3. Übungsblatt zur PDG I

Fachbereich Mathematik

M. Geißert, R. Haller-Dintelmann, H. Heck

SS 2008 25.04.2007

3. Übungsblatt zur PDG I

Gruppenübung

Aufgabe G1

Es seid≥2 und 1 ≤p <∞, sowie R^d₊ := {x ∈R^d:x_d>0} der Halbraum und für jedesx∈R^d schreiben wirx= (x^′, x_d) mitx^′= (x1, . . . , x_d−1). Wir wollenW^1,p(R^d+) Funktionen am Rand vonR^d+ auswerten. Beweisen Sie dazu die folgende Aussagen:

(a) Für alleu∈C_c^∞(R^d+) gilt

u(x^′,0) =− Z ∞

0

∂u(x^′, x_d)

∂x_d dx_d.

(b) Für alle u∈C_c^∞(R^d₊) giltku(·,0)k_Lp(R^d−1) ≤Ckuk_W1,p(R^d₊).

(c) (Spursatz) Es gibt eine eindeutige stetige lineare Abbildung Γ : W^1,p(R^d+) → L^p(R^d−1) mit Γu=u|_∂R^d

+ für u∈C_c^∞(R^d+).

Lösung:

(a) Füru∈C_c^∞(R^d₊) gilt

− Z _r

0

∂u(x^′, x_d)

∂x_d dx_d=u(x^′,0)−u(x^′, r) für r >0.

Da der Träger von u kompakt in R^d₊ ist, erhalten wir die gewünschte Identität für r→ ∞.

(b) Aus Teil (a) erhalten wir für p >1

|u|^p(x^′,0) =−p Z ∞

0

|u|^p−1(x^′, x_d)sign(u)∂u(x^′, x_d)

∂x_d dx_d

3. Übung PDG I

Die Hölder Ungleichung liefert nun mit der Youngschen Ungleichung (fürp≥1)

|u|^p(x^′,0) ≤pZ ^∞

0

u^p(x^′, x_d) dx_d(p−1)/pZ ^∞

0

∂u(x^′, x_d)

∂x_d p

dx_d1/p

≤

≤C Z _∞

0

|u|^p(x^′, x_d) dx_d+ Z _∞

0

∂u(x^′, x_d)

∂x_d ^pdx_d.

Integrieren wir diese Ungleichung in x^′ so erhalten wir ku(·,0)k^p_Lp(R^d−1)≤C

Z

R^d+

|u|^p(x^′, x_d) dx_d+ Z

R^d+

∂u(x^′, x_d)

∂x_d

^pdx_d≤ kuk^p_W1,p(Rd +).

(c) Nach Teil b) ist der lineare Operator

eΓ :C_c^∞(R^d+)→ L^p(R^d−1), eΓu:=u|_∂R^d

+

stetig, wenn C_c^∞(R^d) mit der W^1,p(R^d)-Norm versehen ist. Dieser Operator ist inW^1,p(R^d+)dicht definiert, also besitzt er eine (eindeutige) stetige Fortsetzung Γ aufW^1,p(R^d+).

Aufgabe G2

Seif ∈L^p(Ω) mit1< p≤ ∞ und ¹_p +¹_q = 1. Zeigen Sie, dass die folgende Aussagen äquivalent sind

(a) f ∈W^1,p(Ω).

(b) Es existiert C >0 Z

Ω

f∂ϕ

∂x_i

≤C· kϕk_L^q_(Ω), ∀ϕ∈C_c^∞(Ω), i= 1, . . . , d.

Lösung: (a)⇒ (b): Sei f ∈W^1,p(Ω). Dann gilt

Z

Ω

f∂ϕ

∂x_i =

Z

Ω

∂f

∂x_iϕ ≤ k_∂x^∂f

ik_L^p_(Ω)kϕk_L^q_(Ω) fallskfk_L^p_(Ω) 6= 0 (sonst ist die Ungleichung trivial).

(b)⇒ (a): Nach Voraussetzung ist das Funktional Ψ(ϕ) :=

Z

Ω

f ∂ϕ

∂x_i

stetig auf dem normierten Vektorraum(C_c^∞(Ω),k · k_L^q_(Ω)). Also besitztΨeine stetige Fortsetzung aufL^q(Ω), denn für 1≤q <∞ istC_c^∞(Ω)dicht inL^q(Ω). Dann existiert g∈L^p(Ω)(da L^q(Ω)^′ =L^p(Ω)) mitΨ(ϕ) =R

Ωgϕ. Also R

Ωgϕ=R

Ωf_∂x^∂ϕ

i, d.h.D_if =

−g undf ∈W^1,p(Ω).

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3. Übung PDG I

Aufgabe G3

Seif ∈L^p(Ω)mit1< p≤ ∞. Zeigen Sie, dass die folgende Aussagen äquivalent sind (a) f ∈W^1,p(Ω).

(b) Es existiert C >0 so, dass für jede Ω^′ ⊂Ωmit Ω^′ ⊆Ωund für alle h ∈R^d mit

|h|<dist(Ω^′,Ω^c)

kτ_hf−fk_Lp(Ω^′)≤C|h|.

Lösung: (a) ⇒ (b): Sei Ω⊂ R^d, ϕ∈ C_c^∞(R^d) und h ∈ R^d mit |h|< dist (Ω^′,Ω^c).

Dann gilt (Beachte: _dt^dϕ(x+th) = (∇ϕ)(x+th)h):

kτ_hϕ−ϕk_L^p_(Ω′)=



 Z

Ω^′

Z1

0

(∇ϕ)(x+th)hdt

p

dx





1 p

≤ |h|



 Z

Ω^′

Z1

0

|(∇ϕ)(x+th)|^p dtdx





1 p

=|h|



 Z1

0

Z

Ω^′

|(∇ϕ)(x+th)|^p dxdt





1 p

=hk∇ϕk_L^p_(Ω).

Sei nunu∈W^1,p(Ω). Dann existiertϕ_n∈C_c^∞(R^d)mitku−ϕ_n|_Ωk_W1,p(Ω) →0. Damit folgt:

kτ_hu−uk_L^p_(Ω′)= lim

n→∞kτ_hϕ_n−ϕ_nk_L^p_(Ω′)≤ lim

n→∞|h|k∇ϕ_nk_L^p_(Ω)=|h|k∇uk_L^p_(Ω).

(b)⇒(a): Seiϕ∈C_c^∞(Ω),Ω^′ =supp˚ ϕ(das Innere des Trägers) undh₀ = dist (suppϕ, ∂Ω).

Dann gilt:

Z

Ω

f ∂_xiϕ= lim

h→0

Z

Ω

fτ_heiϕ−ϕ h = lim

h→0



 Z

Ω

fτ_heiϕ

h −

Z

Ω

fϕ h





= lim

h→0



 Z

Ω

τ_−heifϕ h −

Z

Ω

fϕ h



= lim

h→0

Z

Ω

τ_−heif−f

h ϕ

≤ sup

|h|≤h0

1

hkτ_hf−fk_L^p_(Ω′)kϕk_L^q_(Ω) ≤Ckϕk_L^q_(Ω). Damit folgt die Behauptung aus Aufgabe G2.

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