Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II 3 Platten

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Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II

20.09.2018 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

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In diesem Kapitel wird die Traglast dünner Platten mit kleinen Durchbiegungen untersucht. Dabei wird ideal plastisches Materialverhalten vorausgesetzt, ohne auf Fragen des Verformungsbedarfes und des Verformungsvermögens näher einzugehen. Da Platten in der Regel eher schwach bewehrt sind, besteht diesbezüglich gewöhnlich wenig Anlass zu Bedenken.

Platten sind die am weitesten verbreitete Anwendung der Stahlbetonbauweise. Ihrer Bedeutung entsprechend werden sie in diesem Kapitel eingehend behandelt. Zunächst werden die grundlegenden statischen Beziehungen aufgestellt, aus denen schliesslich die Fliessbedingungen hergeleitet werden können.

In der Praxis werden heutzutage für die Ermittlung der Beanspruchung meist numerische Verfahren, insbesondere die Methode der finiten Elemente, angewendet. Für Plausibilitätskontrollen eignen sich entsprechende Näherungsverfahren wie bspw. die Methode der stellvertretenden Rahmen.

In der plastischen Plattentheorie werden zur Ermittlung der Traglast statische und kinematische Berechnungsmethoden verwendet.

Für die Bemessung wird meist nur der Biegezustand der Platte betrachtet. Der Einfluss der Querkräfte wird normalerweise nur bei konzentrierten Kräften und Stützen massgebend (Durchstanzen).

Tragwerksanalyse / Berechnungsmethoden –Übersicht

Elastische Plattentheorie Plastische Plattentheorie

Lösung der Platten- differentialgleichung

Methode der Finiten Elemente

Approximative Lösungen mit Energieverfahren

Statische Methode der Plastizitätstheorie

Kinematische Methode der Plastizitätstheorie

Momentenansätze

Methode der stellvertretenden Rahmen

Streifenmethode

Fliessgelenklinienmethode

einfach erweitert

(3)

Die in den Schnittflächen eines Plattenelementes angreifenden Spannungen können zu Spannungsresultierenden gemäss der Abbildung zusammengefasst werden.

Die Biege- und Drillmomente sowie die Querkräfte bilden den Biegespannungszustand; die Membrankräfte den Membranspannungszustand. Im folgenden werden primär senkrecht zur ihrer Mittelfläche beanspruchte Platten betrachtet, in welchem ein Biegespannungszustand vorherrscht.

Membrankräfte können deshalb vorerst ausser acht gelassen werden.

NB: Analog der Balkentheorie wird V_z = V₃ vernachlässigt. In jeder Ebene z = const. herrscht somit ein ebener Spannungszustand.

xdz V

yxdz W

zxdz W

xydz W

ydz V

zydz W

Ebene Elemente - Spannungsresultierende

Biegespannungs- zustand (Platte):

Biegemomente und Querkräfte

Membranspannungs- zustand (Scheibe):

Membrankräfte (Normal- /Schubkräfte)

> @

/2 /2 /2

, , kNm/m = kN

h h h

x y xy yx

h h h

xy y

m xz dz m z dz m m z dz

V V W

³ ³ ³

> @

/2 /2

, kN/m

h h

x y

h h

zx zy

v dz v dz

W W

³ ³

> @

/2 /2 /2

, , kN/m

h h h

x y xy yx

h h

y x

h

n dz n dz n n xydz

V V W

³ ³ ³

mxy

my

mx m^yx nx

nxy

vx

vy

nxy

ny

(4)

Für Spannungen und Spannungsresultierende werden die in der Abbildung illustrierten Vorzeichen- konventionen verwendet. Danach wirken positive Spannungen an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positiver Koordinatenrichtung; für Normalspannungen bedeutet dies, dass Zugspannungen positiv sind. Positive Membran- und Querkräfte entsprechen positiven Spannungen, und positive Momente entsprechen positiven Spannungen nach obenstehender Definition für positive Werte der Koordinate z. Bei doppelten Indizes steht jeweils der erste Index für die Richtung, in welcher die Spannung wirkt, während der zweite Index die Normalenrichtung des Flächenelementes bezeichnet, an welchem die Spannung angreift (sind beide Indizes identisch, wird einer weggelassen).

