Stundenprotokoll
22. August 2007 Physik LK Bastgen
Kapazität / Coulomb’sches Gesetz / Ladungen im Koordinatenkreuz
© Till Peter
Ladungen im Koordinatenkreuz
Im Unterricht haben wir folgende Aufgabe durch Überlegungen nach und nach gelöst und am Ende zusammengefasst:
Ladung Q1 = 2C bei (1m/1m) Ladung Q2 = 3C bei (5m/3m) Messpunkt M bei (4m/1m)
Gesucht sind der Betrag und die Richtung des elektrischen Feldes am Messpunkt M.
Zunächst haben wir uns um den Betrag gekümmert, indem wir die jeweilige Stärke der beiden durch Q1 und Q2 erzeugten
elektrischen Felder am Punkt M berechnet haben:
2 2
2 1
1 0 22
3 (
2
m . C m) c
c C r
c Q
E = ⋅ = ⋅ ≈ ⋅
1
2 2 2 2
2 2
2
2 1.34
) 2 ( ) 1 (
3 3
m c C
m m
c C a c C r
c Q
E ≈ ⋅
⋅ +
=
⋅
=
⋅
=
Nun suchen wir den Winkel β, damit wir im Parallelogramm weiterrechnen können. Wie aus der Skizze zu entnehmen kann er folgendermaßen berechnet werden:
°
⎟≈
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⇔
=
56 . 2 26
arctan 1 arctan
) tan(
m m c
b c
b
α α
°
≈
° +
°
≈
⇔
+
°
=
56 . 116 56
. 26 90
90
β
α β
Da wir die Winkelsumme des Parallelogramms kennen (360°) und β haben, berechnen wir nun γ :
°
≈
°
°
≈
⇔
⋅
−
= °
44 . 63 116.56 -
180
2 ) 2 ( 360
γ γ β
Mit Hilfe des Kosinussatzes ist es möglich die dem Winkel γ gegenüberliegende Seite zu berechnen, welche ja den gesuchten resultierenden Betrag Er des elektrischen Feldes am Punk M darstellt.
In den Kosinussatz müssen die den Winkel einschließenden Seitenlängen eingesetzt werden:
2
2
2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2
25 . 1
26 . 0 84 . 1
) 44 . 63 cos(
34 . 1 22
. 0 2 34
. 1 22
. 0
) cos(
m c C
E
m c C
E
m c C
m c C
m c C
m c C
E
E E E E E
r r r r
⋅
≈
⇔
−
⋅
≈
⇔
°
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ ⋅
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ ⋅
⋅
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ ⋅
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ ⋅
≈
⇔
⋅
⋅
− +
= γ
Also ist der resultierende Betrag des elektrischen Feldes bei M
25 2
.
1 m
c⋅ C groß, wobei wir den konstanten Faktor c noch nicht kennen.
Relativ schnell ist man jetzt in der Lage, die Richtung des Betrages ausgehend von einer horizontalen Linie zu bestimmen.
Auch hierfür verwenden wir den Kosinussatz, nur umgekehrt:
°
≈
⇔
⋅ =
⋅
−
⇔ −
⋅
⋅
⋅
− +
=
2 . 109 ) cos(
) 2 cos(
-
) cos(
2
1 2 1 2 2 2
1 2
1 2 2 2
ε
ε
ε
E E
E E E
E E E
E E
r r
r r
Die Konstante c (, die ja „nur“ Streckungsfaktor ist,) haben wir vernachlässigt.
Die Richtung des Vektors ist also um 109,2° aus der
Horizontalen im Uhrzeigersinn nach unten rechts gedreht (s.
Skizze).
Wir haben schließlich den Vektor des elektrischen Feldes am Punkt M vollständig bestimmt:
Betrag:
25 2
.
1 m
c⋅ C
Richtung: 109,2°, also leicht nach unten rechts zeigend
Wir fassen zusammen:
Alle einzelnen elektrischen Felder, die radialsymmetrisch auf einen bestimmten Punkt wirken, addieren sich vektoriell.
Aus allen Einzelbeträgen und –richtungen ergeben sich ein resultierender Betrag und eine resultierende Richtung.
Zeichnerisch kann man den resultierenden Vektor durch räfteparallelogramme bestimmen.
K
Als Hausaufgabe hatten wir nach demselben Muster diese ähnliche Aufgabe zu lösen:
Ladung Q1 = 2C bei (2m/4m) Ladung Q2 = 3C bei (3m/2m) Messpunkt M bei (0m/4m)
1.) Betrag der elektrischen Felder am Messpunkt M:
2 2
2 1
1 0 5
2 (
2
m . C m) c
c C r
c Q
E = ⋅ = ⋅ = ⋅
1
2 2 2 2
2 2
2
2 13
3 )
2 ( ) 3 (
3 3
m c C
m m
c C a c C r
c Q
E ≈ ⋅ ⋅
⋅ +
=
⋅
=
⋅
=
2.) Winkel β:
°
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⇔
=
2 45 arctan 2 arctan
) tan(
m m c
b c
b
α α
°
=
°
°
=
⇔
⋅ °
−
= °
135 45
- 180
2 ) 2 ( 360
β β α
3.) resultierender Betrag des elektrischen Feldes am Punkt M:
2 2
2 2
2 2 2
2 2 1 2 2 2 1 2
6829 . 0
4664 . 0
) 135 13 cos(
5 3 . 0 13 2
5 3 . 0
) cos(
m c C
E
m c C
E
m c C m c C m
c C m
c C E
E E E E E
r r r r
⋅
⋅
≈
⇔
⋅
⋅
≈
⇔
°
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ ⋅
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ ⋅
⋅
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ ⋅
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ ⋅
=
⇔
⋅
⋅
− +
= β
4.) Winkel des resultierenden Feldes zur Horizontalen:
°
=
°
−
°
°
≈
⇔
≈
⇔
≈
− ≈
−
⇔
⋅ =
⋅
−
⇔ −
⋅
⋅
⋅
− +
=
94 . 165 06
. 14 180
06 . 14
) 97 . 0 arccos(
) cos(
97 . 6829 0 . 0
6631 . 0
) 2 cos(
-
) cos(
2
1 2 1 2 2 2
1 1
2
γ
γ
γ γ
γ
E E
E E E
E E E
E E
r r
r r
Auswertung: Der resultierende Vektor des elektrischen Feldes am Punkt M beträgt ca. 0.6829 2
m
c⋅ ⋅ C in Richtung 165.95° aus der Horizontalen nach links.
El. Kapazität
Die elektrische Kapazität ist die Fähigkeit eines Gegenstandes Ladung aufzunehmen.
Für eine Kugel, die an Spannung angelegt wurde, und an der dann die Ladung gemessen wird gilt:
Q ∼ U, also const U
Q =
Die Kapazität C ist folgendermaßen definiert:
[ ] ( )
Farad V F
C C
U C Q
=
=
=
Coulomb’sches Gesetz
E ∼ Q (felderzeugende Ladung) E ∼ 12
r (Abstand)
Also lautet die Definition:
const 2
r
E = Q
