Offline Bewegungsplanung: Red-Blue Merge

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Offline Bewegungsplanung: Red-Blue Merge

Elmar Langetepe University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 1.12.14 Kollisionsfreie Wege cElmar Langetepe WS ’1415 1

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• Je zwei schneiden sich s mal

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• X-monoton,

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• X-monoton, eventuell erzeugen

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• Startpunkt x

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• Startpunkt x

• Komplexit¨at der Zelle Z_x:

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• Startpunkt x

• Komplexit¨at der Zelle Z_x: λ_s+2(4n)

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Zur¨ uck zur Aufgabe: Konfigurationsraum

• n B¨ogen

• Startpunkt x

• Komplexit¨at der Zelle Z_x: λ_s+2(4n)

• Divide and Conquer Ansatz sinnvoll

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Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

(12)

Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

Gegeben: Punkt x, n X-monotone B¨ogen.

(13)

Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

Gesucht: Zelle Z_x im Arrangement der B¨ogen, die x enth¨alt.

(14)

Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Zerlege Menge der B¨ogen in gleichgroße Teilmengen R und B.

(15)

Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Berechne rek. im Arrangement A(R) Zelle Z(R)_x, die x enth¨alt

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Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Berechne rek. im Arrangement A(R) Zelle Z(R)_x, die x enth¨alt.

• Berechne rek. im Arrangement A(B) Zelle Z(B)_x, die x enth¨alt.

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Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Berechne Zusammenhangskomponente Z_x von Z(R)_x ∩ Z(B)_x, die x enth¨alt und berichte diese!

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Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Berechne Zusammenhangskomponente Z_x von Z(R)_x ∩ Z(B)_x, die x enth¨alt und berichte diese! RED-BLUE Merge

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Alg. 2.4: Zelle Z

_x

!

• Berechne Zusammenhangskomponente Z_x von Z(R)_x ∩ Z(B)_x, die x enth¨alt und berichte diese! RED-BLUE Merge

Zuerst RED-BLUE Merge betrachten, dann zur¨uck!

(20)

Allgemeiner RED-BLUE Merge

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Allgemeiner RED-BLUE Merge

• Rotes Arrangement R mit Zellen R₁, . . . , R_m_R, r Ecken.

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Allgemeiner RED-BLUE Merge

• Blaues Arrangement B mit Zellen B₁, . . . , B_m_B, b Ecken.

(23)

Allgemeiner RED-BLUE Merge

• Punktmenge p_i i = 1, . . . , k

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Allgemeiner RED-BLUE Merge

• Punktmenge p_i i = 1, . . . , k

• Schnittzellen Z_j = R_µ_j ∩ B_ν_j, j = 1, . . . , l, die mind. ein p_i enthalten

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Komplexit¨ at der Schnittzellen: Lem. 2.21

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Komplexit¨ at der Schnittzellen: Lem. 2.21

Kombinationslemma: Guibas,Sharir,Sifrony 1989 (DSS Bibel) Komplexit¨at der Zellen Z₁, . . . , Z_`, ` ≤ k:

|Z₁| + |Z₂| + · · · + |Z_`| ∈ O(r + b + k)

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Komplexit¨ at der Schnittzellen: Lem. 2.21

|Z₁| + |Z₂| + · · · + |Z_`| ∈ O(r + b + k)

Nicht trivial:

Zi

d Zj Zk

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Komplexit¨ at der Schnittzellen: Lem. 2.21

|Z₁| + |Z₂| + · · · + |Z_`| ∈ O(r + b + k)

Nicht trivial:

Zi

d Zj Zk

Zur Analyse der Berechnung verwenden!!!

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Berechnung: Th. 2.22

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Berechnung: Th. 2.22

• Rotes Arrangement R (r), Blaues Arrangement B (b), Punktmenge P (k), Schnittzellen Z_i

(31)

Berechnung: Th. 2.22

• |Z₁| + |Z₂| + · · · + |Z_`| in O((r + b + k) log(r + b + k)) berechnen!

(32)

Berechnung: Th. 2.22

• Sweep Algorithmus

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Berechnung: Th. 2.22

• P erweitern: Innere Endknoten von R und B: Wichtig!!

(34)

Berechnung: Th. 2.22

• Q: P und innere Endknoten

(35)

Berechnung: Th. 2.22

• Q: P und innere Endknoten

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Alg. 2.5: Preprocessing!

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Alg. 2.5: Preprocessing!

F¨ur alle q ∈ Q dar¨uber/darunter-liegende Kante in R und B

(38)

Alg. 2.5: Preprocessing!

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Alg. 2.5: Preprocessing!