Ebene Elemente - Spannungsresultierende

/2 /2 /2

, ,

h h h

x x y y xy yx xy

h h h

m z dz m z dz m m z dz

V V W

³ ³ ³

/2 /2

,

h h

x zx y zy

h h

v dz v dz

W W

³ ³

/2 /2 /2

, ,

h h h

x x y y xy yx xy

h h h

n dz n dz n n dz

V V W

³ ³ ³

Vorzeichenkonvention

• Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positiver Achsenrichtung

• Positive Membran- und Querkräfte entsprechen positiven zugehörigen Spannungen

• Positive Momente entsprechen positiven zugehörigen Spannungen für z > 0

• Indizes: 1. Index: Richtung der Spannung

2. Index: Normalenrichtung des Elements, an dem Spannung wirkt

(5)

Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II 3.1 Gleichgewichtsbedingungen

(6)

Das Gleichgewicht der angreifenden Kräfte und Momente am Plattenelement führt zu drei Gleichungen.

Durch Einsetzen der zweiten und dritten Gleichung in die erste ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung für Platten in kartesischen Koordinaten.

0

x vy

v q

x y w w

w w

0

x xy

x

m m x y v

w w

0

y yx

y

m m

y x v

w w

Balken in x-Richtung

Balken in y-Richtung zusätzlich:

Drillmomente

2 2

2

2^x 2 m^xy m2^y 0

m q

x x y y

w w

w

w w w w

y x 0

x y y x

v v

v dy v dx v dy dx v dx dy q dxdy

y x

§ w · § w ·

¨© w ¸¹ ¨© w ¸¹

0

x xy

x xy x xy x

m m

m dy m dx m dx dy m dy dx v dydx

x y

§ w ·

¨© w ¸¹ ¨© w ¸¹

y yx 0

y yx y yx y

m m

m dx m dy m dy dx m dx dy v dxdy

y x

w w

§ · § ·

¨© w ¸¹ ¨© w ¸¹

oPlattengleichgewichtsbedingung:

Herleitung über Gleichgewicht am differentiellen Plattenelement:

Terme mit (dx)²bzw. (dy)²vernachlässigt

Gleichgewichtsbedingungen –kartesische Koordinaten

(7)

Das Momentengleichgewicht an den in der Abbildung dargestellten Plattenelementen führt zu Beziehungen, welche als Transformationsformeln für Biege- und Drillmomente dienen. Es können beliebige Schnitte mit der Normalen n, deren Richtung durch den Winkel M festgelegt ist, betrachtet werden. Sie lassen sich mithilfe eines Mohrschen Kreises darstellen; Drillmomente werden hier positiv gerechnet, wenn der ihnen entsprechende positive (rechtsdrehende) Momentenpfeil in Richtung des betrachteten Schnittrandes weist.

Die Hauptrichtung, für welche die Drillmomente verschwinden, m_tn = 0, sowie die zugehörigen Hauptmomente m₁ und m₂ in den entsprechenden Richtungen können sowohl grafisch im Mohrschen Kreis als auch analytisch bestimmt werden.

Biege- und Drillmomente in einer beliebigen Richtung M: Hauptrichtung M₁(Drillmomente = 0) und Hauptmomente (oMohr’scherKreis):

2 2

cos sin sin 2

n x y xy

m m M m M m M

2 2

sin cos sin 2

t x y xy

m m M m M m M

^{sin cos} ^{cos 2}

tn y x xy

m m m M M m M

1

tan 2 2 ^xy

x y

m m m M

² ²

1,2

4

2 2

x y xy

x y m m m

m m m

r

2 2

sin 2M 2sin cos , cos 2M M M cos M sin M NB:

Spannungstransformation: Biege- und Drillmomente

(8)

Analog zu den Momenten kann auch das Gleichgewicht der vertikalen Kräfte an den abgebildeten Plattenelement aufgestellt werden. Dies führt zu Transformationsregeln für Querkräfte an einem beliebigen Schnitt mit der Normalen n, deren Richtung durch den Winkel M festgelegt ist. Die trigonometrischen Funktionen lassen sich mithilfe eines Thaleskreises deuten. An jeder Stelle der Platte wird eine Hauptquerkraftv₀in RichtungM₀ übertragen. Senkrecht zu dieser Richtung wird keine Querkraft abgetragen. Die Hauptrichtungen der Querkräfte und der Momente fallen nur in Spezialfällen zusammen, allgemein istM₀≠M.

