Reinhard Winkler (TU Wien) 2. Februar 2021

(1)

Skriptum

Mathematik 1 f¨ ur Bau- und Umweltingenieurwesen Wintersemester 2020

Errata

Reinhard Winkler (TU Wien) 2. Februar 2021

Zusammenfassung

Die meisten Fehler aus fr¨ uheren Versionen des Skriptums sind mittlerweile ausge- merzt. Ein paar haben sich in der aktuellen Version vom September 2020 der Korrek- tur leider immer noch widersetzt. Hier ist eine Zusammenstellung jener Druckfehler, die auch inhaltliche Fehler nach sich ziehen. Nichtmathematische Fehler sprachlicher, ortho-, typografischer und ¨ ahnlicher Natur sind nicht ber¨ ucksichtigt.

Notation, erkl¨ art am ersten und am dritten Beispiel:

p23

¹⁶

bedeutet Seite 23, 16. Zeile von oben (Kopfzeile nicht mitgez¨ ahlt).

p26

3

bedeutet Seite 26, 3. Zeile von unten.

p23

¹⁶

: ∀x, y : x + y = y + x (statt ∀a, b : x + y = y + x)

p23

²¹⁻²³

: Wir schreiben m|n, wenn die nat¨ urliche Zahl m die nat¨ urliche Zahl n teilt, . . .

p26

₃

: D = T

S := {x | ∀M ∈ S : x ∈ M} f¨ ur den Durchschnitt . . . (statt T

S := {x | ∃lM ∈ S : x ∈ M} f¨ ur den Durchschnitt . . . ) p27

⁷

: V = S

S := {x | ∃M ∈ S : x ∈ M } (statt V = S

S := {x | ∀M ∈ S : x ∈ M })

p38

⁹

und p38

¹⁶

: a ≥ 0 genau dann, wenn −a ≤ 0 (statt a ≥ 0 genau dann wenn −a ≤ a

1

(2)

p44

13

: Satz 1.3.7.1 (statt Satz ??) p46

11

und p46

9

: P

n

k=0

k statt P

n

k=1

k. Zwar hat es auf den Wert der Summe kei- nen Einfluss, ob die Summation bei k = 0 oder k = 1 beginnt, der Induktionsbeweis meint aber k = 0.

p49

8,7

: Es kann also kein n ≥ 1 ohne Primfaktorzerlegung geben. (Die Zahl n = 0 hat keine Primfaktorzerlegung.)

p90

¹⁶

: 2.1.1.2 (statt 2.1.1.1)

p100

¹¹⁻¹⁴

: An allen vier Stellen in diesem Bereich ist n + 1 durch n − 1 zu setzen.

An der Argumentation ¨ andert sich dadurch allerdings nichts.

p104

₁₉

und ganz ¨ ahnlich p104

₁₇

: Ist lim sup

_n→∞

a

n

∈ R eine reelle Zahl . . . bzw.

Ist lim inf

n→∞

a

_n

∈ R eine reelle Zahl . . . (fehlendes Symbol ∈)

p104

₁₅

: Sowohl lim inf

n→∞

a

_n

als auch lim sup

_n→∞

a

_n

sind eindeutig bestimmt, sei es als reelle Zahl, als ∞ oder als −∞.

p105

¹⁹

: . . . und

⁰₀

keine allgemeing¨ ultigen Aussagen . . . (statt . . . und

^c₀

keine allgemeing¨ ultigen Aussagen . . . )

p106

¹²

: . . . jene wichtigen Ergebnisse aus Satz 2.1.7.2 . . . (statt jene wichtigen S¨ atze (??) . . . )

p106

^15,16

: Sodann ziehen wir Folgerungen f¨ ur R

ⁿ

(Satz 2.1.7.3) sowie lim sup und lim inf (Satz 2.1.7.4).

p114

¹⁴

: Den Klammerausdruck

” (zueinander offenbar ¨ aquivalenten)“ streichen.

p116

⁵

: P

∞

n=0

q

ⁿ

=

_1−q¹

p130

²

: . . . Punkte x ∈ D mit x 6= x

0

. p132

¹⁸

: . . . stetig in f (x

₀

) ∈ D

_g

, . . .

