Erzeugung synthetischer Abflußdaten mit Hilfe eines zeit- und raumvarianten Modells im Einzugsgebiet der Lahn — erdkunde

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Erdkunde 92 Band 2911975

Edremit-Giire (Tiirkei). In: Der Tropenlandwirt 71, 1970, S. 137-161.

Wagner, G.: Die Bodenabtragung im Wandlungsprozefi der Kulturlandschaft. In: Ber. z. dt. Landeskunde 35, 1965, S.91-111.

Walter, H.: Das Problem der Zentralanatolischen Steppe.

In: Die Naturwissenschaften 43, 1956, S. 97-102.

Weitzenberg, H.: Praktischer Umweltschutz zur Kontrolle der Bodenerosion in den Landbau- und Weide-Gebieten der tropischen und subtropischen Zonen. In: Der Tropen

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Wendt, C. W., Olsen, T. C., Haas, H. J. & Willis, W. O.:

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ERZEUGUNG SYNTHETISCHER ABFLUSSDATEN MIT HILFE EINES ZEIT- UND RAUMVARIANTEN MODELLS IM EINZUGSGEBIET DER LAHN

Mit 6 Textabbildungen, 1 Beilage (V) und 4 Tabellen

Ulrich Streit

Summary: The generation of synthetic runoff data by a time- and space-varying model for the Lahn river catchment.

A time- and space-varying model for generation synthetic monthly streamflow series of any length is constructed

based on a sample of drainage basins in the Lahn river catchment. A first order autoregressive model (Markov model) including a seasonal component is used as the time

dependent generating scheme. If there exist runoff obser vation for the drainage basin in question, the parameters of the markov-model (monthly means, standard devia tions and correlation coefficients) may be computed from this data. Otherwise a space-varying extension is needed:

Approximation of the above mentioned statistics by Fourier-analysis results in Fourier-coefficients which are estimated by a few regression equations using physiographic basin characteristics (e.g. mean annual precipitation, for

ested area) as input data. Examples are discussed to point out qualifications and limitations of the model and to demonstrate application of synthetic streamflow series to design of water supply reservoirs.

Die wachsenden Ansprtiche von Bevolkerung und

Wirtschaft hinsichtlich der Versorgung mit Trink- und

Brauchwasser stellen die wasserwirtschaftliche Planung

vor die Aufgabe der bestmoglichen Nutzung aller vor

handenen Wasservorrate; dabei kommt der Gewin nung von Oberflachenwasser aus den Fliefigewassern eine wachsende Bedeutung zu. Eine optimale Nut

zungsplanung und Bewirtschaftung der Gewasser ist nur auf der Basis von Mefidaten ausreichender Quali tat und Quantitat durchfiihrbar; neben Beobachtungs werten fiir die Wassergiite sind dabei vor allem Ab

flufidaten zur Erfassung des natiirlichen Wasserdar

gebotes der Fliefigewasser in zeitlicher und raumlicher Dimension notwendig. Wahrend eine Verbesserung der

Datenqualitat vor allem durch Verfeinerung der Mefi

und Obertragungstechniken erreicht werden kann (dies liegt in der Regel jedoch aufierhalb der Moglichkeiten des mit Planungsaufgaben beschaftigten Hydrologen),

erscheint eine Steigerung der Datenquantitat zunachst nur durch Vermehrung der Beobachtungsstationen und Ausdehnung des Beobachtungszeitraumes moglich.

Die folgenden Ausfuhrungen beschaftigen sich fiir den Fall monatlicher Abflufihohen mit der Frage, in

wieweit derartige Daten mit Hilfe zeit- und raum varianter Modelle kiinstlich erzeugt und damit theore

tisch beliebig vermehrt werden konnen. Solch einem Modell wird selbstverstandlich nur dann eine prakti

sche Bedeutung zukommen, wenn es in der Lage ist, synthetische Daten so zu generieren, dafi sie in wich

tigen charakteristischen Eigenschaften mit tatsachlich

gemessenen bzw. mefibaren Daten weitgehend iiber einstimmen. Diese notwendige Anpassung des Mo

dells an die natiirlichen Verhaltnisse ist nur auf der

Basis existierender Mefiwerte moglich, deren Infor

mationsgehalt extrahiert und auf das Modell iiber

tragen werden mufi. Kiinstlich erzeugte Daten solcher Art ergeben damit keinen realen Informationsgewinn

gegeniiber den zur Modelleichung verwendeten Be obachtungsdaten; sie stellen im engeren Sinne auch

keine Prognose des zukiinftigen Abflufiverhaltens dar.