Hauptquerkraft und zugehörige Richtung M₀ (Interpretation mit Thaleskreis):

(allgemein istM₀z M₁) Querkräfte in einer beliebigen Richtung M:

Spannungstransformation: Querkräfte

cos sin

n x y

v v M v M

sin cos

t x y

v v M v M v⁰ v^x²v²^y

tan 0 ^y x

v M v

(9)

Am Rand einer Platte greifen allgemein ein Biegemomentm_n, ein Drillmomentm_tn und eine Querkraftv_n an. Nach Kirchhoff erhält man für dünne elastische Platten mit kleinen Durchbiegungen eine inhomogene Bipotentialgleichung für die Durchbiegungen der Platte, deren Lösungen sich nur zwei Randbedingungen anpassen lassen. Deshalb wird bei der Behandlung von einfach gelagerten und freien Plattenrändern eine weitere Bedingung eingeführt. Die Drillmomente m_tn werden dabei durch eine stetige Verteilung von vertikalen Kräftepaaren ersetzt, wobei sich an den Grenzen zwischen den infinitesimalen Elementen der Längedtdie Kräfte bis auf den Zuwachsm_tn,t·dt aufheben. Der Zuwachs pro Längeneinheitm_tn,t wird nun mit der Querkraft v_n zu einer Stützkraft v_n+m_tn,t = m_n,n+2m_nt,t zusammengefasst. Die beschriebene Behandlung von Drillmomenten am Plattenrand geht auf Thomson und Tait (1883) zurück und lässt sich mit dem Prinzip von de Saint Venant begründen.

Aus der Sicht der statischen Methode der Plastizitätstheorie ist jedoch eine Erklärung der Tragwirkung im Bereich von Plattenrändern vorzuziehen, welche nur auf Gleichgewichtsüberlegungen beruht. Dies ist in der Abbildung illustriert. In einer schmalen Randzone der Platte muss aus Gleichgewichtsgründen eine Randquerkraft V_t=-m_tn existieren, sofern der Plattenrand spannungsfrei ist und die in der Randzone auftretenden Spannungen V_t sich in t-Richtung nicht ändern. Aus der Existenz der Randquerkräfte V_t folgen die Eckkräfte 2m_tnund der Beitragm_tn,tder Drillmomente zur Stützkraft.

Stützkraft Eckkraft

Querkraft in Randzone

Statische Methode der Plastizitätstheorie–Erklärung mit Tragwirkung im Bereich von Plattenrändern, welche nur auf Gleichgewichtsüberlegungen beruht:

oAus Gleichgewichtin einer schmalen Randzone der Platte folgt die Randquerkraft: V_t -m_tn

osofern: Plattenrand ist spannungsfrei und die in der Randzone auftretenden Spannungen Vtändern sich nicht in t-Richtung (Clyde, 1979).

oAus der Randquerkraft Vt -m_tnfolgen die Eckkräfte 2m_tnund der Beitrag von mtn,tzur Stützkraft

Randbedingungen auf der Basis von Gleichgewichtsüberlegungen

(10)

Die entsprechenden Randbedingungen lassen sich wie in der Abbildung angegeben zusammenfassen.

Diese folgen aus reinen Gleichgewichtsbetrachtungen und sind somit für beliebiges Materialverhalten gültig. Für dünne elastische Platten können strengere Randbedingungen formuliert werden, welche jedoch für die Behandlung nach der Plastizitätstheorie nicht relevant sind.

oRandbedingungen auf Basis von Gleichgewichtsüberlegungen:

Stützkraft

Randbedingungen auf der Basis von Gleichgewichtsüberlegungen

• eingespannter Rand: mn, m_tnund vnbeliebig

• einfach gelagerter Rand: m_n= 0, resultierende Stützkraft:

• freier Rand: m_n= 0, verschwindende Stützkraft:

2

tn n nt

n

m m m

v t n t

w w w

2 0

tn n nt

n

m m m

v t n t

w w w

(11)

Die Randquerkräfte sind bei der Ausbildung der Bewehrung entlang von einfach gelagerten und freien Rändern von Stahlbetonplatten zu berücksichtigen. Die Abbildung zeigt den Kraftfluss einer auf reine Drillung beanspruchten Rechteckplatte, welcher mit einem Fachwerkmodell dargestellt werden kann.

