WS 2006/07 Prof. Dr. G. Marinescu Dipl.-Math. Ch. Bock
Mathematik f¨ ur Physiker
Ubungsblatt 14¨
Hinweis:Die Nachklausur findet am Freitag, dem 23. M¨arz 2007, von 9 - 13 Uhr im H¨orsaal des Mathematischen Instituts statt. Wenn Sie an der Klausur teilnehmen wollen, ist es u.a.
notwendig, daß Sie bei den jeweiligen Pr¨ufungs¨amtern angemeldet sind und erfolgreich an den Ubungen teilgenommen haben. Wenn Sie zur Klausur angemeldet sind und am 23. M¨arz nicht¨ erscheinen, wird die Pr¨ufung als nicht bestanden bewertet. Bringen Sie Ihren Personal- und Studentenausweis sowie Schreibutensilien mit! Das Papier wird vom Institut gestellt. Weitere Hilfsmittel wie B¨ucher, Manuskripte oder Taschenrechner sind nicht zugelassen. Korrigiert wird nur die mit F¨uller oder Kugelschreiber gefertigte Reinschrift.
Aufgabe 1. Zeigen Sie:
a) lim
x→1
x2−1 x2+x−2 = 2
3 b) lim
x&1
¡ 1
x−1 − 1 x3−1
¢=∞ c) lim
x&1
¡ 1
x−1 − 3 x3−1
¢= 1
d) lim
x→∞(x−p
x2−1) = 0 e) lim
x→∞
√ x
x2+ 1 = 1 f) lim
x→∞(x−p
x2+ 5x) =−5 2 g) lim
x→∞
¡x2+ 2x+ 9 x2+ 5x+ 3
¢x
=e−3 Aufgabe 2.
(i) Zeigen Sie:
a) lim
x→−∞
¡1 + 1 x
¢x
=e b) lim
x%0
¡1 +x¢1
x =e c) lim
x→0
¡1 +x¢1
x =e
(ii) Benutzen Sie die Stetigkeit der Exponentialfunktion, um zu zeigen, daß f¨ur jedes x∈R gilt
n→∞lim
¡1 +x n
¢n
=ex.
(iii) Seienx∈R und (xn)n∈N eine reelle Folge mit limn→∞xn=x. Zeigen Sie:
n→∞lim
¡1 +xn n
¢n
=ex (iv) Seien a, b∈Rmita, b >0. Beweisen Sie:
n→∞lim
³√n
a+ √n b 2
´n
=√ ab
bitte wenden
Aufgabe 3. Es seien [a, b] ein kompaktes Intervall und f: [a, b] → [a, b] stetig. Beweisen Sie, daß es einξ∈[a, b] mitf(ξ) =ξ gibt.
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, daß die Aussage f¨ur ein nicht kompaktes Intervall i.a.
falsch ist.
Aufgabe 4. Seien ϑ∈R und fϑ: R2 →R2 die Abbildung, die jedem Punkt mit Polarko- ordinaten (r, ϕ) den Punkt mit Polarkoordinaten (r, ϕ+ϑ) zuordnet. fϑ heißt Rotation um den Winkelϑ.
(i) Seienx1, x2 ∈R. Berechnen Sie fϑ(x1, x2) und zeigen Sie, daßfϑ linear ist.
(ii) Finden Sie die zu fϑ assoziierte Matrix bzgl. der Standardbasis vonR2. (iii) Zeigen Sie f¨ur ϑ1, ϑ2 ∈R fϑ1+ϑ2 =fϑ1◦fϑ2 und fϑ−1
1 =f−ϑ1. (iv) a) Die Abbildung
R → Hom(R2,R2) ϑ 7→ fϑ
ist ein Gruppen-Homomorphismus.
b){fϑ|θ∈R} ist eine Untergruppe von Hom(R2,R2).
Besprechung in den ¨Ubungsgruppen im SS 2007 2
