Dr. O.V.Kutovyi
Funktionentheorie
SS/09Prof. Dr. Yu.G.Kondratiev
Blatt VI
Abgabe bis sp¨atestens 29.05
Aufgabe 21 (4 Punkte)
Berechne unter Verwendung der Definition das Integral Z
γ
(z−z0)mdz, m ∈Z
wobei γ ein Quadrat mit Mittelpunkt z0 ist, dessen Achsen parallel zu den Ko- ordinatenachsen sind.
Aufgabe 22 (4 Punkte)
Die Funktion f sei stetig außerhalb des Kreises {z ∈ C||z − z| = r0}, z0 ∈ C, r0 > 0. Es bezeichne M(r) das Maximum von |f| auf der Menge aller z mit
|z−z0|=r > r0. Es gelte limr→∞rM(r) = 0. Zeige, daß dann auch
r→∞lim Z
γr
f(z)dz = 0, wobeiγr der Kreisbogen um z0 mit dem Radius r ist.
Aufgabe 23 (4 Punkte) Zeige, daß
z 7→ <z
keine Stammfunktion hat.
Aufgabe 24 (4 Punkte) Berechne die folgenden Integrale (i) R
γ(z+i)2dz, (ii) R
γzcos(z)dz, (iii) R
γzeiz2dz,
wobeiγ die halbe Ellipse ist, welche vonπ/2 durch 2πinach−π/2 f¨uhrt und die Hauptachsen auf den Koordinatenachsen hat.
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