An der Plattenoberseite und an der Plattenunterseite bilden sich zueinander senkrechte, unter 45° zu den Plattenrändern geneigte Betondruckstreben aus, deren Komponenten in Richtung der Randnormalen durch randparallele Bewehrung aufgenommen werden. Die Komponenten in Richtung der Plattenränder werden über geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeleitet, deren Vertikalkomponente– welche den Randquerkräften entspricht–über eine Bewehrung aufgenommen werden muss. Diese kann mit Steckbügeln oder durch entsprechende Abbiegung der Biegebewehrung realisiert werden. Man erkennt auch, dass sich die Randquerkräfte in der Plattenecke nicht aufheben, sondern zu einer Eckkraft 2m_ntaddieren.

Querkraft in Randzone Kraftfluss in Plattenecke

Randbewehrung

Werden entlang von einfach gelagerten und freien Rändern Drillmomente in Rechnung gestellt, so ist eine Bewehrung zur Aufnahme von V_t -m_tnanzuordnen.

Veranschaulichung (Ecke, reine Drillung):

oOber- und Unterseite: zueinander senkrechte, unter 45°zu den Plattenrändern geneigte Betondruckstreben, Aufnahme der randnormalen Komponenten durch randparallele Bewehrung

oKomponenten in Richtung der Plattenränder werden durch geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeleitet;

Vertikalkomponenten entsprechen den Randquerkräften V_t -m_tn

oAufnahme von Vt -m_tnmit Steckbügeln oder entsprechender Abbiegung der Biegebewehrung

2 m_nt

(12)

Fügt man in Gedanken zwei Platten an ihren freien Rändern zusammen (man beachte, dass Plattenränder Diskontinuitäten darstellen, an denen i.A. ein Biegemoment m_n, ein Drillmoment m_tn und eine Querkraft v_n angreift), so kann aus der Äquivalenz von Drillmomenten am Plattenrand und Randquerkräften gemäss der Randquerkraft V_t = -m_tn darauf geschlossen werden, dass an statischen Diskontinuitätslinien im Platteninnern die Biegemomente m_n stetig verlaufen müssen, die Drillmomente m_nt und die Querkräfte v_n hingegen springen dürfen. Dabei müssen an einer statischen Diskontinuitätslinie, entlang welcher eine Querkraft V_t abgetragen wird, die Beziehungen gemäss der Abbildung erfüllt sein.

Diskontinuität

Diskontinuitäten

Im Platteninnern sind statische Diskontinuitätslinien zulässig (↔ Äquivalenz von Drillmomenten am Plattenrand und Randquerkräften, man füge in Gedanken zwei freie Plattenränder zusammen).

An Diskontinuitätslinien

→ müssen Biegemomente m_nstetigsein (m_n⁺= m_n^-)

→ dürfen Drillmomente mntund Querkräfte vnspringen (mnt+ ≠ mnt-, v_n⁺≠ vn-)

Somit gelten für eine statische Diskontinuitätslinie, entlang welcher eine Querkraft V_tabgetragen wird, folgende Bedingungen:

n n

m m

t nt nt

V mm

t

n n

V v v t

w

(13)

Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II 3.2 Fliessbedingungen

(14)

Fliessbedingungen für isotrope Materialien sind für Stahlbetonplatten nicht verwendbar (auch nicht bei

«isotroper Bewehrung», d.h. in beide Richtungen gleich grossen Biegewiderständen).

Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für isotrope Platten (Stahl etc.) (für Stahlbeton nicht geeignet, auch bei «isotroper Bewehrung»!)

