Statistik Vorlesung

Statistik Vorlesung

24. August 2020

Dauer der Pr¨ufung: 90 Minuten

ZUNAME:

VORNAME: MATR.NR.:

ERLAUBT: Skriptum des Instituts, nicht-graphikf¨ahiger Taschenrechner

VERBOTEN:alle sonstigen Unterlagen, graphikf¨ahiger Taschenrechner, Handys

Bei den Single-Choice-Fragen bringt eine richtige Antwort 2 Punkte und eine falsche 1 Punkt Abzug.

Es gibt keine negative Punktemitnahme in ein anderes Beispiel.

Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte

1 12

2 10

3 20

4 20

5 30

6 8

Summe 100

Note

1. (12 Punkte)

a) Das Argument einer beliebigen Dichtefunktion muss nicht-negativ sein.

^{Richtig Falsch}

b) F¨ur unabh¨angige Ereignisse A undB istP(A∩B) =P({}) = 0.

Richtig Falsch

c) MitP(A) eines EreignissesAkann die Komplement¨arwahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden.

^{Richtig Falsch}

d) Bei kardinalskalierten Daten kann man eine Rangordnung definieren.

Richtig Falsch

e) Bei stetigen Zufallsgr¨oßen gilt stets:P(X ∈[a;b])≤P(X ∈]a;b[)

Richtig Falsch

f) F¨ur metrische Daten der Formxi=a·yi+b ist das arithmetische Mittel ¯x=a·y¯+b

^{Richtig Falsch}

2. (10 Punkte) In den drei Universit¨atsst¨adten Graz, Linz und Wien wurde unter jeweils 100 Studierenden die H¨ohe des Trinkgeldes, abh¨angig von der H¨ohe des Rechnungsbetrags f¨ur das Essen bei der Feier zum Semesterabschluss erhoben (in EUR) und eine Regressionsanalyse durchgef¨uhrt. Treffen die folgenden Aussagen zu:

a) Wenn um 5 EUR mehr f¨ur das Essen ausgegeben wird, steigt die H¨ohe des Trinkgeldes in allen drei Universit¨atsst¨adten im Mittel um etwa 2,50 EUR.

^{Richtig Falsch}

b) Ein BWL-Student gibt in Graz im Mittel um ungef¨ahr 9 EUR weniger f¨ur das Essen aus als in Linz.

Richtig Falsch

c) In Wien wird bei gleich teurem Essen mehr Trinkgeld gegeben als in Linz.

^{Richtig Falsch}

d) Die Standardabweichung f¨ur das Trinkgeld ¨andert sich in allen drei Universit¨atsst¨adten mit der H¨ohe des Rechnungsbetrages.

Richtig Falsch

e) Bei einem gleich teuren Essen wird in Graz im Mittel gleich viel Trinkgeld gegeben wie in Wien.

^{Richtig Falsch}

3. a) (7 Punkte) Gegeben sind folgende Daten:

Auspr¨agung 3 8 12 15 H¨aufigkeit 5 8 2 10

Berechnen Sie den Median und die Standardabweichung.

Ausf¨uhrung Beispiel 3:

b) (8 Punkte) Die Leitung einer kleinen Bank-Filiale m¨ochte zur weiteren Produktentwicklung etwas ¨uber die Struktur der Anleger wissen und erhebt f¨ur alle Anleger die Einlagenh¨ohe in Tausend Euro.

Anleger 1 2 3 4 5

Einlage 119 28 84 63 56

Zeichnen Sie die Lorenz-Kurve und schraffieren Sie jene Fl¨ache, deren doppelter Fl¨achen- inhalt dem Gini-Koeffizienten entspricht.

Ausf¨uhrung Beispiel 3:

c) (5 Punkte) Gegeben sind einige Werte des VPI 2005 und VPI 2010 der Statistik Austria.

Jahr 2009 2010 2011 I05,i 107,5 109,5

I10,i 100,0 103,3

1. Erg¨anzen Sie die beiden fehlenden Werte der Tabelle.

2. Um wie viel Prozent waren die Preise 2009 niedriger als 2011?

Ausf¨uhrung Beispiel 3:

Ausf¨uhrung Beispiel 3:

4. a) (6 Punkte) Ein W¨urfel wurde dahingehend manipuliert, dass die F¨unf und die Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit von je 20 Prozent kommen. Die anderen Augenzahlen sind gleich- verteilt. Dieser W¨urfel wird zweimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt genau einmal eine Zahl gr¨oßer als 3? Erstellen Sie zur Veranschaulichung einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsbaum.

Ausf¨uhrung Beispiel 4:

b) (8 Punkte) Ein Haubenlokal-Besitzer l¨asst seine Speisen von allen G¨asten konsequent bewerten. ¨Uber die Jahre hinweg hat er herausgefunden, wie groß die Wahrscheinlichkeiten f¨ur die Bewertung einer Speise in Abh¨angigkeit der Kategorie der Speise (Fleischgericht, vegetarisch, vegan) sind.

Punkte 0 1 2 3

Fleischgericht 0,01 0,05 0,07 0,30 vegetarisch 0,01 0,04 0,11 0,22 vegan 0,01 0,03 0,04 0,11 Ein Gast gibt eine Bewertung ab.

1. Wie hoch sind die erwarteten Punkte?

2. Wie hoch sind die erwarteten Punkte, wenn er ein vegetarisches Gericht hatte?

Ausf¨uhrung Beispiel 4:

c) (6 Punkte) Eine Gemeinde hat ermittelt, dass f¨ur die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Gewitterereignisses im Sommer innerhalb einer Woche im Gemeinde- gebiet die Annahme einer Poisson-Verteilung mit Parameter 3 gen¨ugt.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten dann innerhalb einer Woche mehr als zwei Ge- witterereignisse auf?

2. Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung f¨ur die Anzahl der Gewitterer- eignisse innerhalb von vier Wochen an.

Ausf¨uhrung Beispiel 4:

Ausf¨uhrung Beispiel 4:

5. a) (8 Punkte) In einer Stichprobe von 600 Wahlberechtigten gaben 270 an, dass sie gegen die Einf¨uhrung eines generellen Tempolimits von 100 km/h auf Deutschlands Autobahnen sind, w¨ahrend sich 330 daf¨ur aussprachen.

1. Berechnen Sie ein zweiseitiges 95-%-Konfidenzintervall f¨ur den Anteil der Wahlberech- tigten, die gegen die Einf¨uhrung dieses generellen Tempolimits sind.

2. Bestimmen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, damit der gesch¨atzte Anteil der Wahlberechtigten, die f¨ur eine Einf¨uhrung des Tempolimits sind, mit 90 % Sicherheits- wahrscheinlichkeit um weniger als 5 Prozentpunkte vom wahren Wert abweicht, wenn Sie ¨uber keine Vorabinformationen f¨ur den zu sch¨atzenden Anteil verf¨ugen.

Ausf¨uhrung Beispiel 5:

b) (10 Punkte) Ein landwirtschaftlicher Betrieb m¨ochte untersuchen, ob die Niederschlags- mengen in einer bestimmten Region in den drei Sommermonaten gleich hoch sind. Im Laufe mehrerer Jahre wurde folgende Verteilung der langj¨ahrigen Monatsmittel im Som- mer ermittelt:

Monat Juni Juli August

Niederschlag in mm Wassers¨aule 55 60 68 Zu ¨uberpr¨ufen ist (α= 0,05) die Hypothese:

”Die Niederschlagsmengen in den drei Som- mermonaten unterliegen einer Gleichverteilung.“

1. Welcher Test ist anzuwenden?

2. Wie sind die Hypothesen zu formulieren?

3. Geben Sie den Testwert an.

4. Bestimmen Sie den kritischen Bereich.

5. Wie entscheiden Sie?

6. Wie kann das Ergebnis interpretiert werden?

Ausf¨uhrung Beispiel 5:

c) (12 Punkte) An einer Universit¨at werden die Teilnehmer einer Lehrveranstaltung in zwei Gruppen zu je f¨unf Studierenden eingeteilt. Die erste Gruppe wird wie gewohnt im Pr¨asenz- unterricht, die zweite Gruppe hingegen online unterrichtet. Die Abschlussklausur nach drei Monaten ergab folgende Punktezahlen (Maximalpunktezahl 100):

Pr¨asenz-Gruppe (X) 55 78 90 34 83 Online-Gruppe (Y) 42 73 61 27 37

Testen Sieohne Annahme von Normalverteilung, zum Signifikanzniveauα= 0,1 ob das Ergebnis in der Pr¨asenz-Gruppe besser war als jenes in der Online-Gruppe.

1. Welcher Test ist anzuwenden?

2. Wie sind die Hypothesen zu formulieren?

3. Geben Sie den Testwert an.

4. Bestimmen Sie den kritischen Bereich.

5. Wie entscheiden Sie?

6. Wie kann das Ergebnis interpretiert werden?

Ausf¨uhrung Beispiel 5:

Ausf¨uhrung Beispiel 5:

6. (8 Punkte) Die Studienrichtungsvertretung m¨ochte herausfinden, wie die Zeit f¨ur die Vorberei- tung auf die Statistik-VO-Pr¨ufung am sinnvollsten eingesetzt werden kann und erhebt unter 400 BWL-Studierenden die f¨ur die Pr¨ufungsvorbereitung aufgewendete Zeit und die erreichte Punk- teanzahl. Es wird erfasst, wie viele Stunden f¨ur das Rechnen der Beispiele auf den UE-Bl¨attern (UEBUNGEN), f¨ur das Lernen der Theorie (THEORIE) im Skriptum und in den Videos, f¨ur das Rechnen von Beispielen alter Klausuren (KLAUSUREN) und f¨ur den Besuch von Tutorien (TUTORIUM) aufgewendet wurde. F¨ur die Studienrichtungsvertretung ist auch interessant, um den wievielten Pr¨ufungsantritt es sich handelt (1. Antritt = Gruppe1, 2. Antritt = Gruppe2, 3.

Antritt = Gruppe₃ und 4. Antritt = Gruppe₄). Das Ergebnis der Regressionsanalyse wird in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Koeffizient Standardfehler t-Statistik P-Wert

Schnittpunkt -16,81 5,24 -3,21 0

Gruppe2 -7,34 1,7 -4,33 0

Gruppe3 1,53 1,48 1,03 0,3

Gruppe4 3,47 2,16 1,61 0,11

UEBUNGEN 0,35 0,04 8,34 0

KLAUSUREN 0,58 0,15 3,86 0

THEORIE 0,55 0,05 10,98 0

TUTORIUM 0,24 0,07 3,31 0

a) Um wie viele Punkte erh¨alt man beim 3. Antritt mehr als beim 1. Antritt, wenn man 20 Stunden mehr f¨ur das Rechnen alter Klausuren aufwendet als beim 1. Antritt und die

¨

ubrige Zeit unver¨andert l¨asst.

b) Wie viele Punkte erh¨alt eine Kandidatin beim ersten Antritt im Mittel, wenn sie 80 Stun- den f¨ur das Rechnen der ¨Ubungsbeispiele, 30 Stunden f¨ur das Rechnen alter Klausuren, 120 Stunden f¨ur das Studium der Theorie aufwendet und 20 Stunden im Tutorium verbringt?

Ausf¨uhrung Beispiel 6:

Ausf¨uhrung Beispiel 6: