Stetige und berechenbare Funktionen auf berechenbaren metrischen Räumen

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Mathematik und

Informatik

Informatik-Berichte 63 – 09/1986

Stetige und berechenbare Funktionen auf

berechenbaren metrischen Räumen

Abstract

On the basis of a general Type 2 theory of constructivity and compu- tability~ computable metric spaces are investigated. Several repre- sentations of computable metric spaces are compared w.r.t. c-reduci- bility and the c-admissible representations are defined. Different natural naming systems for continuous functions on computable metric spaces are introduced and investigated and compared. Among other extension theorems and a G₀-characterization of domains are proved.

1. Einleitung

In Arbeiten von Kreitz und Weihrauch [1,2,3,5,8] wurde basierend auf dem Begriff der Darstellung eine allgemeine Typ 2 - Theorie der Kon- struktivität und Berechenbarkeit entworfen. Diese Theorie liefert insbesondere die Grundlage für eine maschinenorientierte konstruktive und rekursive Analysis [2,6,7]. Eine Verfeinerung ermöglicht die Unter- suchung von Komplexität [9,10,11]. Metrische Räume wurden in dieser Typ 2 - Theorie bisher nur ansatzweise behandelt [1,2,5]. Insbesondere wurden für separable metrische Räume die t-zulässigen Darstellungen ausgezeichnet, die eine natürliche Theorie der Konstruktivität liefern.

Es stellt sich die Frage, welche der t-zulässigen Darstellungen auch eine natürliche Theorie der Berechenbarkeit liefern. Im vorliegenden Bericht werden mittels einer naheliegenden Forderung ¹¹berechenbare"

metrische Räume definiert. Es werden verschiedene t-zulässige Dar- stellungen eingeführt und bzgl. berechenbarer Reduzierbarkeit ver- glichen. Dies führt zur Definition der c-zulässigen Darstellungen berechenbarer metrischer Räume. Im 3. Teil werden verschiedene Bezeich- nungssysteme der stetigen Funktionen zwischen zwei berechenbaren me- trischen Räumen eingeführt und miteinander verglichen. Es wird eine effektive Version des G

0-Fortsetzungssatzes für stetige Funktionen [4]

bewiesen. Es wird ein Fortsetzungssatz von (ö 1,ö

2)-stetigen Funktionen zu stark (ö

1

,o

2)-stetigen Funktionen bewiesen. Schließlich wird ge-

zeigt, daß unter geeigneten Voraussetzungen der Definitionsbereich einer stark (ö

1,ö

2)-stetigen (berechenbaren) Funktion eine {berechenbare) G0-Menge ist. Diese Sätze sind teils effektive Versionen oder aber Ver- allgemeinerungen bekannter Sätze.

In diesem Bericht werden durchgehend die im Buch [2] des Verfassers eingeführten Schreibweisen benutzt. Sie stimmen im wesentlichen mit denen aus den anderen zitierten Arbeiten von Kreitz und Weihrauch über- ein. Des weiteren werden die Grundlagen der Typ 2-Theorie der Darstel- lungen als bekannt vorausgesetzt [1,2].

2. Darstellungen berechenbarer metrischer Räume

Einen separablen metrischen Raum (M,d) kann man sich als von einer dichten abzählbaren Teilmenge A aufgespannt denken (wie z.B. :R von ~ ). Eine Numerierung a von A gibt die Möglichkeit, Konstruk-

tivität und Berechenbarkeit für den "konstruktiven" metrischen Raum

M=

(M,d,A,a) zu untersuchen. Eine sinnvolle Berechenbarkeitstheorie ergibt sich am ehesten dann, wenn die Numerierung a gewisse rekur- sionstheoretische Eigenschaften erfüllt. Als minimale Eigenschaft werden vlir fordern, daß sich Abstände auf A "effektiv" durch ratio- nale Zahlen beliebig genau nach oben abschätzen lassen. Im folgenden sei vQ: :N-Q eine Standardnumerierung der rationalen Zahlen, z.B.

vQ<i ,j ,k> := (i - j) / (1 + k) 1 Definition

Ein berechenbarer metrischer Raum ist ein Quadrupel

M=

(M,d,A,a) mit:

(1) (M,d) ist ein metrischer Raum;

(2) As:M, A ist eine dichte Teilmenge;

(3) a: :N-A ist eine totale Numerierung von A ;

(4) {<i,j,k> ¹ d(a(i),a(j)) <vQ(k)} ist rekursiv-aufzählbar.

Viele wichtige metrische Räume (M,d) lassen sich in natürlicher Weise zu berechenbaren metrischen Räumen ergänzen, so z.B. der Euklidsche Raum (R⁰ ,d

1) , der Raum (C[0,1],d

2) der stetigen reellen Funktionen f: [0,1]-JR mit d

2{f,g)=max{lf(x)-g(x)1

I

xE[0,1]} oder der Bairesche Raum (B,d

3) [2] . Die offenen Kugeln eines metrischen Raumes bilden eine Basis einer Topologie, der vom Abstand induzierten Topo- logie, • s: 2M . Im folgenden numerieren wir eine ¹¹sehr kleine¹¹ Teil- menge aller Kugeln, die bereits eine Basis bildet.

2 Definition

Es sei M= (M,d,A,a) ein berechenbarer metrischer Raum. Für alle i,jE:N sei

U<i,j> := U<i,j> := B(a(i),2-j) = {xEM

I

d(x,a(i))<2-j}

Weiter sei rad<i,j> := 2-j .

Aus der Eigenschaft 4 aus Def. 1 kann man nicht ohne weiteres folgern, daß {(m,n) 1 U(m)sU(n)} rekursiv-aufzählbar ist, da j>k und

U<i,j>s:U<i,k> möglich ist (z.B. für einen Raum aus isolierten Punk- ten). Als effektiven Ersatz für Kugelinklusion führen wir eine ¹¹formale Inklusion¹¹ für Kugelnummern ein.