Ihr Nutzen ergibt sich aus der Moglichkeit, Daten serien beliebiger Lange und Anzahl fiir einen gegebe

nen Ort oder Raum zu generieren: Ist namlich das Verteilungsgesetz der interessierenden Variablen be

kannt oder als Hypothese formuliert, so lassen sich

lange Datenreihen erzeugen, in deren Verlauf relative Minima und Maxima sowie Extremwertabfolgen er

scheinen, die wahrend der meist kurzen Beobachtungs

periode wegen ihrer geringen Eintrittswahrscheinlich keit zufallig nicht aufgetreten sind. Damit eignen sich

synthetisch erzeugte Daten vorzugsweise zur Simula tion natiirlicher oder anthropogen gesteuerter Systeme

und der sich darin vollziehenden Prozesse. An zwei Beispielen soil dies fiir den hier untersuchten Fall mo natlicher Abflufihohen in Fliefigewassern verdeutlicht

werden.

(2)

Ulrich Streit: Erzeugung synthetischer Abflufidaten im Einzugsgebiet der Lahn 93

Die Forderung uferfiltrierten Grundwassers ist we

gen der starken Wechselwirkung zwischen Flufi und

Grundwasserkorper im ufernahen Bereich eng an den

Abflufi im Vorfluter gebunden; zur wirklichkeits aquivalenten Nachahmung der sich dabei abspielenden

Sickerungs- und Stromungsvorgange in einem Grund wassermodell mussen daher Abflufireihen als wesent

licher Teil des Modellinputs zur Verfiigung stehen.

Sind keine Beobachtungsdaten fiir den untersuchten Flufiabschnitt vorhanden bzw. erweisen sich beobach

tete Abflufireihen als liickenhaft oder zu kurz (etwa

zur Nachahmung von Langzeiteffekten), so konnen

mit Erfolg synthetisch erzeugte Abflufidaten verwen

det werden.

Als zweites Beispiel sei die Bemessung von Ver

sorgungsspeichern genannt. Bei vorgegebener Betriebs

dauer und Speicherabgabe stellt sich hier das Problem einer Bestimmung der optimalen Speichergrofie, wobei

der Versorgungsspeicher aus Kostengriinden moglichst

klein, jedoch zur Aufrechterhaltung der Funktion auch

in Trockenperioden ausreichend grofi zu bemessen ist.

Dabei ist zu beachten, dafi der Abflufivorgang einen zufallsbeeinflufiten Prozefi darstellt, so dafi die Anga be der optimalen Speichergrofie sinnvollerweise mit

einer Versagenswahrscheinlichkeit zu koppeln ist. Da

in synthetischen Abflufireihen auch solche Trocken

und Feuchtperioden verschiedener Lange und Inten

sitat auftreten, die zufallig nicht durch den Beobach tungszeitraum erfafit sind, jedoch eine gewisse Ereig niswahrscheinlichkeit haben, erlaubt die Verwendung kiinstlich erzeugter Daten (ggf. auch anstelle der Be

obachtungswerte) eine praxisnahe Losung dieses Opti

mierungsproblems (vgl. Schultz, 1973, 175ff.). In einem Anwendungsbeispiel fiir das hier diskutierte Modell wird auf diese Methode zur Bemessung von

Versorgungsspeichern naher eingegangen.

Die Konstruktion des zeit- und raumvarianten Mo

dells zur Erzeugung synthetischer Abflufireihen beruht auf folgenden Grundgedanken: Der Abflufivorgang im

natiirlichen Fliefigewasser stellt einen zeitvarianten

kontinuierlichen Prozefi praktisch unbeschrankter Dauer dar; er kann jedoch nur in zeitlich begrenzten Intervallen als sog. Zeitreihe beobachtet werden, die im statistischen Sinne als Stichprobe aus diesem Prozefi

anzusehen ist. Bei der Analyse solcher Zeitreihen ist zur Verringerung des numerischen Aufwandes in der Regel eine Diskretisierung durch Zusammenfassung

zu grofieren Zeitreiheneinheiten sinnvoll; im vorlie

genden Fall werden monatliche Abflufihohen (mm) zugrunde gelegt. Die Erzeugung kiinstlicher Zeitreihen

erfordert einen geeigneten zeitvarianten Modellansatz,

der die charakteristischen Eigenschaften des Prozesses

hinreichend genau wiederzugeben vermag. Die not

wendige Anpassung des Zeitreihenmodells an die Ab flufiverhaltnisse eines speziellen Flufigebietes kann durch Fixierung von Modellparametern erfolgen. Liegt fiir das betreffende Gebiet eine beobachtete Abflufi