Durch Sweep in jedem Arrangement: ¨Ubung O((r + b + k) log(r + b + k))

(40)

Alg. 2.5: Sweep in zwei Richtungen!

a b

q₁

(i)

q₂ q₃

(iii)

q₁ q₃

a b

(ii)

q₂ q₁ q₃

a b

q₂

(41)

Alg. 2.5: Sweep in zwei Richtungen!

i) Teile der Ergebniszellen: Rechts vom am weitesten links liegenden q ∈ Q beginnen

a b

q₁

(i)

q₂ q₃

(iii)

q₁ q₃

a b

(ii)

q₂ q₁ q₃

a b

q₂

(42)

Alg. 2.5: Sweep in zwei Richtungen!

ii) Teile der Ergebniszellen: Links vom am weitesten rechts liegenden q ∈ Q beginnen

a b

q₁

(i)

q₂ q₃

(iii)

q₁ q₃

a b

(ii)

q₂ q₁ q₃

a b

q₂

(43)

Alg. 2.5: Sweep in zwei Richtungen!

iii) Nochmals Aufteilen in Teilzellen

a b

q₁

(i)

q₂ q₃

(iii)

q₁ q₃

a b

(ii)

q₂ q₁ q₃

a b

q₂

(44)

Alg. 2.5: Sweep in zwei Richtungen!

iii) Nochmals Aufteilen in Teilzellen Dann Vereinigung!

a b

q₁

(i)

q₂ q₃

(iii)

q₁ q₃

a b

(ii)

q₂ q₁ q₃

a b

q₂

(45)

Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

(46)

Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

• ES: nach X-Koord. sort.

Punkte aus Q + zus¨atzl. Ecken von R und B.

(47)

Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

• SSS: Zu jedem Zeitpunkt:

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Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

– sortierte Folge der

Schnittzellen entlang der Sweepline

(49)

Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

– Schnittzellen haben Zeiger auf O/U Kanten

(50)

Alg. 2.6: Sweep (eine Richtung!)

– Schnittzellen haben Zeiger auf O/U Kanten

– Scout l¨auft auf Schnittkante und bewacht mitentscheidene Kanten!!

(51)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(52)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

• Bewachte Kante wechselt! (Schnitte: Mit Bewacher?)

(53)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

• Randkante wechselt! (Schnitte: Mit Bewacher/Mit Randkante?)

(54)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

• Red/Blue Schnittpunkt: Region Ende oder Wechsel Rand/Bewachte Kante

(55)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(56)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

• Endpunkt aus Q: Neue Region (Bewachung/Schnitte)!!

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Alg. 2.6: Ereignisse!!

(58)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(59)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(60)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(61)

Alg. 2.6: Ereignisse!!

(62)

Beispiel (Tafel): Alg. 2.6: Ereignisse!!

(63)

Beispiel (Tafel): Alg. 2.6: Ereignisse!!

n = r + b + k

(64)

Beispiel (Tafel): Alg. 2.6: Ereignisse!!

n = r + b + k

1. Rot/Roter Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1) 2. Blau/Blauer Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1) 3. Rot/Blauer Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1)

4. Neuer Punkt: Regionstart O(1) Preprocessing! Einf¨ugen in SSS:

O(log n); Schnitte! O(1)

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Beispiel (Tafel): Alg. 2.6: Ereignisse!!

n = r + b + k

1. Rot/Roter Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1) 2. Blau/Blauer Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1) 3. Rot/Blauer Schnittpunkt: Wechsel! Schnitte! O(1)

4. Neuer Punkt: Regionstart O(1) Preprocessing! Einf¨ugen in SSS:

O(log n); Schnitte! O(1)

• Schnitte Blau/Rot berechnen: 1), 2), 3), 4)!

– A) N¨achsten berechnet in O(1)

– B) Einf¨ugen in ES: O(log n): Begr¨undung!

(66)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

(68)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

• Nie mehr als O(r + b + k) Punkte in ES

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

• Nie mehr als O(r + b + k) Regionen in SSS

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

• Einf¨ugen in ES: O(log(r + b + k))

(71)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

• Einf¨ugen in SSS: O(log(r + b + k))

(72)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

• Nicht mehr als O(r + b + k) Ereignisse:

(73)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

– Rot/Rot, Blau/Blau:

(74)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

– Rot/Rot, Blau/Blau: r und b

– Rot/Blau, neu aber in O(r + b + k)

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

– Rot/Blau, neu aber in O(r + b + k) – Neue Punkte:

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

– Rot/Blau, neu aber in O(r + b + k) – Neue Punkte: max. k + r + b

(77)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

n = r + b + k

– Rot/Blau, neu aber in O(r + b + k) – Neue Punkte: max. k + r + b

Insgesamt: O(n log n)

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

(79)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

• Problem (Besonderheiten):

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

• Eine bewachte Kante geh¨ort zu vielen Zellen!

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

• Nicht f¨ur alle Zellen pr¨ufen!!

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Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

• Abhilfe: In Listen zusammenfassen!

