆𝑥

3.4.2 MacCormack Methode  Finite‐Differenzen‐Verfahren  Vorteil:  Problematik der Berechnung der zweiten Ableitungen wird  umgangen  Beispiel  Lösung der Euler‐Gleichungen für ein zweidimensionales Strömungsfeld   Zum Zeitpunkt t sind alle Parameter im Strömungsfeld bekannt  Erster Schritt (Voraussage): Abschätzung der Werte für t+t aus den  beiden ersten Gliedern der Taylorentwicklung, z.B. Dichte 𝜌̅ _, ∆ 𝜌 _, 𝜕𝜌 𝜕𝑡 _, ∙ ∆𝑡

3.4.2 MacCormack Methode  Berechnung der ersten Ableitung aus Vorwärts‐Differenzen 𝜕𝜌 𝜕𝑡 _, 𝜌 _, ∙ 𝑢 , 𝑢 , ∆𝑥 𝑢 , ∙ 𝜌 _, 𝜌 _, ∆𝑥 𝜌 _, ∙ 𝑣 , 𝑣 , ∆𝑦 𝑣 , ∙ 𝜌 _, 𝜌 _, ∆𝑦  Analoges Vorgehen für die restlichen Strömungsparameter: 

Geschwindigkeiten in x‐ und y‐Richtung u und v und spezifische innere  Energie e 𝑢 _, ∆ 𝑢 _, 𝜕𝑢 𝜕𝑡 , ∙ ∆𝑡 𝑣̅ _, ∆ 𝑣 _, 𝜕𝑣 𝜕𝑡 _, ∙ ∆𝑡 𝑒̅ _, ∆ 𝑒 _, 𝜕𝑒 𝜕𝑡 _, ∙ ∆𝑡

3.4.2 MacCormack Methode  Zweiter Schritt (Korrekturschritt): Ermittlung eines geschätzten Werts der  zeitlichen Ableitung zum Zeitpunkt t+t, also  , ∆ durch Einsetzen der  geschätzten Werte für 



, u und v und Ersetzen der räumlichen Ableitungen  durch Rückwärts‐Differenzen 𝜕𝜌̅ 𝜕𝑡 _, ∆ 𝜌̅ ∆_, ∙ 𝑢 , ∆ _𝑢 , ∆𝑥 𝑢 , ∆ ∙ 𝜌̅ ∆_, 𝜌̅ _, ∆𝑥 𝜌̅ ∆_, ∙ 𝑣̅ , ∆ _𝑣̅ , ∆𝑦 𝑣̅ , ∆ ∙ 𝜌̅ ∆_, 𝜌̅ _, ∆𝑦

3.4.2 MacCormack Methode  Berechnung des arithmetischen Mittelwerts aus Voraussage und  Korrekturschritt 𝜕𝜌 𝜕𝑡 1 2 ∙ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 _, 𝜕𝜌̅ 𝜕𝑡 _, ∆  Korrigierte Dichte zum Zeitpunkt t+t 𝜌 _, ∆ 𝜌 _, 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ∙ ∆𝑡

3.4.3 Panel‐Verfahren Problem  Generierung von dreidimensionalen räumlichen Gitternetzen mit  erheblichen Aufwand verbunden  Schnelle Abschätzung zur Bewertung von Vorentwurfsgeometrien erfordern einfache Verfahren Vorteile von Panel‐Verfahren  Geringer Aufwand bei der Netzgenerierung und Berechnung  Keine Generierung eines Gitternetz für gesamten Strömungsraum  Diskretisierung der Oberfläche des Körpers in Flächenelemente (panel)

3.4.3 Panel‐Verfahren Vorgehensweise  Lösung der Potentialgleichungen in einem Kontrollpunkt auf dem  Flächenelement, in der Regel dem Flächenschwerpunkt  Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung  Berechnung der Druckverteilung an der Körperfläche  Berechnung der aerodynamischen Charakteristika aus der Integration der  Druckverteilung über die Körperoberfläche

3.4.3 Panel‐Verfahren Voraussetzungen und Anwendbarkeit  Reibungsfreie, drehungsfreie und stationäre Strömung  Linearisierung des kompressiblen Geschwindigkeitspotentials bedeutet,  dass die Störgeschwindigkeiten klein sind im Verhältnis zur freien  Anströmung und nicht in der Nähe von M = 1 liegen  Forderung wird insbesondere in Staupunktgebieten und im Transschall  nicht erfüllt  Einsatzspektrum ist limitiert auf Strömungen außerhalb des  Transsonikbereichs und auf anliegende Strömungen  Moderate Anstellwinkel, bei denen noch keine Ablösung zu erwarten ist

3.4.3 Panel‐Verfahren

HISSS (higher order subsonic supersonic singularity method)

L. Fornasier, 1984, MBB Ottobrunn (heute Airbus)   Partielle Laplace‐Differentialgleichung (linearisiertes Geschwindigkeitspotential einer inkompressiblen Strömung)  𝑑 𝜙 𝑑𝑥 𝑑 𝜙 𝑑𝑦 𝑑 𝜙 𝑑𝑧 0  Überführung in integrale Form (Green'schen Theorems) 𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧 1 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎 𝑟 𝜇 ∙ 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟 𝑑𝑆

3.4.3 Panel‐Verfahren ‐ HISSS





und 



beschreiben Quell‐ und Dipolverteilung über die Fläche S  r beschreibt die Entfernung von dem Punkt P(x,y,z) zum  Flächenschwerpunkt Q des Flächenelements S  𝜕 𝜕𝑛⁄ ist der Normalenvektor von S im Punkt Q  Geschwindigkeitskomponenten ergeben sich durch Differenzierung von 



nach den Koordinaten von P 𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 1 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 1 𝑟 𝜇 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜕 𝜕𝑛 1 𝑟 𝑑𝑆