Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2010/11 09.02.2011
Name: ...
Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlung Statistik vom WS 10/11 in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter)
Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 18 16 14 17 18 17 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1 (18 Punkte)
(a) Betrachten Sie die folgende Abbildung. Markieren Sie, ob die angegebenen Aussagen jeweils zutreffen oder nicht, und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht. Eine Aussage, die aufgrund der Darstellung nicht einsch¨atzbar ist, gilt als falsch.
Abbildung: Kauf von Bio-Eiern vor und nach dem Dioxin-Skandal
1. 50% der Befragten haben nach eigener Angabe vor dem Dioxinskandal keine Bio- Eier gekauft. (3 Punkte)
Richtig Falsch Begr¨undung:
Auf Antwortkategorien C und D entfallen zusammen 50% der Antworten.
Das kann aus den Angaben nicht abgelesen werden.
Auf Antwortkategorien A und C entfallen zusammen 50% der Antworten.
2. Der Modus der Angaben liegt bei Antwortkategorie C. (3 Punkte) Richtig
Falsch Begr¨undung:
Antwortkategorie C liegt mit der eindeutig h¨ochsten relativen H¨aufigkeit vor.
Antwortkategorien B und C liegen mit der h¨ochsten relativen H¨aufigkeit vor.
Der Modus ist f¨ur ein nominal skaliertes Merkmal nicht bestimmbar.
3. Eine alternative graphische Darstellungsform f¨ur die oben gezeigten Daten ist das S¨aulendiagramm. (3 Punkte)
Richtig Falsch Begr¨undung:
F¨ur ein qualitatives, diskretes Merkmal wie das hier betrachtete ist ein S¨aulendiagramm geeignet.
F¨ur ein quantitatives, stetiges Merkmal wie das hier betrachtete ist ein S¨aulendiagramm geeignet.
F¨ur ein qualitatives, stetiges Merkmal wie das hier betrachtete ist ein S¨aulendiagramm geeignet.
(b) Das gezeigte Tortendiagramm folgt dem Prinzip der Fl¨achentreue nicht. Welche Aspek- te st¨oren die Fl¨achentreue? Begr¨unden Sie Ihre Antwort (Stichworte). (9 Punkte)
Aufgabe 2 (16 Punkte)
Nach dem Futtermittelskandal Ende 2010 / Anfang 2011 stellt sich f¨ur Landwirte verst¨arkt die Frage, ob sie auf ¨okologischen statt des bisherigen konventionellen Landbaus umstei- gen wollen. Ein Landwirt, der Milchk¨uhe hat, informiert sich ¨uber die Milchleistung von K¨uhen, die nach ¨okologischen Kriterien gehalten werden. In der folgenden Tabelle sind j¨ahr- liche Milchleistungen von jeweils 8 konventionell gehaltenen (Merkmal X) und 8 ¨okologisch gehaltenen (MerkmalY) Milchk¨uhen zusammengestellt (in kg / Jahr).
lfd. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8
Milchleistung konventionell (X) 8 500 8 350 8 100 8 650 8 780 8 520 8 430 8 470 Milchleistung ¨okologisch (Y) 6 800 6 940 7 420 5 880 5 960 6 770 7 030 7 200 (a) Bestimmen Sie f¨ur die konventionell und ¨okologisch gehaltenen K¨uhe jeweils die durch- schnittliche und die mediane Milchleistung. Angenommen, die hier dargestellten Er- gebnisse w¨aren verallgemeinerbar. Welche Art der Haltung lohnt sich dann nach die- sen Angaben aus Sicht eines Milchproduzenten eher und warum? Er¨ortern Sie kurz, was man bei der Argumentation eventuell zus¨atzlich bedenken sollte (Stichworte).
(10 Punkte)
(b) Bestimmen Sie zus¨atzlich die Streuung der Milchleistung (Standardabweichung) f¨ur jede Haltungsart. Was leiten Sie hieraus f¨ur einen Milchproduzenten ab? (6 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a) und (b) zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Verwenden Sie zur Berechnung die folgenden Hilfsgr¨oßen:
X8
i=1
x2i = 574 889 600,
X8
i=1
yi2= 366 649 800 Runden Sie ggf. auf vier Nachkommastellen.