reihe ausreichender Gute vor, so geschieht die Para

meterbestimmung in einfacher Weise durch Berechnung

gewisser statistischer Kennwerte aus den Beobach tungsdaten. Fiir Einzugsgebiete mit liickenhaften, un

zuverlassigen, kurzfristigen oder nicht existenten Be obachtungswerten ist dagegen eine Erweiterung des Zeitreihenmodells durch einen raumvarianten Ansatz notwendig. Da der an einem bestimmten Mefiquer

schnitt im Fliefigewasser beobachtbare Abflufivorgang durch die naturraumliche Ausstattung (einschliefilich der hydrometeorologischen Verhaltnisse) des zugehori gen Einzugsgebietes gesteuert wird, ist eine mehr oder

minder enge Korrelation zwischen den Einzugsgebiets charakteristika und den Parametern des Zeitreihen

modells zu vermuten. Auf der Basis einer Stichprobe verschiedenartiger Flufigebiete lassen sich daher mit Hilfe geeigneter statistischer Verfahren Schatzglei

chungen fiir die Modellparameter aufstellen. Auf diese

Weise kann der zeitvariante Modellansatz variieren den raumlichen Gegebenheiten angepafit werden, wo

bei als Bezugsbasis das jeweilige Einzugsgebiet gilt.

Das Modell basiert auf einer Stichprobe von 21 Ein zugsgebieten aus dem Flufigebiet der Lahn (vgl. Abb. 1

[Beil. V] und Tab. 1); sie sind so ausgewahlt, dafi min destens lOjahrige Abflufimessungen (hydrologische

Jahre) existieren und keine starke Beeinflussung durch wasserbauliche Mafinahmen auftritt. Die Grofie dieser Einzugsgebiete liegt zwischen 10 und 450 km2. Der

gewahlte Untersuchungsraum umfafit sowohl Teile

des palaozoischen Mittelgebirgsrumpfes (Hintertaunus,

Rheinisches Schiefergebirge), Buntsandsteingebiete des

Nordhessischen Berglandes und quartar-vulkanisch

gepragte Regionen (Vogelsberg, Westerwald) als auch

die mit jungtertiaren und quartaren Sedimenten aus

gefiillten Becken von Limburg und Giefien; die klima tische Differenzierung reicht von den feucht-kiihlen Mittelgebirgslagen bis zu den warmeren und relativ

trockenen Becken. Eine ausreichende naturraumliche

Variabilitat der untersuchten Einzugsgebiete ist somit gesichert, was der Anwendbarkeit des Modells zugute

kommt.

1. Der zeitvariante Modellansatz

Da die Zahi der moglichen Einflufigrofien auf die Entstehung des Abflusses im Fliefigewasser fast uniiber

schaubar grofi ist und ihr Zusammenwirken nach z. T.

noch nicht bekannten Gesetzmafiigkeiten erfolgt, er

scheint es gerechtfertigt, den Abflufivorgang als einen

stochastischen Prozefi anzusehen, dessen Realisationen vom Zufall mitbestimmt werden. Diese Auffassung

vom zufallsbeeinflufiten Abflufiprozefi bedeutet nicht zwangslaufig die Negation einer vollstandigen Deter miniertheit des Naturgeschehens; sie stellt vielmehr

ein fiir die quantitative Bearbeitung sinnvolles Axiom

dar.

Zur Analyse, Prognose und Synthese solcher sto

chastischer Prozesse wird zumeist von der Hypothese ausgegangen, dafi sich der Gesamtprozefi durch addi

tive Uberlagerung mehrerer Komponenten darstellen

lafit; diese werden jeweils unterschiedlichen Ursachen

komplexen zugeordnet: So verursacht der jahreszeit

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Erdkunde 94 Band 29/1975

Tabelle 1: Untersuchte Einzugsgebiete; Matrix der Inputdaten Researched river basins; matrix of input data

Kenn- Pegelname Gewasser Beob.jahre FN NJAHR NWISO TEMP BODEN WALD

zeich. fiir AbfluB

_(bis 1972) (km*)

(mm)_(?C) (%) (%) A Freienseen Seenbach 15 11,0 945 0,93 19 59 7,6

B Oberkleen Kleebach 16 23,5 728 0,85 26 53 8,3

C Feudingen Lahn 23 25,0 1101 1,13 1 72 6,8

D Lohnberg Kallenbach 12 53,9 931 1,07 2 46 8,4

E Dill Haiger 15 63,0 1014 1,07 1 63 7,6 F Rod a. d. Weil Weil 21 77,1 875 0,82 16 58 7,6 G Etzelmuhle Salzbode 13 81,2 847 0,99 8,2 16 42