(83)

Analyse: Red-Blue Merge Th. 2.22

• Abhilfe: In Listen zusammenfassen!

• Nur mit oberen/unteren den Schnitt testen!

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Weitere Besonderheiten

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Initialisierung

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Initialisierung

• Zu Beginn nur zwei einzelne B¨ogen

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Initialisierung

• Nat¨urliche Begrenzung (h¨aufig)

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Initialisierung

• Unendliche Zellen

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Initialisierung Red-Blue Merge Th. 2.22

• Initialisierung

• Unendliche Zellen

• Beispiel: Tafel!

(91)

Zellenberechnung: Th. 2.23

(92)

Zellenberechnung: Th. 2.23

n X-monotone Kurvenst¨ucke von denen sich zwei nur s mal

schneiden, x gegeben. Zelle Z_x kann in Zeit O(λ_s+2(n)) log² n) berechnet werden.

(93)

Fahrplan!!

• Divide and Conquer!!

• Teile Segmente in zwei gleichgroße Mengen Z₁, Z₂

• Berechne Z₁_x und Z₂_x

• Merge zu {Z₁ ∪ Z₂}_x

• Spezieller Merge wegen Schnitt mit x

• RED BLUE Merge

• Merge: Komplexit¨at des Ergebnisses

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Beweis: Th. 2.22

(95)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

(96)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

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Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

(Rek.)

(98)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

(Rek.) + C × λ_s+2(n) log(λ_s+2(n))

(99)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

(Rek.) + C × λ_s+2(n) log(λ_s+2(n)) (R/B-Merge)

(100)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

≤ 2

2T

n 4

+ Cλ_s+2

n 2

log n 2

+ C × λ_s+2(n) log n

(101)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

≤ 2

2T

n 4

+ Cλ_s+2

n 2

log n 2

+ C × λ_s+2(n) log n ... ...

(102)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

≤ 2

2T

n 4

+ Cλ_s+2

n 2

log n 2

+ C × λ_s+2(n) log n ... ...

≤ (n) (T(1) + C) + C

logn

X

i=0

λ_s+2(n) log n 2ⁱ

(103)

Beweis: Th. 2.22

Divide and Conquer

T(n) ≤ 2T

n 2

≤ 2

2T

n 4

+ Cλ_s+2

n 2

log n 2

+ C × λ_s+2(n) log n ... ...

≤ (n) (T(1) + C) + C

logn

X

i=0

λ_s+2(n) log n 2ⁱ

∈ O(λ_s+2(n) log² n)

(104)

Anwendungen: Kap. 2.2.2

(105)

Anwendungen: Kap. 2.2.2

• Polygonaler Roboter R mit |R| = m

(106)

Anwendungen: Kap. 2.2.2

• Polygonale Szene n Ecken

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Anwendungen: Kap. 2.2.2

• Reine Translationsbewegung

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Anwendungen: Kap. 2.2.2

• Startposition s, Endposition t

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Anwendungen: Kap. 2.2.2

• Startposition s, Endposition t

• Kollisionsfreie Bahn von s nach t

(110)

Alg. 2.7

(111)

(112)

Preprocessing:

(113)

Preprocessing:

• Arrang. 2mn Linienseg.(Ecke/Kante)

(114)

Preprocessing:

• Ber. Zelle Z, die s enth¨alt:

(115)

Preprocessing:

Komplexit¨at O(λ₍₁₊₂₎(mn)),

(116)

Preprocessing:

Laufzeit O(λ₍₁₊₂₎(mn) log²(mn))

(117)

Preprocessing:

• Trapezzerlegung,

(118)

Preprocessing:

Zusammenhangsgraph: Seidel

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Preprocessing:

O(λ₍₁₊₂₎(mn) log^∗(mn)) (Sweep)

(120)

Preprocessing:

O(λ₍₁₊₂₎(mn) log^∗(mn)) (Sweep) Query: gegebenes t:

• Trapez, das t enth¨alt: O(log(mn))

(121)

Preprocessing:

O(λ₍₁₊₂₎(mn) log^∗(mn)) (Sweep) Query: gegebenes t:

• Trapez, das t enth¨alt: O(log(mn))

• Pfad s nach t im Zusammenhangsgraph:

O(λ₍₁₊₂₎(mn))

(122)

Theorem 2.24

(123)

Theorem 2.24

Translation von R polygonaler Roboter mit m Ecken, in einer

Umgebung mit polygonalen Hindernissen P_i mit insgesamt n Ecken.

(124)

Theorem 2.24

Gegeben seien Start– und Zielposition s, t.

(125)

Theorem 2.24

Gegeben seien Start– und Zielposition s, t.

Dann kann in Zeit O(mn α(mn) log²(mn)) eine kollisionsfreie

Translation von s nach t bestimmt werden oder festgestellt werden, dass keine solche existiert.