3 Definition

Es sei M = (M,d,A,a) ein berechenbarer metrischer Raum. Eine Re- lation <· '.:: 1'1² sei definiert durch

<i,j> ~<k,m> : ~ d(a(i),a(k))+2-j<2-m

Offens i chtl i eh gilt a <· b ~ U a s: Ub , dagegen kann U a s: Ub gelten, auch wenn a~ b falsch ist. Aus der Dreiecksungleichung folgt, daß

~ eine Halbordnung ist, und als direkte Folgerung aus Def. 1(4) er- gibt sich:

~ ist rekursiv-aufzählbar.

Wir werden später u. a. folgende Identität verwenden:

U i = U { Uk j k <• i } .

Unter der Benutzung der Numerierungen a und U lassen sich nun in naheliegender Weise verschiedene Darstellungen der Menge M ableiten.

4 Definition

Es sei M= (M,d,A,a) ein berechenbarer metrischer Raum. Es seien Darstellungen o

0

, • • • ,ö

4 von M wie folgt definiert. Für alle XE M und p E E sei :

ö (p) = X : ~ :t4 = {i j XEU.} ,

0 p i

ö 1 (p) = x

=~

^{{U. 1 i E :t4 }} ist eine Umgebungsbasis von x

i p

02(P) = ^X

=~

^öl (p) = X und {ve: > 0){3k E ^:t4 )rad(k) < e:

p

= x : ~ (vj>i)d(ap(i),ap{j))~2-i und x=lima(i),

i

o4{p) = x : ~ {Vk}xEUp(k) und (Vk}p(k+ 1) ~ p(k) und (Ve:>0}(3nEBild(p))rad(n)<E.

Die Darstellung ö entspricht der aus Def. 4.5 in [1]; jedes Element

0

eines T -Raumes ist durch die Menge aller seiner Umgebungen aus der

0

vorgegebenen Basis eindeutig bestimmt. o

3 ist die normierte Cauchy- Darstellung oNc aus [1] Ex. 4.12 und aus [2] Def. 3.4.17, o

1 ent- spricht der Darstellung ö aus [2] Def. 3.4.7. Damit sind o ,ö

1

U 0

und o

3 (topologisch oder konstruktiv) zulässige Darstellungen des metrischen Raumes (M,d) , insbesondere sind sie also t-äquivalent.

Die naive Cauchy-Darstellung o mit o(p) = x ~ ((ap(i) eine Cauchy- folge mit Grenzwert x ist) wollen wir gar nicht erst betrachten, da sie nicht einmal t-zulässig ist.

Wir zeigen nun, daß die Darstellungen ö

0 ,ö

2

,o

3 und

o

4 c-äquivalent sind. Einige der$ -Reduzierbarkeiten lassen sich bereits ohne Defini-

c

tion 1(4) zeigen. Dies soll aber nicht weiter untersucht werden.

5 Satz

Beweis:

ö $ 02

0 C für a 11 e p E Def ( ö )

0

Es sei r : B - :B definiert durch

r(p)(n) := ^rr~3)µ<i,j,k>[p(k)=<i,j>+lAj>n].

Für alle pEDef(ö

2) und alle nE 1N existiert dann r(p)(n) und es gilt

1 -n

d(ar(p)(n),ö

2(p)) < -z2 .

Mit der Dreiecksungleichung erhält man ö

2(p) = o

3r(p) für alle p E Def ( ö

2) •

Es sei r : B - B definiert durch r ( p) ( n) : = <p ( n + 2) , n> .

- (n+2) -n

Es sei o

3(p)=x. Dann gilt d(ap(n+2),x)$2 · <2 , also x E U ( r ( p )( n) ) und

d(ap(n+2) 'ap(n+3)) +2-(n+l) S 2-(n+2) +2-(n+3) +2-(n+l) < 2-n' also r ( p) ( n + 1) <· r ( p) ( n) . Es folgt x = o

l (

p) .

o4 s o : Die Relation <- ist rekursiv-aufzählbar. Es sei h: lN-JJ

C 0

berechenbar mit Bild(h) = {<i ,j> \ i <- j} . Es sei r : B - lB definiert durch

{ n + 1 r(p)<n,k,m> :=

0

fa 11 s h ( k) ⁼ <p ( m) ,n>

sonst.

Dann ist r berechenbar und es gilt o

4(p) = o

0r(p) , falls pE Def(o₄^{) •} Q. E. D.

Falls der metrische Raum isolierte Punkte hat, ist ö

1 i.A. nicht be- rechenbar auf o

2 reduzierbar. Es gilt aber der folgende Satz.

6 Satz

(l) ö2Scöl ' ⁰1$tö2 (2) o

1 Sc o

2 falls X := {<m,n>

1

{a(m)} = U<m,n>} rekursiv-auf- zähl bar.

Beweis

Es sei E : E - E definiert durch

<m,n> + 1

~<p,q><m,n,j,k,a,b> :=

0

falls k = 0/\ p(a.) = <m,n>+ 1 oder k ^=I= 0 J\ p(a) = <m,j> + 1

/\ q ( b) = <m, j> :r 1 J\ n ?: j sonst

Falls lMq = {<m,n> ¹ {a(m}} = U<m,n>} und o1 (p) = x , dann gilt x= oi<p,q> . E ist berechenbar. Nach dem smn-Theorem für die Dar- stellung ~ (s. [2] Satz 3.2.16} gibt es eine berechenbare Funktion r: E - E mit E<p,q>= ~r(q) (p) . Es folgt o₁ St o2 . Falls X re- kursiv-aufzähl bar ist, gibt es eine berechenbare Funktion qE E mit X=

1\ .

Damit wird ~r (q) berechenbar und es folgt o ₁ Sc ö2 .

Schließlich gilt offenbar o

2(p)=c5t(P) für alle pEDef(o

2) , also

Q. E. D.

Falls o

1(x)=p, dann braucht rad(:MP) nicht beliebig kleine (posi- tive) Radien zu enthalten, wenn x ein isolierter Punkt ist. Man be- achte, daß jeder isolierte Punkt in A liegt. Falls hinreichend Infor- mation über die isolierten Punkte zugänglich ist, kann man :M um

p

Nummern mit beliebig kleinen Radien ergänzen, also von o

1 nach o

2

übersetzen. Insbesondere ist o

1 c-äquivalent zu den anderen Darstel- lungen, wenn der metrische Raum keine isolierten Punkte hat.

Die berechenbaren Äquivalenzen in Satz 5 legen folgende Definition nahe.

7 Definition

Es sei M = (M,d,A,a) Darstellung o von

ein berechenbarer metrischer Raum. Eine M heißt c-zulässig, gdw. o= o , wobei

C a

o (p) = x

=~

^{Vj> i)d(ap{i),ap(j)) ~ 2-i und X= lima(i)

a

Als spezielle Festlegungen in die Def. 4 der Darstellungen o bis

0 .

o4 gehen die Numerierung a und die Genauigkeitsschranken, hier 2-¹ ,

ein. Im folgenden Satz werden diejenigen Numerierungen a': J.J-A' charakterisiert, welche zu c-äquivalenten Darstellungen führen.

8 Satz

Es seien M = (M,d,A,a) und M.¹ = (M,d,A' ,a ¹⁾ berechenbare metrische Räume. Es sei 0(0¹⁾ eine bzgl.

M(M')

c-zulässige Darstellung.

Dann sind o und o' c-äquivalent, genau dann wenn es berechen- bare Funktionen f, f' : J.J^{2 -} 1'J gibt mit

d(a(i),a'f(i,j)) < 2-j d{a¹(i),af¹(i,j)) < 2-j für alle i,jEJ.J.

Beweis

11

~ 11

: Wir wählen o.B.d.A. ö 3

Darstellungen. Es sei

ö

₃^:::;c

ö; .

Dann gilt a(i) = ö

3(pi) . Wegen

und

ö;

(s. Def. 4) als c-zulässige Für iElN sei p.(n)=i für alle n.

1.

ö

₃ ^:::;c

ö;

gibt es eine berechenbare Funktion r : B ---- B mit ö

3 (pi) = ö ?Pi für a 11 e i . Es folgt d(a(i),a'r(p.)(j+1))<2-j. Definiere f(i,j):=r(p.)(j+l). Analog

1. 1.

zeigt man die Existenz von f' .

11G=^{11 :} Wir zeigen ö₂ :::;c ö; . Für alle i ,j E JJ gilt B(a(i),2-j) s B(a'f(i,j),2 • 2-j) .

Diese Beziehung liefert unmittelbar eine berechenbare Obersetzung.

Analog ergibt sich

ö;

^:::;c

ö

₂ ^•

Q. E. D.

Ersetzt man in den Definitionen für ö

0 ,ö

2 und ö

4 (Def. 4) die Funk- tion j -2-j sinngemäß durch eine andere geeignete Numerierung v

positiver reeller Zahlen, so erhält man wiederum c-zulässige Darstel- lungen. Beispiele für solche Numerierungen sind n - 1 / (1 + n) und

<i,j>-(l+i)/(l+j). Ersetzt man in der Definition von ö

3 die Nullfolge j -2-j durch eine geeignete andere Nullfolge v reeller Zahlen, so ergibt sich wiederum eine c-zulässige Darstellung. Beispiele sind n - 1 / (l+n) oder allgemeiner n -vQg(n) mit berechenbarem g , so daß vQg(n + 1) < vQg(n) und (vg(n)) eine Nullfolge ist.

3. Bezeichnungssysteme der stetigen Funktionen

Im folgenden werden verschiedene Bezeichnungssysteme für die Menge der stetigen Funktionen f : M

1 ----M

2 eingeführt und verglichen. Da diese Menge für berechenbare metrische Räume (bis auf Trivialfälle) mächtiger als E ist, gibt es für sie keine Darstellung. Die im folgenden erklär- ten Bezeichnungssysteme R

1, ••• ,R

4 basieren auf Definitionen von Ste- tigkeit.

9 Definition

Für i=l,2 sei M.=(M.,d.,A.,a..) ein berechenbarer metrischer

1. l l . 1 . 1 .

Raum mit Umgebungsnumerierung ui (s. Def. 2), c-zulässiger Dar- stellung o. (s. Def. 7) und formaler Inklusionsrelation <•.

1. 1.

Für pE:B und f:M

1 ----M2 mit X:=Def(f) gelte:

(p,f) E R₁ : ~ (Vj)r¹u? = X n U{U~ ¹ <i ,j>E ^{}11 }}

J 1. p

(p, f) E R

2 : ~ (V<i,j>E Jv1 )f(Ü~) s;U~ und (VxEX)(Vn )(3i,m,n)

p ^1. J 0

[ x E U ~ /\ n ~ n /\ <i , <m, n> > E ^{Jv1 ]}

1. 0 p

(p,f)ER

3 : ~ (p,f)ER2 und (Vßs;MP, B endlich)

[ n { u

!

^{1 (} 3 b ) ( a , b ) E B } ^:j: ß ::::;> n { u~ ^{1 (} 3 a )( a , b ) E B } ^:j: ß ] (p,f)ER4

=~

(VqEDef(fol))fol(q)=o21jip(q)

Für i=l, ... ,4 heiße f:M

1----M2 Ri-berechenbar, gdw.

(p,f) ER. für eine berechenbare Funktion pE B .

1.

Die Relation R

1 ist von der Stetigkeitsdefinition der Topologie ab- geleitet: das Urbild jeder offenen Menge ist offen. Mit Hilfe der Funk- tion p kann man für jedes j f-¹

u.

als Vereinigung offener Basis- mengen erzeugen. Die Relation R J

2 geht aus der (E,o)-Definition von Stetigkeit für Funktionen auf metrischen Räumen hervor: Zu jedem

-n

xEDef(f) und jeder E=2

°

Umgebung von f(x) gibt es eine (sogar abgeschlossene) o-Umgebung

0~

von x, die ganz in die E-Umgebung

1.

abgebildet wird. Die Funktion p gibt an, wie offene Mengen von M₁ in offene Mengen von M2 abgebildet werden können. Diese Zuordung muß jedoch außerhalb des Definitionsbereiches von f nicht konsistent

sein. In der Definition von R

3 wird Konsistenz zusätzlich gefordert.