Im vollplastifizierten Zustand (resp. starr-plastisches Verhalten) ist der Spannungszustand auf jeder Seite der Mittelebene konstant o Fliessbedingung analog wie im ebenen Spannungszustand:

Fliessregimes nach Tresca:

(2 ellipt. Kege, ellipt. Zylinder)

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T: Max , , 0 Max , , 0

vM: 3 0 3 0

s u

x x y y xy s x x y y xy u

f m m m m m

f m m m m m m

V V V V o

V V V V W o

2

2 2 2

2

ABF: 0

BCEF: 4 0

CDE: 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

)

2

u 4 s

m h f

s u

f m

s u

f m

s u

f m

s u

f m

x mx

V

y my

V

xy mxy

W

2 2

s u

f m

1 m1

V

s u

f m

s u

f m

s u

f m

s u

f m V² m²

fs

d fs

d Fn_n

Vn

Hn_n

n mn

z 2

h 2 h

Zusta and a ngung M vM

s

f_s

nic

2

(15)

Die Biegewiderstände einer orthogonal bewehrten Platte können in x- und y-Richtung unabhängig voneinander ermittelt werden. Die Druckzonenhöhen c_x und c_y und somit m_xu und m_yu werden über das Gleichgewicht am Querschnitt bestimmt. Da die Bewehrung orthogonal angeordnet ist, ist das Drillmomentm_xyin den entsprechenden Richtungen gleich null.

Durch Überlagerung der plastischen Momentem_xu undm_yu in den Bewehrungsrichtungen mit m_xy = n_x = n_y= 0 erhält man einen statisch zulässigen Spannungszustand im Element. Die Biege- und Drillmomente, welche diesem Spannungszustand entsprechen, können analog der Spannungstransformation in jeder beliebigen Richtungnbestimmt werden.

Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten

Biegewiderstände m_x,uund m_y,ueiner orthogonal bewehrten Platte (Bewehrung in x- und y-Richtung):

Durch Superposition der Biegewiderstände in den Bewehrungsrichtungen und Transformation in eine beliebige Richtung (analog zu den Spannungstransformationen) ergeben sich die Biege- und Drillmomente m_n, m_tund m_ntin n- und t-Richtung (statisch zulässiger Spannungszustand):

Schnitt x-Richtung Schnitt y-Richtung

x sd

a f

x' s

a V fcd

,

mx u

x

cx

y sd

a f

y' s

a V fcd

y u,

m

y

cy Ohne Normalkräfte ergeben sich die Druckzonenhöhen c_xund c_yund damit m_x,uund m_y,uaus Gleichgewicht.

Da Bewehrung orthogonal, ist m_{xy u}, 0

2 2

cos sin

n xu yu

m m M m M

^sin ^cos

nt yu xu

m m m M M

2 2

sin cos

t xu yu

m m M m M

Sämtliche Membrankräfte verschwinden:

t n nt 0

n n n

(16)

Die Traglast wird anhand der Normalmomenten-Fliessbedingung überprüft, welche davon ausgeht, dass das Versagen ausschliesslich durch Bildung einer Fliessgelenklinie eintreten kann. Falls die Druckzonenhöhe in x- und y-Richtung gleich sind, d.h. c_x = c_y, kann zu dem statisch zulässigen Spannungszustand ein kinematisch verträglicher Bruchmechanismus (Fliessgelenklinie, siehe später) gefunden werden. Es resultiert daraus somit eine vollständige Lösung.

Im allgemeinen sind die Druckzonenhöhen in den beiden Bewehrungsrichtungen unterschiedlich, c_x ≠c_y, und es lässt sich dem betrachteten Spannungszustand kein verträglicher Mechanismus zuordnen. Der ermittelte Wert für m_n ist somit ein unterer Grenzwert für den Biegewiederstand m_nu in Richtung n. Die Abweichungen für c_x ≠ c_y sind in der Regel sehr gering, und das Ungleichheitszeichen kann daher unterdrückt werden.

Die Herleitung der Formel für negative Momente ist analog derjenigen für positive, wobei das negative plastische Moment positiv definiert wirdm’_n,u> 0.

Ergänzende Bemerkung

«Normalmomente» sind Biegemomente (zur Unterscheidung von den Drillmomenten so bezeichnet).

Die Normalmomenten-Fliessbedingung überprüft, ob in jeder Richtung die Normalmomente (Biegemomente) kleiner sind als der Biegewiderstand.

