Algorithmen und Datenstrukturen
B9. 2-3 B¨ aume
Marcel L¨ uthi and Gabriele R¨ oger
Universit¨ at Basel
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Algorithmen und Datenstrukturen
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2-3 B¨ aume
Wir unterscheiden zwei Knotentypen 2-Knoten 1 Schl¨ ussel, zwei Kinder 3-Knoten 2 Schl¨ ussel, drei Kinder
I Baum hat symmetrische Ordnung und ist perfekt balanciert.
I Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat dieselbe L¨ ange.
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Suchen in 2-3 Baum
Analog zu Bin¨ aren Suchbaum
I Nutzt symmetrische Ordnung aus
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Einf¨ ugen in 2-3 Baum
Einf¨ ugen in 2-Knoten auf letzter Ebene
I Neuer Schl¨ ussel zu 2-Knoten hinzuf¨ ugen. Knoten wird zu 3-Knoten.
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Einf¨ ugen in 2-3 Baum
Einf¨ ugen in 3-Knoten auf letzter Ebene
I Neuer Schl¨ ussel zu 3-Knoten hinzuf¨ ugen. Knoten wird tempor¨ ar zu 4-Knoten.
I Mittlerer Schl¨ ussel in Elternknoten einf¨ ugen.
I Falls n¨ otig, rekursiv fortsetzen.
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Lokale Transformationen
I Teilen eines 4 Knotens ist lokale Operation I Unterb¨ aume nicht davon betroffen I Konstante Anzahl Operationen
Quelle: Abb. 3.30, Algorithmen, Wayne & Sedgewick
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Globale Eigenschaften von Einf¨ ugeoperation
I Jede Operation bel¨ asst Baum perfekt balanciert.
I Ordnung der Teilb¨ aume bleibt erhalten.
Quelle: Abb. 3.31, Algorithmen, Wayne & Sedgewick
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Komplexit¨ at
Die Operationen Suchen und Einf¨ ugen in einen 2-3 Baum mit N Schl¨ usseln besuchen im schlechtesten Fall log 2 (N) Knoten.
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Ubersicht ¨
Worst-case Average-case
suchen einf¨ ugen suchen (hit) einf¨ ugen Bin¨ are Suche O(log
2(N)) O(N) O(log
2(N)) O(N/2) BST O(N) O (N) O(log
2(N)) O(log
2(N)) 2-3 Baum O(log
2(N)) O (log
2(N)) O(log
2(N)) O(log
2(N))
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