Nr. am Schwarzen Brett und im WWW

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik

Pohst / Lusala

Probeklausur (Rechenteil) Lineare Algebra f¨ ur Ingenieure

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . . Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner Matr.–

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Ja / Nein

Unterschrift

Neben einem einseitig handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit 16 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindesten 5 von 20 Punkten erreicht werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer den vollst¨ andi- gen Rechenweg an. Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

1 2 3 4 P

Einsichtnahme– und Beschwerdem¨ oglichkeit:

1

http://www.math.tu-berlin.de/HM/LinAlg/Aktuell/ING/klausuren.html

Rechenaufgaben

1. Aufgabe (6 Punkte)

Sei

A =

1 − 1

− 1 1

.

(i) Berechnen Sie die Eigenwerte λ

, λ

von A.

(ii) Berechnen Sie Eigenvektoren ~ s

und ~ s

von A bzgl. λ

bzw. λ

. (iii) Sei S = (~ s

~ s

) und D =

2

. Berechnen Sie SDS

.

2. Aufgabe (7 Punkte)

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung



 



 



IR

−→ IR

a b

c d

7−→ a

b c

d

!

bzgl. der Basis

~ e

= (

) , ~ e

= (

) , ~ e

= (

) , ~ e

= (

) des IR

und der Basis

f ~

= (

) , ~ f

= (

) , ~ f

= (

) , f ~

= (

) , ~ f

= (

) , ~ f

= (

) , des IR

.

3. Aufgabe (7 Punkte)

Gegeben seien die Vektoren

~b

=

1 0

, ~b

=

1 1

, ~b

=

0 1

∈ IR

und die Matrix B = ( ~b

~b

~b

) =

1 1 0 0 1 1

.

(i) Bestimmen Sie den Rang von B und berechnen Sie det B.

(ii) Seien

~a

=

−30

, ~a

=

0 1

, ~a

=

2 3

.

Stellen Sie die Vektoren ~a

, ~a

, ~a

als Linearkombination der Vektoren ~b

,~b

,~b

dar.

(iii) Berechnen Sie B

A f¨ ur A = (~a

~a

~a

) =

−3 0 2 0 1 3

.

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik

Pohst / Lusala

Probeklausur (Verst¨ andnisteil) Lineare Algebra f¨ ur Ingenieure

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . . Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner Matr.–

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Ja / Nein

Unterschrift

Neben einem einseitig handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit 16 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindesten 5 von 20 Punkten erreicht werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Verst¨ andnisaufgaben, sie sollten ohne großen Rechen- aufwand mit den Kenntnissen aus der Vorlesung l¨ osbar sein. Geben Sie immer eine kurze Begr¨ undung an. Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

1 2 3 4 P

Einsichtnahme– und Beschwerdem¨ oglichkeit:

2

http://www.math.tu-berlin.de/HM/LinAlg/Aktuell/ING/klausuren.html

Verst¨ andnisaufgaben

1. Aufgabe (5 Punkte)

Seien ~ v, ~ w zwei orthonormierte Vektoren aus dem IR

. ¨ Uberpr¨ ufen Sie anhand der Defi- nition, daß

B := { ~ v, ~ w, ~ v × w ~ } eine Orthonormalbasis des IR

ist.

2. Aufgabe (5 Punkte)

Sind die folgenden Teilmengen des Vektorraumes IR

Untervektorr¨ aume?

(Zutreffendes bitte ankreuzen.)

ja nein

U

:= { ~ x = (

) | x

= 0 } U

:= { ~ x = (

) | x

x

= 0 } U

:= { ~ x = (

) | x

+ x

= 0 } U

:= { ~ x = (

) | x

+ x

= 0 } U

:= { ~ x = (

) | x

+ x

= 1 }

3. Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten wir den Vektorraum IR

der (2 × 2)–Matrizen V = { (

) | a, b, c, d ∈ IR } und darin den Untervektorraum der Dreiecksmatrizen

D = { (

) | a, b, d ∈ IR } ⊂ V . Wie groß ist die Dimension von D?

4. Aufgabe (6 Punkte)

Sei ~a ∈ IR

, ~a =



 a

a

a



 6 = ~ 0 ein Vektor. Betrachten wir die lineare Abbildung L : IR

−→ IR

,

~

x 7−→ ~a × ~ x .

(i) Verifizieren Sie, daß L bzgl. der Standarbasis die Darstellungsmatrix A

=





0 − a

a

a

0 − a

− a

a

0





besitzt.

(ii) Bestimmen Sie die Terme ~a

L(~ x) und ~ x

L(~ x).

(iii) Besitzt die Gleichung A

~ x = ~a eine L¨ osung?

(iv) Bestimmen Sie die Dimension des Kerns von L und den Rang von A

.