Ubungsblatt 6¨ Theoretische Physik IV WS 2006/07
Aufgabe 12 (Ehrenfest-Theorem) (3 Punkte)
Ein quantenmechanisches Teilchen bewegt sich unter dem Einfluß des Hamiltonians Hˆ = pˆ2
2m +V(ˆr) (1)
Zeige, daß der Erwartungswert des Orts- und Impulsoperators bez¨uglich eines beliebigen Zustands |ψ(t)i die folgenden Differentialgleichungen erf¨ullen:
d
dthˆri= hˆpi m
d
dthˆpi=hF(ˆr)i . (2) Dabei istF(r) = −∇V(r). F¨ur welche speziellen Potentiale gilt hF(ˆr)i=F(hri) ?
Aufgabe 13 (Spin-Pr¨azession) (4 Punkte)
Der Operator eines Spin-12 Teilchens der Ladungq im MagnetfeldBist ˆH =−mqSˆ·Bmit Sˆ = ¯h2σ. Gegeben ist die Basisˆ | ↑i und | ↓ider Eigenkets von ˆSz mit
Sˆz| ↑i= ¯h
2| ↑i, Sˆz| ↓i=−¯h
2| ↓i. (3)
In dieser Basis werden die Operatoren der Komponenten von ˆσ dargestellt durch die Pauli-Matrizen aus Aufgabe 8. Das Magnetfeld sei homogen inz-Richtung,B =B0ez mit konstantem B0 und dem Einheitsvektor ez inz-Richtung.
a) Bestimme die zeitliche Entwicklung des Zustands|α, t0;tif¨urt >0 wenn das System bei t0 = 0 im Zustand |α, t0;t0i=c↑| ↑i+c↓| ↓i ist!
b) Bestimme den zeitlichen Verlauf der Erwartungswerte von ˆSx, ˆSy und ˆSz f¨ur die Spezialf¨alle c↑ = 1 und c↓ = 0 sowie f¨ur c↑ =c↓ = √12 !
Aufgabe 11 (Virialsatz) (3 Punkte)
Gegeben seien die Eigenzust¨ande |ψi der (eindimensionalen) station¨aren Schr¨odinger- gleichung ˆH|ψi=E|ψi mit dem Hamiltonoperator ˆH = 2mpˆ2 +V(ˆx).
a) Zeige, daß f¨ur jeden Operator ˆA der Erwartungswerthψ|[ ˆH,A]|ψiˆ verschwindet!
b) Zeige, daß f¨ur Potentiale der Form V(ˆx) =V0xˆk mit V0, k∈R der Virialsatz gilt:
1
2mhψ|ˆp2|ψi= k
2hψ|V(ˆx)|ψi. (4)
(Hinweis: Verwende das Ergebnis aus a) f¨ur den Fall ˆA= ˆpˆx!) Abgabe: Mo. 27.11.06, 12:00 Uhr