Die Relation R4 ist von der Definition der (o

1,o2)-Stetigkeit [2]

(in [3] schwache Stetigkeit genannt) abgeleitet. Falls (p,f) ER.

1.

gilt, so ist f zwar nicht eindeutig aber doch "bis auf den Definitions- bereich eindeutig" durch p festgelegt ( i = 1,2,3,4 ) .

10 Lemma

Es sei i E{l, ... ,4} , (p,f) ER. und (p,fi) ER . . Dann gilt:

l. l.

(1) ( 2) (3)

( p, f ) ER. für jede Einschränkung f von f ,

0 l. 0

(vx E Def(f) n Def(f') )f{x) = f' (x) , (p,f) ER. wobei

l. f(x) := (f(x) falls xEDef(f) , f'(x) sonst) • (4) Es gibt eine Funktion f: M

1 ---- M₂ mit (p,f) E Ri , so

daßjedes f mit (p,f)ER. eine Einschränkung von f ist.

0 0 l.

(ohne Beweis)

Damit läßt sich z.B. aus R

1 eine Darstellung ö

1 gewisser stetiger Funktionen f: M

1 ---- M

2 gewinnen durch ö

1 := das maximal definierte f mit (p,f) ER

1 . Eine Charakterisierung dieser Funktionsklasse ist bisher nicht bekannt. Entsprechendes gilt für R

2,R

3 und R 4 .

Für i=l, •.. ,4 gilt: f:M

1 ----M

2 s t e t i g ~ (3p){p,f)ERi.

Für i = 1,2,4 folgt dies aus den eingangs gemachten Bemerkungen,

für i = 3 wird es im Anschluß an Satz 12 begründet. Wir zeigen zunächst, daß Namen bzgl. R

1,R

2 und R₄ berechenbar auseinander hervorgehen.

Zu Namen bzgl. R

3 gelangt man berechenbar unter zusätzlichen Annahmen über die Numerierung a

1 • 11 Satz:

Es gibt berechenbare Funktionen r

1,r

2,r

3 : B----B mit {p,f) ER

1 ^~ {r

1(p),f) ER

2

(p,f) E R

2 ^~ (r

2(p) ,f) E R

4

(p,f) E R

4 ^~ (r

3(p) ,f) E R

1

Beweis

(1) Es sei r

1 : B --- - B definiert durch

·.=

{1+

0

<k,j> falls rl(p)<i,j,k,a,b>

sonst.

h(b)=<k,i> und p(a)=<i,j>

Dabei sei h: lN-lN berechenbar mit Bild(h) = {<m,n> 1 m<•

1 n} . Dann gilt (p,f)ER

1 ^~ (r

1(p),f)ER2 und r

1 ist berechenbar.

(2) Es sei h: :D'l-lN berechenbar mit Bild(h) = {<i ,k> ¹ i <·

1 k}

Es sei o 1 analog sei

die Darstellung von M 1 ,

82 zu M

2

erklärt. Sei r1 + m r<p,q> <i, k ,m,a ,b ,c> =

l

0

die o₂ aus Def. 4 entspricht, r : E - - J3 definiert durch fa 11 s q ( a) = 1 + i , h ( b) = <i , k>

und p ( c) = 1 + <k ,m>

sonst Es gelte (p,f) E R

2 . Dann gilt für alle q E Def(f8 1) f51(q) =

5

₂r<p,q>.

Nach dem smn-Theorem für

w

([2] Theorem 3.2.16(2a), [3] Theorem 3.5) gibt es ein berechenbares E : B - E mit r<p,q>=wE(p)(q). Da

o

₁

=c o

₁ ^und

o

₂

=c

8₂ , gibt es ein berechenbares r 2 : B - B mit fö1(q)=öir2(p)(q) falls (p,f)ER2 und qEDef(föl).

(3) Es sei 8

1 die c-zulässige Darstellung o

4 von M

1 gemäß Def. 4, es sei 8

2 die c-zulässige Darstellung ö

0 von M

2 gemäß Def. 4. Es genügt, die 3. Behauptung für die speziellen Darstellungen

8

₁ ^und

8

₂ zu beweisen. Nach dem utm-Theorem für

w

ist die Funktion r: B ---- E mit r<p,q> = $ (q) berechenbar. Wir wählen fest eine

p

Typ 2 - Maschine M , welche r berechnet ([2], Kapitel 3.1).

Es gelte Mt[x,y](n) = j , gdw. lg(x) = lg(y) und M bei der Eingabe von [x,y] in höchstens t Schritten ein Wort w mit lg{w)~n+l ausgibt, so daß w(n)=j gilt ( dabei sei [i

1 ... ik , j

1 ... jk] .- i1j1 ... ikjk für i1,j1,···,ik,jkElN) . Offenbar ist

{(a,b,i,j,n,t) ¹ Mt[v*(a),v*(b)i](n) =j} entscheidbar. Es sei r 3 : E-- B wie folgt definiert:

r1 + <i ,j>

r₃(p)<a,b,i,j,n,t> :=

1

l 0

*

falls v (a) s p und Mt [ v

* (

a), v

* (

b) i ]( n) = j sonst

Dann hat r

3 die gewünschten Eigenschaften {ohne Beweis).

Q. E. D.

Insbesondere stimmen damit die R.-berechenbaren Funktionen für

l.

i = 1,2 und 4 überein. Satz 11 verschärft Satz 4.9(1) aus [1].

