Berechnen Sie eine Basis von U⊥

Prof. Dr. Jörg Winkelmann SS 2009

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II

Blatt 8

Aufgabe 1

a) Sei h., .i : Rⁿ×Rⁿ → R das kanonische Skalarprodukt und U ein k-dimensionaler Untervektorraum vonRⁿ. SeiB={b₁, . . . , b_k}eine Basis vonU undB ∈M(k×n,R) die Matrix, in deren Zeilen die Basisvektorenb_i stehen.

Zeigen Sie: U^⊥=Ker(B).

b) Sei V =R⁵,U =hb₁, b₂, b₃imit

b₁= (1,2,1,0,3)^t, b₂= (2,1,0,1,2)^t, b₃ = (1,3,1,1,2)^t. Berechnen Sie eine Basis von U^⊥.

Aufgabe 2

a) Sei B:R³ →R³ eine Bilinearform gegeben durch

B(x, y) = 3x₁y₁−2x₁y₂+ 2x₂y₂−2x₂y₁−2x₂y₃−2x₃y₂+x₃y₃.

Bestimmen Sie eine Basis B₁ von R³, sodass die Matrixdarstellung M_B1(B) von B bezüglich B₁ in Diagonalform ist, sowie eine BasisB₂, sodass die Matrixdarstellung M_B2(B) von B bezüglich B₂ in der Form

M_B2(B) =



 1 0 0 0 1 0 0 0 −1





ist.

b) Sei B:R⁴ →R⁴ eine Bilinearform gegeben durch

B(x, y) =x^t







1 −1 0 0

−1 1 0 0

0 0 −2 1

0 0 1 −2





y.

Bestimmen Sie eine Basis B von R⁴, sodass die Matrixdarstellung M_B(B) von B bezüglich B in Diagonalform mit Diagonaleinträgen aus{0,1,−1}ist.

Aufgabe 3 Sei

M_B(B) =



 1 2 3 4 5 6 7 8 9





die darstellende Matrix einer Bilinearform B : R³×R³ → R bezüglich einer Basis B = {b₁, b₂, b₃}. SeiA={a₁, a₂, a₃} eine weitere Basis von R³. Stellt manv∈R³ bezüglich B bzw.Adar, ergibt sich

v= X3

i=1

x_ib_i= (x₂+x₃)a₁+ (x₁+x₃)a₂+ (x₁+x₂)a₃. Berechnen Sie die darstellende MatrixM_A(B) vonB bezüglich A.

Aufgabe 4

SeiV =M(n×n,R)und ψ:V →V,ψ(A) :=A−A^t. a) Sei weiterf =x²−2x∈R[x].

Zeigen Sie: ψist eine lineare Abbildung mit f(ψ) = 0.

b) Ist ψdiagonalisierbar?

Abgabe: Montag, den 22.06.2009, bis 18:00 Uhr.

Hinweise: Bitte Namen und Übungsgruppe auf das Blatt schreiben. Maximal 2 Namen zusammen.