Semina r: F o rmale Begriffsanalyse F o rmale K ontexte und Begriffsverb ¨ande Dozentin: W iebk e P etersen p etersew@uni-duesseldo rf.de 25. Ap ril 2006 FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006
F o rmaler Kontext
direktverw andt
¨ alter j¨unger m¨annlich weiblich eindeutig andereGeneration
Vater××××× Mutter××××× Bruder×× Schwester×× Kind××× Sohn×××× Tochter×××× Onkel××× Tante××× Opa××× Oma××× Cousin× Cousine× Neffe××× Nichte×××
Definition1.EinformalerKon- textKisteinTripel(G,M,I),beste- hendauseinerMengevonGegenst¨anden G,einerMengevonMerkmalenM undeinerbin¨arenInzidenzrelation I⊆G×M;wobei(g,m)∈Igelesen wirdals“derformaleGegenstandghat dasformaleMerkmalm”oder“dasfor- maleMerkmalmtrifftaufdenformalen Gegenstandgzu”. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸2
Die A bleitungsrelation
Definition2.EsseiK=(G,M,I)einformalerKontext.F¨ureineMenge A⊆GvonGegenst¨andendefinierenwir Adef ={m∈M|∀g∈A:(g,m)∈I} (A istdieMengedergemeinsamenMerkmalederGegenst¨andeinA). Entsprechendistf¨ur
eineMengeB⊆MvonMerkmalen Bdef ={g∈G|∀m∈B:(g,m)∈I} definiert(B istdieMengederGegenst¨ande,diealleMerkmaleausBhaben). FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸3
V e ranschaulichung der A bleitungsrelation
direktverw andt
¨ alter j¨unger m¨annlich weiblich eindeutig andereGeneration
Vater××××× Mutter××××× Bruder×× Schwester×× Kind××× Sohn×××× Tochter×××× Onkel××× Tante××× Opa××× Oma××× Cousin× Cousine× Neffe××× Nichte×××
(G,M,I)formalerKontext A,A1,A2⊆GMengenvonGegenst¨anden B,B1,B2⊆MMengenvonMerkmalen 1)wennA1⊆A2,dannA 2⊆A 1 1’)wennB1⊆B2,dannB 2⊆B 1 2)A⊆A 2’)B⊆B 3)A =A 3’)B =B FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸7
fo rmaler Begriff Definition 3. Sei K =( G, M ,I ) ein fo rmaler K ontext; ein formaler Begriff ist ein P aa r ( A, B ) ⊆ G × M , mit A = B
und B = A
. A heißt d ie Extension bzw. d er Umfang und B die In tension bzw. d er Inhalt des B egriffs ( A, B ) . B ( G, M ,I ) b ezeichnet d ie Menge aller fo rmalen B egriffe des K on- textes ( G, M, I ) .
FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸8Gegenstands- und Merkmalsb e griffe Definition 4. F ¨ur einen G egenstand g ∈ G schreib en wir g
statt { g }
f¨ur
den Gegenstandsinhalt . F ¨ur ein M erkmal m ∈ M schreib en wir m
statt { m }
f¨ur den Merkmalsumfang . F erner schreib en wir γg
f¨ur den Gegenstandsb egriff ( g
,g
) und µm
f¨ur
den Merkmalsb egriff ( m
,m
) .
FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸10Eigenschaften fo rmaler K ontexte und Begriffe Lemma 5. Jeder fo rmale Begriff eines K ontextes ( G, M, I ) ist von der F or m ( X
,X
) f¨ur
eine T eilmenge X ⊆ G und von d er F orm ( Y
,Y
) f¨ur
eine T eilmenge Y ⊆ M . Umgek ehrt ist jedes solche P aa r ein fo rmaler B egriff. Jeder B egriffsumfang ist Durchschnitt von M erkmalsumf ¨angen und jeder B egriffsinhalt ist D urchschnitt von G egenstandsinhalten.
FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸13¨ Ubungsaufgab
e : V erw a ndtschaftsk ontext
direktverw andt
¨ alter j¨unger m¨annlich weiblich andereGeneration
Vater×××× Mutter×××× Bruder×× Schwester×× Kind××× Sohn×××× Tochter×××× Papa×××× Mama××××
ExtensionIntension
Vater Mutter Bruder Schwester Kind Sohn Tochter Pap a
Mama direktverw andt
¨ alter j¨unger m¨annlich weiblich andereGeneration
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 TragensiedieMengeallerBegriffezudemBeispielkontext“Verwandtschaft”in dierechteTabelleein. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸14
bin ¨are R elation
Definition6.Einebin¨areRelationRzwischenzweiMengenMundNist eineMengevonPaaren(m,n)mitm∈Mundn∈N,alsoR⊆M×N. Statt(m,n)∈RschreibtmanauchmRn. IstM=N,soistReinebin¨areRelationaufderMengeM. R−1def ={(n,m)|(m,n)∈R}istdiezuRinverseRelation. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸15b e sondere bin ¨are R elationen
Definition7.Einebin¨areRelationRaufMheißt: reflexivg.d.w.∀x∈M:xRx, irreflexivg.d.w.∀x∈M:¬xRx, symmetrischg.d.w.∀x,y∈M:wennxRy,dannyRx, asymmetrischg.d.w.∀x,y∈M:wennxRy,dann¬yRx, antisymmetrischg.d.w.∀x,y∈M:wennxRyundx=y,dann¬yRx, konnex/linearg.d.w.∀x,y∈M:xRyoderyRxoderx=y, transitivg.d.w.∀x,y,z∈M:wennxRyundyRz,dannxRz. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸16¨ Aquivalenzrelation
Definition8.Einebin¨areRelationRaufeinerMengeMisteine
¨ Aquiv
a- lenzrelation,fallsRreflexiv,symmetrischundtransitivist. IstReine
¨ Aquivalenzrelation
aufMunda,b∈M,soschreibtmanstattaRb aucha∼Rbundsagt:aist¨aquivalentzubbez¨uglich
R. MankanndieElementevonMinKlassen¨aquivalenterElementeeinteilen;
f¨ur
einElementa∈MheißtdieKlasse [a]Rdef ={b:b∈Munda∼Rb} die
¨ Aquiv
alenzklassevonabe
z¨uglich
R.DieMenge M/Rdef ={[a]R:a∈M} aller
¨ Aquivalenzklassen
vonElementenausMbe
z¨uglich
RheißtQuotientvon Mbez¨uglich
R. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸17
Eigenschaften d er
¨ Aquivalenzrelation
Bemerkung:SeienaundbElementeeinerMengeMundReine
¨ Aquivalenzre-
lationaufM,danngilt: [a]R=∅,[a]R=[b]Rg.d.w.a∼Rb,abg.d.w.[a]R∩[b]R=∅. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸18
Ordnungsrelationen
Definition10.Einebin¨areRelationRaufeinerMengeMisteine Quasiordnung/Pr¨aordnung,wennsietransitivundreflexivist. (Beispiel:inderselbenSchulklassesein;¨ Aquivalenzrelationen)
partielleOrdnung,wennRtransitiv,reflexivundantisymmetrischist. (Beispiel:(℘(M),⊆)) lineareOrdnung,wennsietransitiv,reflexivundkonnexist. (Beispiel:(N,≤)) (M,R)heißtpartiell/linear...geordneteMenge. Bemerkung:LineareOrdnungsrelationenwerdenh¨aufigmit≤,bzw.partielle Ordnungsrelationenmit⊆bezeichnet,auchwennessichbeidergegebenenOrd- nungwederumeinenumerischeGr¨oßeno
rdnungnochumdieMengeninklusion handelt. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸20
strikte O rdnungen
Definition12.Einebin¨areRelationRaufeinerMengeMisteine striktepartielleOrdnung,wennsietransitiv,irreflexivundantisymmetrisch ist. (Beispiel:(℘(M),⊂)) totale/striktlineareOrdnung,wennsietransitiv,irreflexivundkonnexist. (Beispiel:(℘(M),<)) Bemerkung:StrikteOrdnungsrelationenwerdenh¨aufigmit<,bzw.mit⊂ bezeichnet. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸22Nachba r / Hassediagramm
Definition13.SeienaundbzweiElementeeinergeordnetenMenge(M,⊆), bheißtobererNachbarvonag.d.w.a⊆bunda=bundwenneskeinvona undbverschiedenesElementcvonMgibt,f¨ur
dasa⊆c⊆bgilt.Manschreibt dannaucha≺b. Bemerkung:JedeOrdnung⊆aufeinerMengeMlegteinenat¨urliche
¨ Aquiva-
lenzrelation’=’aufMfest:∀a,b∈M:a=b⇔a⊆bundb⊆a.Eineendliche geordneteMengen(M,⊆)kanndurcheinHassediagrammveranschaulicht werden;dieseserh¨altman,indemman
f¨ur
jede=-¨AquivalenzklassevonMeinen Punktzeichnetundzwarso,daß[a]unterhalbvon[b]liegt,wenn[a]⊆[b].Zwei Punkte[a]und[b]werdenmiteinerLinieverbunden,wenna≺b. FormaleBegriffsanalyse/SoSe06—WiebkePetersen—25April2006µ¶·¸23