Im folgenden Satz wird gezeigt,daß man aus einem R

2-Namen p be- rechenbar zu einem R

3-Namen q gelangen kann, sofern Abstände auf A1 (bzgl. a

1 ) auch nach unten berechenbar abschätzbar sind.

12 Satz

Es seien

M

₁

,M

₂^,R₂ ^{und R}₃ wie in Definition 9. Es gelte zu- sätzlich:

D> := {(i,j,k) ^J d{a

1(i),a

1(j))>vQ(k)}

ist rekursiv-aufzähl bar. Dann gibt es eine Funktion r: E ---- B , so daß für alle p E B und f: M

1 ---- M

2 gilt (p,f) ER

2 ~ (r(p),f) ER

3 •

Beweis: Es sei ds(<a,b>, <c,d>) := max{O,d(a

1 (a) ,a

1 (c)) - 2-b -·2-d}

der ¹¹formale¹¹ Abstand für ¹¹formale Kugeln¹¹ in M 1 .

Es sei r: B - B wie folgt definiert:

l+<c,b'> falls p(n)=l+<a¹,b¹> und (c<•

1a¹ in höchstens t Schritten beweisbar) und: (VJsM(p,n))

r ( p) < c, n , a ^{1 ,} b ^{1 ,} t> = [ ( 3 i )( v<a , b> E J u { <c , b ¹ >} ) a

2 ( i ) E U~

v (3<a,b>EJ)ds{a,c) >0]

in höchstens t Schritten beweisbar

0 sonst

Dabei sei M{p,n) := {i ¹ (3j<n)p(j)=l+i}. Offenbar ist r be- rechenbar.

Beh. 1: (Beweis offensichtlich)

Beh. 2: Es sei (p,f)ER

2 , xEDef(f) und E>O. Dann gibt es

<C,b>EMr(p) mit XEU! und rad(d)<i::-.

Bew. 2:

Annahme:

Es g i b t n , a ^{1 ,} b ¹ mit mit

XE U , 1 a XE U¹

C

, p(n)=l+<a¹,b¹> und rad{b¹)<c:.

gibt es Je s IVl(p,n) mit:

und {V<a,b>E J )ds(a,c) = 0 .

C

Es gibt beliebig kleine c (d.h. rad(c) beliebig klein),

für die xEU¹ und c<•a' gilt.Daesnurendlichviele JsIVl(p,n)

C

gibt, existiert ein J' s IVl(p,n) , so daß es beliebig kleine c gibt mit x EU ¹ und c <· a ^I und

C 1

nicht (3i){V<a,b>EJ¹ u {<c,b'>})a.

2(i) EU~

und {V<a' b> E J ^{1 )} ds ( a' C) = 0 .

Für alle <a,b>EJ¹ gilt dann xEO!, also f(x) EU~ nach Beh. 1. Es gibt c mit J¹ = Je , c<9i a' und xEU~ . Es folgt f(x) EU~, , also

(v<a,b>EJ' u {<c,b'>})f(x) EU~ . Dies ist ein Widerspruch, und die Annahme ist falsch. Es gibt damit genügend ¹¹kleine¹¹ c für die <c,b¹> schließ- lieh von r(p) aufgelistet wird.

q. e. d. (2)

Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt unmittelbar (r(p),f)ER

2 •

Beh. 3: :Mr ( P) ist konsistent.

Bew. 3: Sei Bs:Mr(p) endlich (B ^=I= ß) und es gelte n

{u!

^{1 (3b1})<c,b'>EB}=1=ß. Es sei {<c

0 ,b~>, ... ,<ck,b~>}sB, so daß (3c)<c,b¹>E B ~ (3i ~ k)b¹ = bk¹ und i < j ~ k ::::;> b'. =I= b^{1 • •} Dann gilt

1. J

n {U^{1 1} (3b¹ )<c,b¹>E C} =1= ß . Nach Def. von r gibt es für jedes i ~ k

C . .

Zahlen n.,a'.,t. mit

1. 1. 1.

r(p)<c.,n.,a'.,b'.,t.>= l+<c.,b'.> und p(n.) = l+<a'.,b'.>.

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

Damit gilt n. =l=n. für i<j~k. Es sei r~k, so daß n =max'{n. ¹ i~k}

i J r i

Sei J={i~kl i=1=r}. Darm gilt J:={<a'.,b'.>I iEJ}c:M(p,n). Nach

i 1. - r

Ann. über B (bzw. C ) gilt (Vi E ^-J)U _C, ¹ n U _C ^{1 =t=} 0 , und es folgt wegen

i r

c.<•₁ a'. für alle iEJ: ds(a'.,c .)=O. Nach Def. von r(p)<c ,n ,a',b',t >

1. 1. 1 . r r r r r r

folgt n{O~'.

I

iEJu{b~}}=l=ß also auch n{U~,

I

(3c)<c,b¹>EB}=t=ß.

l.

Q. E. D.

Der Obergang von R₃ nach R

2 ist trivial: (p,f) ^E R

3

::::;> (p,f) E R

2

•

Eine leichte Verallgemeinerung des obigen Beweises zeigt, daß man in jedem Falle, d.h. auch ohne zusätzliche Annahmen, mit einer stetigen Funktion von R₂ nach R₃ gelangen kann. Damit werden auch mittels R₃ alle stetigen Funktionen f: M

1 ---M

2 bezeichnet.

Aus der Topologie ist bekannt ([4], § 35.I, Theorem 1), daß sich jede stetige Funktion f: M

1 ----M

2 von einem metrischen Raum M

1 in einen vollständigen metrischen Raum M

2 zu einer Funktion f: M

1 ----M fortsetzen läßt, so daß Def(f) eine G 2

0-Teilmenge von M

1 ist. Eine Funktion f kann wie folgt definiert werden. Es sei A := Def(f) , G : = u{G' c M l G' offen Durchmesser von f(G')<2-n},

n - 1 '

G:= nG, Def{f):=ÄnG, {f(x)}:=n{f(G) !G Umgebung von x}. _{n n} Das durch die Relation R

3 (Def. 9) eingeführte Bezeichnungssystem ge- stattet eine effektive Version dieses Fortsetzungssatzes.

