Tutoriumsblatt 8 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 5.12.2018

Tutoriumsblatt 8 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Aufgabe 1:

Bestimme die σ−Algebra σ({{x} : x ∈ R}) auf R, die von allen einelementigen Teilmengen erzeugt wird.

Aufgabe 2:

Es sei (X,A, µ) ein Maßraum, n∈Nund A1, ..., An∈ Amitµ(A1)<∞, ..., µ(A_n)<∞. Zeige:

µ





n

[

j=1

Aj



=

n

X

k=1

(−1)^k+1 X

1≤j1<...<j_k≤n

µ

k

\

l=1

Ajl

! .

Aufgabe 3:

Es sei∅ 6=X eine endliche Menge. Zeige:

a) F¨ur das Z¨ahlmaß ν:P(X)→[0,∞[ und die Diracmaße δ_x gilt:

ν = X

x∈X

δx

b) Jedes Maßµ:P(X)→[0,∞] hat die Form

µ= X

x∈X

µ({x})δ_x.