Simpliziale Approximation

(1)

Topologische Invarianz der Homologie

Simpliziale Approximation

15.1 Definition. Es seiKein Simplizialkomplex undv∈V(K). Wir nennen den Unterkomplex

stv:={σ: Es existiertτ ∈ Kmitv∈τ ⊃σ}

den abgeschlossenen Stern von v, den Unterkomplex lkv:=σ∈stv:v /∈σ

den Link von v und die Teilmenge stv:=|stv| \ |lkv| ⊂ |K|

den offenen Stern von v.

15.2 Lemma. Es seiK ein Simplizialkomplex und u0, . . . , ur ∈V(K). Dann gilt

r

\

k=0

stuk6= Ø ⇐⇒ {u₀, . . . , ur} ∈ K.

15.3 Definition und Proposition. Es seien K,L Simplizialkomplexe und h:|K| → |L| eine stetige Abbildung.

Eine simpliziale Approximation vonhist eine Funktionf:V(K)→V(L), so dass

h[stv]⊂stf(v) für alle v∈V(S).

Eine solche Abbildung f ist automatisch simplizial. Mehr noch, ist g ei- ne weitere simpliziale Approximation von h, so sind f und g benachbart (contiguous), das heißt für alle σ∈ K ist f[σ]∪g[σ]∈ L.

1

(2)

2 15. Topologische Invarianz der Homologie

Beweis. Es seienf,g simpliziale Approximationen vonh undσ ∈ K. Dann ist

\

v∈σ

stf(v)∩ ^\

v∈σ

stg(v)⊃ ^\

v∈σ

h[stv]∩ ^\

v∈σ

h[stv]⊃h

"

\

v∈σ

stv

# 6= Ø, alsof[σ]∪g[σ]∈ L. Dabei haben wir das vorhergehende Lemma verwendet.

15.4 Proposition. Ist K ein Simplizialkomplex, so ist id_K eine simpliziale

Approximation von id_|K|.

15.5 Proposition. SindK,L,MSimplizialkomplexe,h:|K| → |L|,k:|L| →

|M|stetige Abbildungen mit simplizialen Approximationen f:K → L und g:L → M, so ist g◦f simpliziale Approximation von k◦h.

Beweis. Sei v ∈ V(K), dann ist (k◦ h)[stv] = k[h[stv]] ⊂ k[stf(v)] ⊂

stg(f(v)) = st(g◦f)(v).

15.6 Proposition. Es seienf, g:K → Lzwei benachbarte simpliziale Ab- bildungen. Dann ist C(f˜ )'C(g)˜ und C(f)'C(g).

Beweis. Bevor wir die Kettenhomotopie definieren, führen wir ein tech- nisches Hilfsmittel ein. Wir definieren Dk als den freien R-Modul mit Basis {(u₀, . . . , u_k) : {u₀, . . . , u_k} ∈ L} und machen diese Moduln durch d(u₀, . . . , u_k) =^P_i(−1)ⁱ(u₀, . . . ,u_b_i, . . . , u_k) zu einem Kettenkomplex. Man prüft nun nach, dass

γ_k:D_k→C˜_k(L) (u0, . . . , u_k)→

(hu₀, . . . , u_ki, u_i 6=u_j füri6=j,

0, sonst

eine Kettenabbildung definiert. Dazu ist nur nachzuprüfen, dass sich für ui =uj,i < j,

γk−1(dhu₀, . . . , u_ki) =

= (−1)ⁱγk−1(u0, . . . ,u_bi, . . . , uk) + (−1)^jγk−1(u0, . . . ,_cuj, . . . , uk) = 0 ergibt, da die beiden auftretendenk-Tupel bis auf Reihenfolge gleich sind, und die Permutation, die eines in das andere überführt, Komposition von j−i−1 Transpositionen ist (entsprechend den Einträgen zwischenui und u_j) und daher Signum (−1)^j−1−1 hat. Wir wählen nun eine totale Ordnung aufV(K) und definieren

K_k: ˜C(K)→D_k+1 hv₀, . . . , v_ki 7→

k

X

i=0

(−1)ⁱ(f(v₀), . . . , f(v_i), g(v_i), . . . , g(v_k)),

v₀< v₁<· · ·< v_k.