13 Satz

Für i = 1,2 sei M. _l. = (M. ,d,A. ,a.) ein berechenbarer metrischer _{l. l. l.}

Raum mit der Numerierung

ui

von Umgebungen gemäß Def. 2. Es sei

f\

vollständig. Dann gibt es berechenbare Funktionen E,r: B ---- B , so daß ZU jedem f: M1 ---- M2 und p E B mit . (p, f) E R3 eine Funk- tion f:M

1 ----M

2 existiert mit:

(1)

f

setzt f fort, (2) Def (f} = n G , wobei

n n ( 3) ( E ( p) , f) E R

3 ,

Insbesondere ist damit f eine Fortsetzung von f , und Def(f) ist eine G

0-Teilmenge von M

1 • Da E und r berechenbar sind, läßt sich außerdem jede R

3-berechenbare Funktion f zu einer R -berechenbaren _{. 3} (und damit R. -berechenbaren für i = 1, ... ,4 ) Funktion f fortsetzen,

l

so daß Def(f) eine berechenbare G

0-Teilmenge von M

1 ist.

Beweis:

Es gibt eine berechenbare Funktion r : E - E mit

l\1r(p) = {<i,n> ¹ (3j)<i,j>E l\Arad(j) S2-n)}

Es gelte (p,f)ER

3 • Dann sei f: M

1----M

2 definiert durch Def (f) := G = nG und

n

{f(x)} = n{O~ ¹ (3i)(<i,j>E:M AxEU~)}

J p l

füralle xEG.

Beh. 1: Für x EG ist f(x) wohldefiniert.

Bew. 1: Für mElN sei

A := n{O~ ¹ (3i)(<i,j>SmA<i,j>E :M /\xEU~)}

m J p l

(wobei n0:=M

2 gelte). Offenbar gilt A

1:;:A und A =1=0 wegen

m+ m m

der Kons i stenzbedi ngung aus ( p, f) e: R

3 • Es gilt n{A ^I mE J\l} = n {Ü~ ¹ (3i)(<i,j>E :M /\xEU~)}

m J p l

und,da M vollständig ist, n{A lmEJ.l}=1=0. Sei nEJ.l. Danngilt

2 m

xEG , also gibt es i,j mit xEU~ und <i,j>E:M und rad(j)s2-n

Il l p

Damit gibt es m (nämlich m = <i ,j> ) mit A s:

0~

und rad(j) s 2-n

m J

Daher kann nA nur aus einem einzigen Punkt bestehen, und f(x) ist

m

somit wohldefiniert.

q. e. d. (1)

Beh. 2: f setzt f fort.

Bew. 2: Sei xEDef(f), sei nElN. Wegen (p,f)ER

2 gibt es

<i,j>EM mit xEU~ und rad(j)~2-n, also gibt es iEl'l mit

p l

<i,n>E Mf(p) , und daraus folgt xEGn. Damit gilt xEG . Man zeigt nun leicht f(x) = f (x)

q. e. d. (2)

Sei xEDef(f) und n El'l, dann gilt xEG . Es gibt also

o n

<i,j>E M p

-n o

mit xEU~ und rad(j)~2

°.

Nach Definition von

l

für alle <i ,j> E M

p und x E Def(f) n U~ : f(x) E 0~ . ^{Es folgt}

l J

f

gilt

- 1 -2

f(U.)cU. für alle

l - J <i ,j> E M . Durch leichte Modi fi kati on von p p

ZU E(p) läßt sieh f ( Ok) ~ U! für <k,m> E ME (p) unter Bei behalt der anderen Bedingungen erreichen: Es gibt eine berechenbare Funktion

E: B - B mit

:ME(p) = {<k,m>I {:l<i,j>EMP)(k<-₁ iAj<-₂m)}

Man zeigt nun leicht {Ep,f) E R

3 •

Q. E. D.

Wir wollen nun einen weiteren effektiven Fortsetzungssatz für stetige Funktionen f: M

1 ---- M

2 beweisen. Zur Erinnerung wiederholen wir zwei Definitionen [1,2]. Es seien ö

1 : B----M

1 und ö

2 : B----M

2 Dar- stellungen, und es sei f: M

1 ---- M

2 eine Funktion.

(1) f heißt (ö 1,ö

2)-stetig (-berechenbar), gdw. es eine stetige (be- rechenbare) Funktion rE[B~BJ gibt mit fö

1(p)=ö

2r(p) für alle pE Def{föl)

(2) f heißt stark {ö 1,ö

2)-stetig {-berechenbar), _gdw~ zusätzlich zu (1) noch gilt:

(vp E Def ( ö

1) \ Def ( f ö

1)) p

f

Def ( r) Damit ist f (o

1,o

2)-stetig (-berechenbar), gdw. (p,f)ER

4 für ein (be- rechenbares) p E B .

Für die stark-stetigen Funktionen gibt es eine natürliche Darstellung ([2] Def. 3.3.11).

14 Definition

Es seien o.: B----M. Darstellungen (i = 1,2) . Eine Darstellung

l l

[c5t-02] der stark (o 1,o

2)-stetigen Funktionen f: M

1 --- -M 2 sei wie folgt definiert:

{

i/JP(Def(o1)) ~ Def(o2) und pEDef[o

1- o

2]

=~

(vq, q' EDef(o 1))

[01(q)=o1(q') =;> o21/Jp(q)=o21/Jp(q')J [01-02](p)(o1(q)) := o21/Jp(q)

für alle pEDef[o 1- o

2] und qEDef(o 1) . 15 Satz

Es sei M

1 ein berechenbarer metrischer Raum mit c-zulässiger Dar- stellung o

1 , es sei M

2 ein vollständiger berechenbarer metrischer Raum mit c-zulässiger Darstellung o

2 • Dann gibt es eine berechenbare Funktion r: B - B , so daß für alle p E B und f: M

1 ---- M 2 gilt:

(p,f) E R

4 ^==;> [o 1- o

2]r(p) setzt f fort.