Fliessbedingung für Stahlbetonplatten

Der Widerstand wird anhand der Normalmomente überprüft («Normalmomenten-Fliessbedingung»).

Falls die Druckzonenhöhen gleich sind, d.h. c_x= c_y, resultiert die vollständige Lösung:

• statisch zulässiger Spannungszustand (Gleichgewicht)

• Kinematisch verträglicher Bruchmechanismus (Fliessgelenklinie, siehe später)

Für c_x≠ c_yliefert der statisch zulässige Spannungszustand einen unteren Grenzwert der Traglast:

2 2

, , cos , sin

n u x u y u

m m M m M

2 2

, , sin , cos

t u x u y u

m m M m M

2 2

, , ,

'_{n u} '_{x u} cos '_{y u} sin m m Mm M

2 2

, , ,

'_{t u} '_{x u} sin '_{y u} cos m m Mm M

2 2

, , cos , sin

n u x u y u

m tm M m M

2 2

, , sin , cos

t u x u y u

m tm M m M

2 2

, , ,

'_{n u} '_{x u} cos '_{y u} sin m tm Mm M

2 2

, , ,

'_{t u} '_{x u} sin '_{y u} cos m tm Mm M

Biegewiderstand für positive Biegemomente Biegewiderstand für negative Biegemomente («‘») (Vorzeichen Biegewiderstand positiv)

Die Unterschiede bzgl. der Druckzonenhöhe in x- und y-Richtung sind in der Regel gering, so dass in guter Näherung das Ungleichheitszeichen unterdrückt werden darf.

NB: Mit einem Definitionsbereich für den Winkel Mvon {0 ≤ M≤ S} ist die Beziehung für m_nausreichend.

(17)

Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten

Wird die Einwirkung m_nin der massgebenden Richtung M_ugleich dem Widerstand m_n,ugesetzt, erhält man:

Unter Beachtung, dass die Bedingung m_n,u≥ m_n für alle Richtungen Merfüllt sein muss, resultiert (*):

(*) In der massgebenden Richtung M_u(Berührungspunkt mn,u(M) undm_n(M)) ist die Differenz m_n,um_nminimal, somit:

woraus durch Rückeinsetzen, nach einiger Umformung, die angegebenen Beziehungen folgen.

2 2 ! 2 2

, cos , sin , cos sin 2 sin cos

x u u y u u mn u n x u y u xy u u

m M m M m m M m M m M M

für positive Biegemomente:

, tan

x u x xy u

m m m M

, cot

y u y xy u

m m m M

^,,

tan _u ^{x u} ^x

y u y

m m

M

'_{y u}, _y _xy cot '_u m m m M

'_{x u}, _x _xy tan '_u m m m M

^,,

tan ' ' '

x u x

u

y u y

m m

M

für negative Biegemomente:

Widerstand Einwirkung Widerstand Einwirkung

, min! , 0, ,( ) ( ) , , cot tan

n u n n u n n u n y u x u y x xy u u

m M m M o w m M m M w m M w m M om m m m m M M

wM wM wM

(18)

Für eine gegebene Beanspruchung, welche durch die Momente m_x, m_y und m_xy gegeben ist, variiert abhängig der RichtungMdas Momentm_n= m_x·cos²(M) +m_y·sin²(M) + 2·m_xy·sin(M)·cos(M). Der Widerstand variiert gemäss der Fliessbedingungm_nu = m_xu·cos²(M) +m_yusin²(M) ebenfalls mit M. Somit bildet sich das Fliessgelenk im Berührungspunkt der beiden Kurven von Einwirkung und Widerstand. Der zugehörige Winkel M_u bestimmt die Richtung der Fliessgelenklinie. Es ist zu beachten, dass im Allgemeinen die Richtung des maximalen Moments (Hauptmomentenrichtung M₁) nicht mit der Richtung der Fliess- gelenklinie übereinstimmt. Eine Bemessung des Tragwerks auf das Hauptmoment liegt daher nicht auf der sicheren Seite.

Ergänzende Bemerkung

Da der Winkel Mab der x-Richtung (= Bewehrungsrichtung) gemessen wird, liegen die Maxima resp.