(3)

Eine Rechnung (Übung!) ergibt nun fürv₀ <· · ·< v_k Kk−1(d_khv₀, . . . , v_ki) +d_k+1(K_k(hv₀, . . . , v_ki)) =

=−(f(v₀), . . . , f(v_k)) + (g(v₀), . . . , g(v_k)), also γKd+dγK = γ ◦(Kd+dK) = −C(f) + ˜˜ C(g), also ist γ ◦K eine Kettenhomotopie von ˜C(f) nach ˜C(g). DaK−1 = 0, ergibt dies ebenso eine

Kettenhomotopie vonC(f) nachC(g).

Unterteilungen

15.7 Definition (Baryzentrische Unterteilung). Es sei K ein abstrakter Simplizialkomplex. Wir definieren einen weiteren Simplizialkomplex

sdK:={C ⊂ K \ {Ø}:C endlich, für alle τ, σ∈C ist σ ⊂τ oder τ ⊂σ }, diebaryzentrische Unterteilung von K.

Es ist also V(sdS) = S \ {Ø}. Wir wollen die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mit den Baryzentern (Schwerpunkten) der Simplexe des urpsrünglichen Komplexes identifizieren.

15.8 Definition. Für einen SimplizialkomplexS undτ ={v₀, . . . , v_k} ∈ S,

|τ|=k+ 1>0, definieren wir dasBaryzentrum

bτ :=

k

X

j=0

1

n+ 1v∈ |S|

von τ.

15.9 Definition und Proposition. Es sei S ein Simplizialkomplex. Dann definiert

β:|sdS| → |S|

X

i

λ_iτ_i7→^X

i

λ_ib_τ_i

einen Homöomorphismus.

Beweis. Die Abbildung ist so zu verstehen, dass die linke Seite einen Punkt in dem Simplex{τ_i} ∈sdS mit affinen Koordinaten (λi) bezeichnet. Es ist dann^S_iτi ein Simplex vonS und jedes derbτi ein Punkt in diesem Simplex.

Damit ist auf jedem Simplex von sdSeine stetige Abbildung definiert. Da das Weglassen eines Summandenλibτi mit λi = 0 die rechte Seite nicht ändert, passen diese Abbildungen zusammen und definieren eine stetige Abbildung β:|sdS| → |S|. Wir zeigen nun, dass diese bijektiv ist.

(4)

Wir legen eine totale Ordnung auf V(S) fest. Dann hat jeder Punkt x∈ |sdS|eine eindeutige Darstellung

x=

r

X

i=0

λ_iσ_i

σ_i ={v₀, . . . , v_i},λ_r 6= 0 undv_i < v_i+1 fallsλ_i = 0. Für diesen ist dann β(x) =

r

X

i=0

λ_ib_σ_i =

r

X

i=0

λ_i

i

X

j=0

1 1 +iv_j =

r

X

j=0 r

X

i=j

λ_i i+ 1v_j =

r

X

j=0

µ_jv_j

mit

µj :=

r

X

i=j

λi

i+ 1.

Dabei ist dannµr 6= 0,µi ≥µi+1 undµi=µi+1 ⇐⇒ λi= 0. Andererseits hat aber jeder Punkty∈ |S|eine eindeutige Darstellung

y=

r

X

i=0

µ_iv_i

mitµ₀ ≥µ₁ ≥ · · · ≥µ_r>0 undu_i < u_i+1 falls µ_i =µ_i+1. Da sich aus den µi dieλi vermöge

λ_r= (r+ 1)µ_r, λ_j = (j+ 1)(µ_j−µ_j+1), 0≤j < r.

zurückgewinnen lassen, istβ eine Bijektion. Man beachte, dass sich aus dieser Rechnung auch ergibt, dass dann

r

X

i=0

λi =

r

X

i=0

λi i

X

j=0

1 1 +i=

r

X

j=0 r

X

i=j

λi

i+ 1 =

r

X

j=0

µj.

Um zu zeigen, dassβ ein Homöomorphismus ist, zeigen wir, dass für eine abgeschlossene MengeA⊂ |sdS|auchβ[A]⊂ |S|abgeschlossen ist. Nun ist der für einen Simplexτ aus S der vonβ[A] mit diesem Simplexβ[A]∩ |τ|= S

σβ[A∩ |σ|], wobeiσ die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung von σ durchläuft. Dies ist eine endliche Vereinigung und jede der MengenA∩ |σ|

kompakt, also ist β[A]∩ |τ| als endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt und damit abgeschlossen. Also istβ[A] abgeschlossen.

15.10 Definition. Für total geordnetes V(K) definieren wir m:V(sdK)→V(K)

τ 7→minτ.