Insbesondere besitzt also jede (o

1,o2)-stetige (berechenbare) Funk- tion f:M

1----M

2 eine stark (o 1,o

2)-stetige (berechenbare) Fort- setzung.

Beweis:

Es genügt, den Satz für das spezielle Paar c-zulässiger Darstellungen 00 für M

1 und o

4 für M

2 (s. Def. 4) zu zeigen. Wegen Satz 11 ge- nügt es zu zeigen: Es gibt eine berechenbare Funktion r mit

(p,f}ER ==;> [o - o

4Jr(p) setzt f fort.

1 0

Es gibt eine berechenbare Funktion E: B-B mit

E <p,q> (n)= das erste c mit [(3aE1M )<a,c>E JM "

q p

rad(c)<2-n A c.:e

2E<p,q>(n-1)]

E<p,q> = 1/Jr(p) (q). Es sei nun (p,f) E R

1. Für alle q E lB gilt entweder 1/Jr(p)(q)=div oder 1Pr(p)(q)EDef(o₄) , da M₂ ein vollständiger metrischer Raum ist. Es folgt 1/Jf(p)(Def ö

0 ) ~ Def(o

4). Seien q,q'EDef(cS

0 )und ö₀ (q) = ö

0 (q^{1) •} Dann gilt q= q• , also

o

₂ 1/Jr (p)(q) =

o

₂ 1/Jr(p)(q').

Es folgt r(p) E Def[ö

0 - o

4]

Beh.: [0

0 - o

4] r (p) setzt f fort.

Bew.: Sei x=cS (q) und y=f(x) . Durch Induktion zeigt man

0

leicht für alle n :

c : = E<p,q> (n) existiert und yE U²(c )

n n

Es folgt y= o

4 E<p,q> = [8

0 - o

4]r(p)(x).

Q. E. D.

Die Darstellung 1/J: B-[B_:.B] bezeichnet genau alle stetigen Funk- tionen r: B ---- B , für die Def(r) eine G

0-Teilmenge von B ist.

Es stellt sich die Frage, wann analog [o

1- o

2] diejenigen stetigen Funktionen f: M

1 ---- M

2 bezeichnet, für die Def(f) eine G0-Teilmenge von M

1 ist. Im Satz 16 wird a 1 s Bedingung dafür gefordert, daß für jedes xEM

1 die Menge

a;

^1{x} kompakt ist. Eine Teilmenge As B ist kompakt, gdw. A abgeschlossen und beschränkt ist. Dabei heißt gE B

Schranke von A, gdw. {VfEA)(vn) f(n)~g(n) .

16 Satz

Für i = 1,2 sei M. ein berechenbarer metrischer Raum mit c-zu-

1.

lässiger Darstellung o . . Es gebe berechenbare Funktionen

l.

r1,r

2 : B----B, so daß für alle qEDef(c5i) gilt:

(1) lB\o~¹o

1{q} = u{[v*(m)J

I

^mE:Mr₁^(q)},

(2) r

2(q) ist eine Schranke von o~¹o

1{q} .

Dann gibt es eine berechenbare Funktion E : B --- - B , so daß für alle pEDef{[o

1- o

2]) gilt:

Def( [o

1- o

2]{p)) = n {Gn I n E 1'1}

mit

Man beachte, daß für jedes n die Menge Gn offen ist, da o 1 eine o·-zulässige Darstellung ist. Damit ist Def([o

1 ^--+ o

2](p)) eine G₀-Teilmenge von M

1 •

Beweis:

Wir können o.B.d.A. annehmen, daß o

2 die (c-zulässige) Cauchy-Dar- stellung von M

2 ist. Es gibt eine berechenbare und ~-istotone Funk- tion y

1 : W(l'l)-W(JN) mit r

1(p) = sup{y

1(w) ¹ wEp} für alle pEDef(r

1) (s. [2J, Thm. 3.1.26). Analog gibt es eine Funktion y

2

für r

2 • Sei Mu eine Typ 2 -Maschine zur Berechnung der universellen Funktion von 1jJ • Dann sei 1:: B - B wie folgt definiert:

f

¹ + <n, i> falls v*(a) ~y

2v*(i) und für alle kEB{a) [M liefert bei Eingabe von p und v*(k)

u

die n-te Stelle der Ausgabe in höchstens t 1:(p)<n,i,a,t> :=

Schritten oder ( :lm E :My

1 v * ( i ) ) v * ( m) !: v * ( k) ]

0 sonst.

Dabei sei B(a) := fk l lg(v*(k)) = lg(v*(a))/\ (vi <lg(v*(a))

v*(k)(i) :s;v*(a)(i)}

und Jvl(w) := fm ¹ (3j<lg(w))w(j)=l+m}. Offensichtlich ist E be- rechenbar. Unter Verwendung der Kompaktheit der Menge .

{r ¹ (vn)r(n) :s;r

2(q)(n)} für alle qEDef(t\) zeigt man: Es sei pEDef[<5i-0

2] . Dann gilt für alle qEDef(o

1) und für alle nEl'l q E On ~ (vq ^I E o ~ ¹ o

1 { q} )iji P ( q) ( n) ex wobei

0 n : = u { [ v

* (

i ) ] ¹ <n , i > E M E ( p ) } • Insbesondere gilt q¹ E On falls q E On und o

1 (q) = o

1 (q^{1) •} Sei nun G := o

1(O ) . Dann gilt

n n

wegen der obigen Eigenschaft. Es sei pEDef([o 1- o

2] ) . Sei xEDef([o

1- o

2](p)). Dann existiert iJ,P(q)(n) für alle n und qEo-1

1 {x} Es folgt (vn)xEGn. Sei x$Def([o 1- o

2](p)) . Sei q E o-¹{x} Dann existiert iJ, (q) nicht, es gibt also ein n mit

p

iJ,P(q)(n)=div. Es folgt q($O und x$G .

n n

Q. E. D.

Da c-äquivalente Darstellungen zu derselben starken Berechenbarkeit bzw.

