Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

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Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis

Ubungsblatt 3 ¨

Abgabetermin Mittwoch, den 21.11.2018 vor der Vorlesung.

1. (a) Bestimmen Sie f¨ ur n = 1009 die Bin¨ ardarstellung φ

⁻¹_2,16

(n) in 16 Stellen.

(b) Schreiben Sie ein Programm, das f¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n ∈ N die Bin¨ ardarstellung φ

⁻¹_2,r

(n) f¨ ur geeignetes r ∈ N bestimmt.

2. Seien a, b ∈ {0, 1}

^r

Bin¨ arzahlen in r Bits.

(a) Beschreiben Sie ein Verfahren, das aus a und b die Summe bestimmt, d.h. f¨ ur minimal m¨ ogliches s ein c ∈ {0, 1}

^s

mit

φ

_2,s

(c) = φ

_2,r

(a) + φ

_2,r

(b).

(b) Implementieren Sie Ihren Algorithmus und erproben Sie ihn an Beispielen.

3. Betrachten Sie die Menge M = R

²

\ {(0, 0)} aller Punkte der reellen Ebene ohne den 0- Punkt. Wir definieren eine ¨ Aquivalenzrelation auf M × M durch (x, y) ∼ (x

⁰

, y

⁰

) genau dann, wenn es eine Gerade durch den Nullpunkt (0, 0) ∈ R

²

gibt, auf der sowohl der Punkt (x, y) als auch der Punkt (x

⁰

, y

⁰

) liegt.

(a) Zeigen Sie, dass durch ∼ eine ¨ Aquivalenzrelation gegeben ist.

(b) Finden Sie eine geometrische Darstellung der Menge der ¨ Aquivalenzklassen M/ ∼, indem Sie in jeder ¨ Aquivalenzklasse einen geeigneten Repr¨ asentanten in M w¨ ahlen.

Hinweis: Sie k¨ onnen Aufgabenteil (b) auch zeichnerisch l¨ osen.

4. Auf M = Z × ( Z \{0}) ist durch

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a · d = b · c

eine ¨ Aquivalenzrelation gegeben. Zeigen Sie, dass die Verkn¨ upfungen Addition und Mul- tiplikation

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]

auf Q = M/ ∼ wohldefiniert, assoziativ, kommutativ und distributiv sind.

(2)

5. (4 Zusatzpunkte) Seien die Zahlen 1, ..., 101 in irgendeiner Reihenfolge gegeben. Zeigen Sie, dass 11 davon aufsteigend oder absteigend sortiert sind.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ ur jedes Element der Zahlenfolge die L¨ angen der dort beginnen- den aufsteigenden bzw. absteigenden Teilfolgen, und verwenden Sie das Schubfachprinzip.

Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis

Ubungsblatt 3 ¨

Abgabetermin Mittwoch, den 21.11.2018 vor der Vorlesung.

1. (a) Bestimmen Sie f¨ ur n = 1009 die Bin¨ ardarstellung φ

(n) in 16 Stellen.

(b) Schreiben Sie ein Programm, das f¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n ∈ N die Bin¨ ardarstellung φ

(n) f¨ ur geeignetes r ∈ N bestimmt.

2. Seien a, b ∈ {0, 1}

Bin¨ arzahlen in r Bits.

(a) Beschreiben Sie ein Verfahren, das aus a und b die Summe bestimmt, d.h. f¨ ur minimal m¨ ogliches s ein c ∈ {0, 1}

mit

φ

(c) = φ

(a) + φ

(b).

(b) Implementieren Sie Ihren Algorithmus und erproben Sie ihn an Beispielen.

3. Betrachten Sie die Menge M = R

\ {(0, 0)} aller Punkte der reellen Ebene ohne den 0- Punkt. Wir definieren eine ¨ Aquivalenzrelation auf M × M durch (x, y) ∼ (x

, y

) genau dann, wenn es eine Gerade durch den Nullpunkt (0, 0) ∈ R

gibt, auf der sowohl der Punkt (x, y) als auch der Punkt (x

, y

) liegt.

(a) Zeigen Sie, dass durch ∼ eine ¨ Aquivalenzrelation gegeben ist.

(b) Finden Sie eine geometrische Darstellung der Menge der ¨ Aquivalenzklassen M/ ∼, indem Sie in jeder ¨ Aquivalenzklasse einen geeigneten Repr¨ asentanten in M w¨ ahlen.

Hinweis: Sie k¨ onnen Aufgabenteil (b) auch zeichnerisch l¨ osen.

4. Auf M = Z × ( Z \{0}) ist durch

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a · d = b · c

eine ¨ Aquivalenzrelation gegeben. Zeigen Sie, dass die Verkn¨ upfungen Addition und Mul- tiplikation

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]

auf Q = M/ ∼ wohldefiniert, assoziativ, kommutativ und distributiv sind.

5. (4 Zusatzpunkte) Seien die Zahlen 1, ..., 101 in irgendeiner Reihenfolge gegeben. Zeigen Sie, dass 11 davon aufsteigend oder absteigend sortiert sind.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ ur jedes Element der Zahlenfolge die L¨ angen der dort beginnen- den aufsteigenden bzw. absteigenden Teilfolgen, und verwenden Sie das Schubfachprinzip.

Beachten Sie, dass nicht gefordert ist, dass die 11 Zahlen direkt aufeinanderfolgen.

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