Minima vonm_n,uundm’_n,ubeiM= 0 undM=S/2 (x- undy-Richtung).

Maximum und Minimum der Beanspruchungm_ntreten (ausser beim_xy= 0) in anderen Richtungen auf.

Allgemein wird die Fliessbedingung nur für positive oder negative Momente erreicht (Abbildung zeigt Spezialfall einer optimalen Bemessung).

mn

'_{n u},

m

n u,

m Fliessbedingungen für Stahlbetonplatten

Biegemomente m_nin Funktion von M omassgebende Richtung Mu

MM→ Richtungen, in der das einwirkende positive bzw. negative Moment maximal werden (Hauptmomentenrichtungen für m_n) M_uM’_u→ Richtungen, in der die Einwirkungskurve die Widerstandskurve berührt. Hier ist m_n= m_n,u

Allgemein ist M≠ M_ubzw. M≠ M’_u→ Bemessung von m_n,uauf Hauptmoment m₁ist nicht konservativ!

(19)

Die Fliessbedingung für positive Momentm_nu≥m_nkann auch als Momenten-Tensor der Form

ausgedrückt werden. Die Gleichung ist erfüllt, wenn die Determinante des Tensors verschwindet. Daraus lassen sich die Fliessbedingungen in der Form Y = 0 direkt herleiten. Das Vorgehen ist für negative Momente analog.

Nach der Theorie des plastischen Potentials sind den FliessflächenY= 0 über das Fliessgesetz folgende Krümmungsinkremente zugeordnet (O≥0):

Daraus folgt . Die Transformation in die Hauptrichtungen führt schliesslich zu . Dies bedingt, dass eine der Hauptkrümmungen verschwindet; somit entsprechen verträglichen Bruchmechanismen kinematisch zulässige Verformungszustände in Form abwickelbarer Flächen.

,

cos φ sin cos 0

sin

xu x xy

n u n

xy yu y

m m m

m m

m m m

ª M º

ª º

ª ¬ M º ¼ « ¬ » ¼ ¬ « M » ¼

x yu y

x

Y m m

m

F O w O w

Y m w Y

w

y

xu x

y

Y m m

m

F O w O w

Y m w Y

w 2

_xy

2

_xy

xy

Y m

m

F O w O wm

w w

2

x y xy

F F F

².

F F

₁₁ ₂₂

0

0 Y

' 0 Y

Normalmomenten-Fliessbedingung

Wird M_ubzw.M’_uaus den voherigen Gleichungen eliminiert, folgt aus der Bedingung die sogenannte Normalmomenten-Fliessbedingung:

2

, , 0

xy x u x y u y

Y m m m m m

2

, ,

' _xy '_{x u} _x '_{y u} _y 0

Y m m m m m

≥ 0 ≥ 0

Ist bzw. , so ist die Fliessbedingung erfüllt. Yt0 Y' 0t Die Normalmomenten-Fliessbedingung bildet im (m_x,m_y,m_xy) - Raum zwei elliptische Kegel. Auf den Kegelflächen ist F_xF_y= 0 (aus Fliessgesetz), d.h. eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet. Die verträglichen Mechanismen entsprechen daher abwickelbaren Flächen.

, ,

'_{n u} _n _{n u}

m m m

d d

(20)

Die Ausdrücke der Fliessbedingungen ergeben sich analog mit der Schreibweise nach SIA 262, wonach die Einwirkungsmoment m_x,d, m_y,d und m_xy,d («design») sowie die Biegewiderstände m_x,Rd und m_y,Rd («Resistance») auf Bemessungsniveau berechnet werden

Normalmomenten-Fliessbedingung

Wird M_ubzw.M’_uaus den voherigen Gleichungen eliminiert, folgt aus der Bedingung die sogenannte Normalmomenten-Fliessbedingung:

2

, , 0

xy x u x y u y

Y m m m m m

2

, ,

' _xy '_{x u} _x '_{y u} _y 0

Y m m m m m

≥ 0 ≥ 0

Dito, mit Schreibweise nach SIA 262:

, ,

'_{n u} _n _{n u}

m m m

d d

2

, , , , , 0

xy d x Rd x d y Rd y d

Y m m m m m

2

, , , , ,

' _{xy d} '_{x Rd} _{x d} '_{y Rd} _{y d} 0

Y m m m m m

≥ 0 ≥ 0

(21)

Die Normalmomenten-Fliessbedingung kann in parametrisierter Form geschrieben werden, mit den Substitutionen vonk= |tanM_u| undk’= |tanM’_u|. Der Parameterkbzw.k’ist frei wählbar und es wird oftk= k’= 1 gesetzt. Daraus folgt die linearisierte Fliessbedingung gem. der Abbildung, welche auch in vielen Computerprogrammen zur Anwendung kommt.