Stetigkeit führen, ergibt sich aus Satz 16 folgendes Korollar.

17 Korollar

Für i = 1,2 ^sei

M.

ein berechenbarer metrischer Raum mit c-zu-

1.

lässiger Darstellung o . . Es existiere eine c-zulässige Darstel-

1.

lung 0¹ von M

1 , welche die Bedingungen (1) und (2) aus Satz 16 erfüllt. Dann gibt es berechenbare Funktionen E

1,E

2 : B - B , so daß für alle pE Def([o

1 - o

2]) gilt Def([o₁- o

2](p)) = n {Gn

I

^nE :N}

mit

( 1)

o

~ ^{1 G n = De f (}

o

₁) n u { [ v

* (

i ) ] ¹ <n , i > E :M z:

1 ( p) } ( 2) G _n = u { U ~ ^j <n , i > ^{E Jv1 Z:} ₂ ^{( p) }}

i

Beweis:

Es gibt t:J.: B----B berechenbar mit o

1(q)=o¹1:J.(q) für alle qEDef(o

1)

Es gibt r: B - B berechenbar mit iµr(p) = iµPt:J. . Dann gilt [o₁- o

2](p)=[o¹- 0

2]r(p). Nach Satz 16 gilt für pEDef([o

1- o

2])

Def([o

1- o

2](p)) = Def([o¹ - o

2]r(p) = nGn mit

0^1- 1

G = Def(o¹⁾ n u{[v*(i)J ¹ <n,i>E :M Z:¹ (p)}

n

wobei z:' : = H berechenbar ist. Es fo 1 gt o~¹Gn = (o't:J.)-¹GnnDef(o

1)

= Def(o₁) n t:J.~¹(o'

f

^1Gn

= De f ( o

1 ) n tJ. ~ ¹ u { [ v

* (

i ) ] ¹ <n , i > E :M z: ' ( p ) } Standardmethoden zeigen nun, daß es auch ein berechenbares z:

1 : B - B

gibt, welches (1) erfüllt.

Um Eigenschaft (2) zu zeigen, wählen wir für o

1 in (1) die Darstel- lung o

4 aus Definition 4. Es gibt ein berechenbares z:

2 : B-B mit

:Mz:2(p) = {<n,j>I (3i)(<n,i>E:Mz:

1(p)Aj ist das letzte-Symbol von v*(i))}

Dann erfüllt E

2 die gewünschte Bedingung (2).

Q. E. D.

Satz 16 und Korollar 17 sind insbesondere auf c-zulässige Darstellungen des Rn anwendbar, wie das folgende Lemma zeigt.

18 Lemma

(1) Es gibt eine c-zulässige Darstellung p von R, die die

Bedingungen (1) und (2) aus Satz 16 erfüllt.

(2) Falls ö und 0¹ die Bedingungen (1) und (2) aus Satz 16 erfüllen, dann auch [ö,0^{1] •}

(Dabei ist [ö,ö¹]<p,p¹>:= (o(p),ö¹(p^{1) ) )} Beweis:

(1) Es sei pE Def(p) gdw.: Bild(p) s {0,1,2,3} , p(i) = 3 für genau ein iEl'l, p(0):1=1, p(O)p(1)${02,20}. Für pEDef(p) sei

-oo

p(akak-l' .. a

03a_₁a_₂ ••• ) := ~ (ak - 1)2k

J=k

Man überzeugt sich leicht, daß p die gewünschten Eigenschaften hat.

(2) Der Nachweis ist einfach.

Q. E. D.

Damit ist der Definitionsbereich einer stark (Pn,p)-stetigen (berechen- baren) Funktion eine (berechenbare) G0-Menge. Satz 16 ist eine Verall- gemeinerung (einer Richtung) von Satz 5.6 aus [5]. Als Verschärfung von Satz 4.9(2) aus [1] kann man schließlich zeigen:

19 Satz

Unter den Voraussetzungen von Def. 9 gilt: Es gibt eine berechenbare Funktion E : B --- - B , so daß aus

(p,f)ER₄ und

G = n G , G = u {U ~

i

<n, i> E M }

n n n ^1. q

und Gs;;Def(f) und f'=flG folgt:

Zum Beweis schränkt man ~P effektiv ein.

Insbesondere gilt damit f= [ö₁

- a

₂]E<p,q>, falls G= Def(f) .

Nach Lemma 18 und Satz 19 ist eine reelle Funktion stark (Pn,p)-stetig (berechenbar) genau dann, wenn sie (Pn,p)-stetig (berechenbar) ist und ihr Definitionsbereich eine (berechenbare) G0-Menge ist. Dies ver- allgemeinert und verschärft Satz 5.6 aus [5].

Literatur

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Theory of representations, Theoretical Computer Science 38, 35-53 (1985 2 Weihrauch, Klaus:

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Type 2 recursion theory, Theoretical Computer Science 38, 17-33 (1985) 4 Kuratowski, K.:

Topology, Academic Press, New York 1966 5 Kreitz, Christoph:

6

7

Theorie der Darstellungen und ihre Anwendungen in der konstruk- tiven Analysis, Informatik-Bericht 50, Fernuniversität Hagen, 1984 Weihrauch, Klaus; Kreitz, Christoph:

Representations of the real numbers and of the open subsets of the set of real numbers, Annals of Pure and Applied Logic (1986)

Kreitz, Christoph; Weihrauch, Klaus:

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8 Kreitz, Christoph; Weihrauch, Klaus:

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10 Müller, Norbert Th.:

Subpolynomial complexity classes of real functions and real numbers, Lecture Notes in Computer Science 226 (284-293), Springer-Verlag Berlin (1986)

11 Ko, Ker-I; Friedmann, Harvey:

Computational complexity of real functions, Theoretical Computer Sei ence 20, 323 - 352 ( 1982)