15.11 Proposition. Die Abbildung m ist eine simpliziale Approximation von β.

(5)

Beweis. Es sei τ ∈ V(sdS) und x ∈ stτ. Das heißt, x = ^P^k_i=0λ_iσ_i mit P

iλi = 1,λi >0 für alle i, σi∈V(sdS),σ0 ⊂ · · · ⊂σk, und es existiert ein j mitτ =σj. Dann ist

β(x) =

k

X

i=0

λibσi =

k

X

i=0

λi

X

v∈σ_i

1

#σi

v =

= ^X

v∈σk



 X

i:v∈σi

λi

#σ_i



v∈stv für alle v∈σ_k,

insbesondereβ(x)∈st(m(τ)).

15.12 Notation. Ist {u₀, . . . , uk}eink-Simplex in K und{v, u₀, . . . , uk} ∈ K, so setzen wir

v∗ hu₀, . . . , u_ki:=

(hv, u₀, . . . , u_ki, v6=ui f.a. i,

0, sonst

und setzen dies für c∈C˜k(K) linear zuv∗c fort, sofern alle Summanden definiert sind.

Wie schon früher bemerken wir:

15.13 Lemma. Mit dieser Notation gilt d(v∗c) =c−v∗dc.

15.14 Definition und Proposition. Es sei K ein abstrakter Simplizial- komplex. Durch s−1hi=hiund

s_k: ˜C_k(S)→C˜_k(sdS), τ 7→bτ∗sk−1(d_kτ), wird eine Kettenabbildungs: ˜C(K)→C(sd˜ K) definiert.

Beweis.

In dieser Situation stellen wir nun fest:

15.15 Proposition. Es ist C(m)˜ ◦s= id_C(K)_˜ .

Beweis.

15.16 Proposition. Es ist s◦C(m)˜ 'id_C(sd_˜ _K) und s◦C(m)'id_C(sd_K).

Beweis.

Der simpliziale Approximationssatz

15.17 Satz. Es seienK,L Simplizialkomplexe,K endlich, undh:|K| → |L|

eine stetige Abbildung. Dann existieren ein k ≥ 0 und eine simpliziale Approximation f: sd^kK → L von h◦β^k.

(6)

Funktorialität bezüglich stetiger Abbildungen

15.18 Definition. Es seienK,LSimplizialkomplexe,Kendlich, undh:|K| →

|L|eine stetige Abbildung. Dann definieren wir H(h) : H(K)→H(L) durch

H(h) :=H(f)◦H(s^k),

wobeif: sd^kK → L eine simpliziale Approximation vonh◦β^k ist.

15.19 Satz. H(h) ist wohldefiniert, H(id) = id, H(k◦h) =H(k)◦H(h).

Auch für nicht endliches K.

15.20 Korollar. Isth:K → Lein Homöomorphismus, so istH(h) :H(K)−→^∼⁼ H(L) ein Isomorphismus.

Eine erste Anwendung

15.21 Proposition. Sⁿ⁻¹ ist kein Retrakt vonDⁿ.

Beweis. Wir gehen wie bei Proposition 4.1, dem Fall n= 2, vor, nur dass wir Homologie an Stelle der Fundamentalgruppe benutzen.

Wir ersetzen das Paar (Dⁿ,Sⁿ⁻¹) durch das homöomorphe Paar (|∆ⁿ|,|d∆ⁿ|), das heißt, wir benutzen diese Triangulierung desn-Balls. Seii:|d∆ⁿ| → |∆ⁿ| die Inklusionsabbildung, und r: |∆ⁿ| → |d∆ⁿ| eine Retraktionsabbildung, alsor◦i= id. Das heißt, dass das Diagramm von Räumen

|d∆ⁿ| ⁱ ^//

id|d∆n| ##

|∆ⁿ|

r

|d∆ⁿ|

kommutiert. Mit Satz 15.19 erhalten wir daraus fürk∈Zdas kommutative Diagramm

H˜_k(d∆ⁿ) ^H^˜^k⁽ⁱ⁾ ^//

idHk˜ (d∆m) ((

H˜_k(∆ⁿ)

H˜k(r)

˜

H_k(d∆ⁿ).

Da ˜H_k(Dⁿ) = 0, ist die Komposition ˜H_k(r)◦H˜_k(i) = id_H_˜

k(d∆ⁿ) trivial. Für k=n−1 ergibt sich ein Widerspruch zu ˜Hn−1(d∆ⁿ)∼=R.

15.22 Satz (Brouwerscher Fixpunktsatz). Für n≥0 hat jede stetige Abbil- dungf:Dⁿ→Dⁿ einen Fixpunkt.

(7)

Beweis. Wie für Satz 4.2, den Fall n= 2.