Aufgabe 3 (14 Punkte)
Betrachtet man die landwirtschaftlichen Betriebe in Deutschland, so stellt man fest, dass der gr¨oßte Anteil eher kleinere Landfl¨achen bewirtschaftet. In der folgenden Tabelle ist die Verteilung der landwirtschaftlichen Betriebe auf die von ihnen genutzten Fl¨achen dargestellt (nach Zahlen des Statistischen Bundesamtes). Zu beachten ist, dass in der amtlichen Statistik nur Betriebe ab einer landwirtschaftlichen Nutzfl¨ache von 2 Hektar (ha) ausgewiesen werden.
Landwirtschaftlich Anzahl Betriebe genutzte Fl¨ache (in ha)
[2; 10) 148 000
[10; 30) 109 000
[30; 50) 52 000
[50; 100) 57 000
[100; 200) 34 000
(a) Beurteilen Sie die Konzentration der landwirtschaftlichen Betriebe in Bezug auf die be- wirtschafteten Fl¨achen anhand eines geeigneten relativen Konzentrationsmaßes.
(8 Punkte)
(b) In der unten dargestellten Abbildung finden Sie eine anhand der obigen Daten berech- nete Lorenzkurve. Die u-Koordinaten sind korrekt eingetragen. Pr¨ufen Sie, ob auch die v-Koordinaten korrekt sind (es reicht die mit Ablesen aus der Darstellung zu er- reichende Pr¨azision) und diese Lorenzkurve damit insgesamt korrekt bestimmt wurde.
(3 Punkte)
(c) Angenommen, die Lorenzkurve, die unten dargestellt ist, wurde f¨ur die Daten korrekt berechnet. Wie interpretieren Sie den Wert der Lorenzkurve an der Stelle u = 0.9 in Bezug auf die Betriebe mit der gr¨oßten genutzten Fl¨ache? (3 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen.
Abbildung: Lorenzkurve der landwirtschaftlichen Betriebe nach genutzter Fl¨ache
kumulierter Anteil Betriebe
kumulierter Anteil Fläche
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.20.40.60.81.0
F¨ur die Verk¨aufer von Bio-Lebensmitteln ist es wichtig, ihre Kundenstruktur zu kennen. Dazu haben einige Bio-Kaufh¨auser gemeinsam eine Studie in Auftrag gegeben, in der herausge- funden werden soll, welche soziodemographischen Merkmale K¨aufer von Bio-Lebensmitteln aufweisen. Ein Ergebnis dieser Studie ist in der unten stehenden Tabelle dargestellt. Gehen Sie bei der L¨osung der Aufgaben davon aus, dass man von dieser Befragung auf alle K¨aufer von Bio-Lebensmitteln hochrechnen darf.
Tabelle: Anzahl der K¨aufer von Bio-Lebensmitteln nach Alter und Familienstand Familienstand (Y)
Single, Single Partnerschaft, Partnerschaft kein Kind mit Kind(ern) kein Kind mit Kind(ern)
[18,30) 15 20 15 30
Alter (X) [30,50) 40 105 65 70
[50,65) 40 5 40 5
[65,100) 25 0 20 5
Erl¨auterung: “mit Kind(ern)” bezieht sich darauf, dass mindestens ein Kind im Haushalt lebt.
(a) Wenn man gezielt Werbung f¨ur Neuerungen im Bereich Bio-Lebensmittel betreiben m¨ochte, auf welche Altersklasse sollte eine solche Werbung ausgerichtet werden? Be- gr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung. (5 Punkte)
(b) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung des Familienstandes, gegeben die Altersklasse.
W¨urden Sie hieraus auf eine Abh¨angigkeit der beiden Merkmale schließen? Begr¨unden Sie Ihr Urteil. (12 Punkte)
Hinweis:
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.
Aufgabe 5 (18 Punkte)
Die Agrarmarkt Informations-Gesellschaft (AMI) beobachtet unter Anderem die Entwick- lungen auf dem Lebensmittelmarkt in Deutschland. F¨ur das Jahr 2009 liegen Daten zu den Ums¨atzen (in Mrd. Euro) und den abgesetzten Mengen (in 1 000 Tonnen) an Bio- Lebensmitteln (ohne Eier und Milch) f¨ur verschiedene Unternehmen vor. Diese Daten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Dabei ist zus¨atzlich ausgewiesen, ob es sich um Daten eines Discounters (D) oder eines Bio-Fachh¨andlers (F) handelt.
