Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 13
Abgabe am 7.6. oder am 9.6. in der Übung
Aufgabe 1.SeiX1, X2, . . . eine Folge von Zufallsvariablen mitE(Xi) =mund Var(Xi) =σ2 füri∈N. Es gelte
|Cov(Xi, Xj)| ≤r(|i−j|)
für eine Funktion r:N→(0,∞). Zeigen Sie, dass unter der Bedingung 1
n2
n−1
X
k=1
(n−k)r(k)→0 für n→ ∞ (1)
an das „Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.
n→∞lim P
X1+X2+. . .+Xn
n −m
> ε
= 0 ∀ε >0.
Zeigen Sie, um einen Zusatzpunkt zu bekommen, dass die Bedingung limk→∞r(k) = 0 die Bedingung (1) impliziert.
Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable Sn =X1+. . .+Xn. Für eine reelle Zufallsvariable X giltE((X−E(X))2) = Var(X). Beachten Sie Var(Sn) =Pni,j=1Cov(Xi, Xj).
Aufgabe 2. Sei K={x∈R2:|x| ≤1}die Einheitskreisscheibe und Z = (Z1, Z2) eine K-wertige Zu- fallsvariable (auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)) mit GleichverteilungUK auf K.
Stellen Sie Z in Polarkoordinaten (R, ψ) dar und zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen R und ψ unab- hängig sind. Welcher Verteilung genügen ψ undR2?
Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Aussage. Seiµein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Rund Φ dessen charakteristische Funktion. Dann gilt
(1) |Φ(t)−Φ(s)|2 ≤2(1− <(Φ(t−s))) für alles, t∈R. (2) t7→Φ(t) ist gleichmäßig stetig auf R.
Aufgabe 4.Zeigen Sie mittels maßtheoretischer Induktion für unabhängige ZufallsvariablenX, Y: Ω→ S ⊂R¯ und messbare Funktionen f, g:S→R
E(f(X)g(Y)) =E(f(X))E(g(Y)).
Spezialisieren Sie anschließend fürf(x) =g(x) =x,x∈R. Folgern Sie, dass für die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) gilt, wobei Var(X) :=E((X−E(X))2).