p136

¹⁵

: In Satz 3.1.5.2 fehlt die Voraussetzung, dass f stetig ist. Eine korrekte (und wohl auch klarer verst¨ andliche) Formulierung w¨ are z.B.:

a) Ist f : [a, b] → R stetig und streng monoton (somit injektiv), so auch die Umkehrfunktion f

⁽⁻¹⁾

: f ([a, b]) → [a, b].

b) Ist f : D → R mit kompaktem (d.h. beschr¨ anktem und abgeschlossenem) D stetig

2

(3)

und injektiv, so ist auch die Umkehrfunktion f

⁽⁻¹⁾

: f (D) → D stetig.

Den Beweis von Aussage a) m¨ ochte ich in der n¨ achsten Ausgabe besser ausarbei- ten, den von Aussage b) erg¨ anzen. Pr¨ ufen werde ich die Beweise nicht.

p139

¹⁻³

, Erg¨ anzung: Satz 3.1.6.1 gilt nicht nur f¨ ur abgeschlossene Teilmengen D von R , sondern f¨ ur beliebige vollst¨ andige metrische R¨ aume.

p144

²

: Zu je zwei Polynomen f

₁

und f

₂

6= 0 gibt es . . .

p161

2,1

: . . . mit Exponenten α: f(x) = pot

_α

(x) = x

^α

f¨ ur alle x ∈ R

⁺

. p162

₉

: . . . die Funktion g := f ◦ exp : R → R , . . .

p172

₁₃

, Exponent −1 in Klammern: f

⁽⁻¹⁾

⁰

=

_f0◦f¹⁽⁻¹⁾

p176

9

: Statt

” In Kurzschreibweise . . . “ sollte es besser heißen: Erf¨ ullen f und g in allen Punkten x

₀

∈ D die Voraussetzungen, so gilt also

f g

0

=

^f⁰^{g−f g}_g2 ⁰

. p177

5

: f (x

0

) 6= 0 (statt f (x) 6= 0)

p178

³

: pot

1

n

(statt p

1 n

)

p184, Satz 4.2.4.2 (Taylor), Formulierung: Statt

” stetig auf [x

₀

, x]“ muss

” n-mal stetig differenzierbar auf [x

₀

, x]“ vorausgesetzt werden. [Anmerkung: Wegen der vor- ausgesetzten n + 1-fachen Differenzierbarkeit auf dem offenen Intervall (x

0

, x) stellt diese st¨ arkere Voraussetzung zus¨ atzlich de facto nur die Stetigkeit von f

⁽ⁿ⁾

an den Stellen x

₀

und x sicher.]

p184

₇

: (x, x

₀

) (statt (x.x

₀

))

p200

⁶

: Beim Arcuscotangens sind Definitions- und Wertebereich vertauscht, also:

arccot : R → (0, π)

p201

6

: . . . die Gleichung x

²

+ y

²

= 1 . . . p205

₂

: a, b ∈ K (statt a, b ∈ R

ⁿ

)

p206

¹⁸

: Potenzfunktionen pot

_α

(statt Potenzfunktionen p

α

) p208

⁹

, nochmals: pot

_n

(statt p

n

)

p217

₁

: . . . Dirichletsche Sprungfunktion f = 1

_Q

, . . . p219

²

: . . . sowohl O(f, Z ) − U (f, Z ) < ε als auch . . .

3

(4)

p220

^1,2

: . . . z.B. auf [a, b] = [0, 1] mit R

b

a

f (x) dx =

^b²^−a₂ ²

, also R

1

0

x dx =

¹₂

, vgl.

Ubungsaufgabe 272. . . . ¨ p220

⁶

und p221

14

: ε > 0 p225

₅

:

S(f, Z, B) =

n

X

i=1

f (ξ

i

)(x

i

− x

i−1

) =

n

X

i=1

(F (x

i

) − F(x

i−1

) =

p226

_13,14

: . . . , dass Stammfunktionen auf zusammenh¨ angenden Mengen . . . p226

₅

: (ln |x|)

⁰

= (ln(−x))

⁰

=

_−x¹

(−1) =

¹_x

). . . .

p231

13

: x = t −

^β₂

(statt x = t +

^β₂