Unternehmen 1 2 3 4 5 6 7 8
abgesetzte Menge X (in 1 000 t) 2.80 2.52 2.74 2.67 2.55 2.65 2.68 2.51 Umsatz Y (in Mrd. Euro) 0.16 0.19 0.15 0.18 0.19 0.20 0.16 0.21
Typ D D D D D D D D
Unternehmen 9 10 11 12 13 14 15 16
abgesetzte Menge X (in 1 000 t) 2.46 2.58 2.80 2.76 2.66 2.79 2.54 2.77 Umsatz Y (in Mrd. Euro) 0.11 0.15 0.22 0.20 0.19 0.20 0.16 0.21
Typ F F F F F F F F
(a) Bestimmen Sie die Korrelation zwischen X und Y. Was stellen Sie ¨uber St¨arke und Richtung des linearen Zusammenhangs fest? Interpretieren Sie das Ergebnis auch in- haltlich. (9 Punkte)
(b) Warum stellt das Ergebnis aus (a) die Situation im Bio-Lebensmittelmarkt (ohne Eier und Milch) nicht angemessen dar? Begr¨unden Sie Ihre Ansicht stichwortartig. Bestim- men Sie die Korrelationswerte, die die Marktsituation besser widerspiegeln. Welcher Effekt ist bei der Berechnung in (a) aufgetreten? (9 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigte allgemeine Formel an. Runden Sie ggf. auf vier Nachkommastellen.
Nutzen Sie zur Berechnung die folgenden Hilfsgr¨oßen:
X16
i=1
xi = 42.48,
X16
i=1
x2i = 112.9842,
X16
i=1
yi = 2.88,
X16
i=1
yi2 = 0.5312,
X16
i=1
xi·yi = 7.6659
F¨ur Typ D: xD = 2.64, esx,D = 0.0985, yD = 0.18, sey,D = 0.02,
X8
i=1
xi·yi = 3.7888 F¨ur Typ F: xF = 2.67, sex,F = 0.1218, yF = 0.18, sey,F = 0.0346,
X16
i=9
xi·yi = 3.8771
Ein Lebensmitteleinzelh¨andler, der ausschließlich Milch, Eier, Fleisch, Brot und Obst ver- kauft, hat sein Angebot von Milch und Eiern aus konventioneller Tierhaltung auf Bio-Milch und Bio-Eier umgestellt. W¨ahrend er im Jahr 2009 noch beide Lebensmittel nur aus kon- ventioneller Produktion anbot, kamen 2010 Milch und Eier bei ihm ausschließlich aus Bio- Produktion. Der H¨andler hat in beiden Jahren aus seinem Warenwirtschaftssystem den Wa- renkorb des durchschnittlichen Kunden bei einem Einkauf errechnet. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Lebensmittel (Einheit) Menge 2009 Preis 2009 (Euro) Menge 2010 Preis 2010 (Euro)
Milch (Liter) 2 0.75 1.5 1.20
Eier (St¨uck) 10 0.19 10 0.35
Fleisch (kg) 1.2 4.50 1.3 4.80
Brot (kg) 1.5 2.00 2 1.80
Obst (kg) 1.8 1.80 2 1.90
(a) Als Kenngr¨oße f¨ur die Wert¨anderung des Warenkorbs hat der H¨andler einen Index berechnet. Seiner Rechnung nach hat sich der Wert des Warenkorbs um rund 15%
verteuert. Welchen Preisindex hat der H¨andler zur Berechnung herangezogen? Belegen Sie Ihr Urteil. (10 Punkte)
(b) Was k¨onnte man an der Berechnung des H¨andlers kritisch sehen? Begr¨unden Sie Ihr Urteil. Was w¨are eine m¨ogliche L¨osung des Problems? Geben Sie Ihre Antwort bitte in Stichworten. (7 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) die verwendeten allgemeinen Formeln an.
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf 4 Nachkommastellen.