Die Normalmomenten-Fliessbedingung überschätzt den Widerstand, insbesondere für grosse Drillmomente bezüglich der Bewehrungsrichtungen und hohen Bewehrungsgehalten. Diese Überschätzung wird in vielen Fällen durch die günstige Wirkung der bei der Bemessung üblicherweise vernachlässigten Membrankräfte kompensiert. Vorsicht ist jedoch bei Eckstützen geboten, in deren unmittelbarer Umgebung näherungsweise ein Zustand reiner Drillung herrscht.

Die bereits in Stahlbeton II gemachte Feststellung, dass die Normalmomenten-Fliessbedingung den Drillwiderstand von Platten überschätzt, wird auf Folie 26ff. begründet. Insbesondere Bauteile mit hoher Drillbeanspruchung und unterschiedlichem Vorzeichen der Hauptmomente (beispielsweise Eckstützen) müssen näher untersucht werden.

1 k

Der Parameter kkann frei gewählt und die Bewehrung direkt bemessen werden. Wird k= 1 gesetzt, so folgt daraus die linearisierte Fliessbedingung, welche auch von vielen Computerprogrammen verwendet wird.

,

x u x xy

m tm k m

,

1

y u y xy

m m m

t k '_, 1

'

y u y xy

m m m

t k '_{x u}, _x ' _xy m t m k m für positive

Biegemomente: für negative

Biegemomente:

Bemessungsmomente

Normalmomenten-Fliessbedingung in parametrisierter Form: mit und Daraus folgen die Bemessungsmomente:

tan _u

k M k' tan 'M_u

(22)

Auch hier ergibt sich die Schreibweise nach SIA 262 analog zur Fliessbedingung.

Bei mehreren Beanspruchungskombinationen ist der erforderliche Biegewiderstand (m_x, m_y)_Rd grundsätzlich für die zugehörigen Schnittgrössen (m_x,m_y, m_xy)_dzu ermitteln. In vielen FE-Programmen ist dagegen die Ermittlung der Biegewiderstände (m_x, m_y)_Rdaus separat ermittelten «Grenzwerten» für jede einzelne Momenteneinwirkung m_xd, m_yd und m_xydimplementiert. Dieses Vorgehen liegt oft sehr stark auf der sicheren Seite.

Bemessungsmomente

Normalmomenten-Fliessbedingung in parametrisierter Form: mit und Daraus folgen die Bemessungsmomente:

tan _u

k M

,

x u x xy

m tm k m

,

1

y u y xy

m m m

t k

'_{x u}, _x ' _xy m t m k m

' tan '_u

k M

für positive

Biegemomente: für negative

Biegemomente:

NB: Bei mehreren Beanspruchungen resp. Beanspruchungskombinationen ist der erforderliche Biegewiderstand (m_x, m_y)_Rd grundsätzlich für zugehörige Schnittgrössen (m_x, m_y, m_xy)_dzu ermitteln. Die in vielen FE-Programmen implementierte Ermittlung der Biegewiderstände (mx, my)Rdaus nicht zugehörigen, separat ermittelten «Grenzwerten» für mx,d, my,dund mxy,d

ist oft stark auf der sicheren Seite.

, , ,

x Rd x d xy d

m tm k m

, , ,

1

y Rd y d xy d

m m m

t k _, _, 1 _,

'^{y Rd} ^{y d} ' ^{xy d}

m m m

t k

, , ,

'_{x Rd} _{x d} ' _{xy d} m t m k m Dito, mit Schreibweise nach SIA 262:

,

' 1

'

y u y xy

m m m

t k

Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II 3 Platten