Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen

B9. 2-3 B¨ aume

Marcel L¨ uthi and Gabriele R¨ oger

Universit¨ at Basel

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Algorithmen und Datenstrukturen

— B9. 2-3 B¨ aume

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2-3 B¨ aume

Wir unterscheiden zwei Knotentypen 2-Knoten 1 Schl¨ ussel, zwei Kinder 3-Knoten 2 Schl¨ ussel, drei Kinder

I Baum hat symmetrische Ordnung und ist perfekt balanciert.

I Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat dieselbe L¨ ange.

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Suchen in 2-3 Baum

Analog zu Bin¨ aren Suchbaum

I Nutzt symmetrische Ordnung aus

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Einf¨ ugen in 2-3 Baum

Einf¨ ugen in 2-Knoten auf letzter Ebene

I Neuer Schl¨ ussel zu 2-Knoten hinzuf¨ ugen. Knoten wird zu 3-Knoten.

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Einf¨ ugen in 2-3 Baum

Einf¨ ugen in 3-Knoten auf letzter Ebene

I Neuer Schl¨ ussel zu 3-Knoten hinzuf¨ ugen. Knoten wird tempor¨ ar zu 4-Knoten.

I Mittlerer Schl¨ ussel in Elternknoten einf¨ ugen.

I Falls n¨ otig, rekursiv fortsetzen.

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Lokale Transformationen

I Teilen eines 4 Knotens ist lokale Operation I Unterb¨ aume nicht davon betroffen I Konstante Anzahl Operationen

Quelle: Abb. 3.30, Algorithmen, Wayne & Sedgewick

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Globale Eigenschaften von Einf¨ ugeoperation

I Jede Operation bel¨ asst Baum perfekt balanciert.

I Ordnung der Teilb¨ aume bleibt erhalten.

Quelle: Abb. 3.31, Algorithmen, Wayne & Sedgewick

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Komplexit¨ at

Die Operationen Suchen und Einf¨ ugen in einen 2-3 Baum mit N Schl¨ usseln besuchen im schlechtesten Fall log ₂ (N) Knoten.

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Ubersicht ¨

Worst-case Average-case

suchen einf¨ ugen suchen (hit) einf¨ ugen Bin¨ are Suche O(log

(N)) O(N) O(log

(N)) O (N/2) BST O(N) O(N) O(log

(N)) O (log

(N)) 2-3 Baum O(log

(N)) O(log

(N)) O(log

(N)) O (log

(N))

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