KFU Graz V. Mader, G. Engel
TU Graz D. T¨ogl, D. Berger
Vektoranalysis (f¨ ur PhysikerInnen) SS 2012
6. ¨Ubungsblatt: Nabla, Divergenz, Rotation und Fluss
Aufgabe 1: Zeigen Sie:
a.) Jedes Gradientenfeld ist wirbelfrei.
b.) Jedes Rotorfeld ist quellenfrei.
Aufgabe 2: Berechnen Sie die Linienintegrale l¨angs der der Kurve mit 0≤t≤1
C:~x(t) =
t 1 +t 1−t
und ¨uberpr¨ufen Sie ob das Linienintegral vom Weg C abh¨angig ist und bestim- men Sie gegebenenfalls das Potential.
a.) R
C~vd~x=R
Cyzdx+xzdy+xydz b.) R
C~vd~x=R
Cx2dx+y2dy+z2dz
Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Fluß des Fl¨achenst¨ucks F mit VektorfeldK.~ a.) F:x2+y2+z2=R2und
K~ =
x y z
1 (x2+y2+z2)32
b.) F:x2+y2+z2= 2zund
K~ =
x 3y
−z
Hinweis 1 Verwenden Sie Kugelkoordinaten.
Bemerkung 1 Als Maß f¨ur den Fluß kann man die Projektion vonK~ parallel zu~nmal Fl¨achenelementdosummiert ¨uber die ganze Fl¨ache verstehen.
Aufgabe 4: Rotor und Gradient
a.) Gesucht ist der Ausdruck f¨urA~ = rot(rotK)~ −grad(divK)~
K~ =
z2−y2 xyz x+y
1
b.) Gesucht ist der Ausdruck f¨urA~ = grad(divK)~ −rot(gradf~)
K~ =
x2y y2z z2x
f =x2y+y2z+z2x
Aufgabe 5: Integrabilit¨atsbedingungen
Bestimmen Sieg(x, y) derart, dass der Integrand des Linienintegrals
L= Z
C
x
x2+y2dx+g(x, y)dy
den Integrabilit¨atsbedingungen gen¨ugt. F¨ur welche Gebiete G ⊂ R2 ist dann das Integral wegunabh¨angig?
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