H Bonbaden Solmsbach 13 98,6 761 0,88 18 56 8,4

I Wieseck GieBen 20 100,0 734 0,81 39 29 8,5

K Gemunden Wohra 13 101,8 754 0,91 48 53 7,9

L Lumda Lollar 12 128,9 746 0,83 43 35 8,3 M Herbornseelbach Aar (Dill) 17 135,5 809 0,94 13 43 8,1

N

Michelbach Aar 12 143,7 774 0,87 26 49 8,1

O Schulmuhle Muhlbach 16 145,0 718 0,80 41 34 8,2

P Essershausen Weil 22 206,2 817 0,80 22 47 8,1

Q Weinahr Gelbach 17 215,0 907 0,91 36 38 8,4

R Dillenburg Dill 21 250,8 982 1,06 4 50 7,6

S Biedenkopf Lahn 22 295,0 1005 1,10 4 71 7,3

T Niederbrechen Emsbach 10 305,2 699 0,74 46 38 8,4

U Ober-Ofleiden Ohm 17 317,3 888 0,91 25 30 7,8

V Sarnau-West Lahn 15 451,0 956 1,07 6 60 7,5

X Breidenstein Perf 7 113,4 972 1,07 7 41 7,5

Y Niederwetter Wetschaft 7 173,6 762 0,97 39 43 7,9

Z Bartenhausen1) Wohra 7 272,6 739 0,87 8,0 47 71

Stichprobe fiir die Modellkonstruktion: A bis V l) Seit 1968 durch Hochwasserruckhaltebecken geringfiigig beeinfluBt.

Beispiele: X bis Z

liche Gang der meteorologischen Elemente eine perio dische Abflufischwankung 12monatiger Lange, wie sie

sich z. B. in den mittleren monatlichen Abflufthohen widerspiegelt. Langfristige Anderungen des Klimas,

vor allem aber anthropogene Eingriffe im Fluftgebiet konnen sich in einem Trend bemerkbar machen. Die Speicherwirkung im Fluftgebiet (durch Boden und Ge

stein, Schnee etc.) und die Auspragung des Nieder

schlagsregimes fiihren zu einer korrelativen Kompo

nente, die sich daran erkennen laftt, daft in der Regel auf hohe Abfliisse eher wiederum hohe als niedrige folgen (positive Autokorrelation). Das durch Periode, Trend und korrelative Komponente nicht erklarbare Residuum schlieftlich wird als deterministisch nicht

fafibare reine (d. h. stochastisch unabhangige) Zufalls

komponente aufgefafit.

In der Regel empfiehlt es sich, eine vorliegende Zeit

reihe zunachst einer Trendanalyse zu unterziehen, da

ein signifikanter Trend in den Daten eine weitere sta tistische Bearbeitung durch die damit gegebene Insta

tionaritat erheblich erschwert.

Fiir jedes Einzugsgebiet wird daher die zugehorige Beobachtungsreihe monatlicher Abflufthohen zunachst daraufhin untersucht, ob in den Daten ein signifikanter

linearer Trend - bedingt durch anthropogene Ande

rungen des Abfluft verhaltens (Gewasserausbau, Ande rung der Nutzung etc.) - nachzuweisen ist. Zu diesem

Zweck wird der Datenreihe eine Ausgleichsgerade an gepaftt, deren Steigung ein Maft fiir die Starke des

linearen Trends ist und auf Signifikanz gepriift wer

den kann. Der dafiir verwendete t-Test beruht auf der Voraussetzung annahernd normalverteilter und sto chastisch unabhangiger Variabler. Da letzteres wegen der Existenz einer korrelativen Komponente nicht an zunehmen ist, wird der Trendtest separat fiir jeden

Monat durchgefiihrt; eine Erhaltensneigung in den Daten ist so praktisch auszuschliefien. Ein durch an

thropogene Einfliisse verursachter Trend im Abflufi verhalten kann dabei als gesichert gelten, wenn ein

signifikanter gleichsinniger Trend nicht nur in einzel

nen isolierten Monaten, sondern zumindest in gewis

sen Jahreszeiten (z. B. Vegetationsperiode) auftritt.

Ein signifikanter Trend ist nach diesem Kriterium in den verwendeten (allerdings nicht sehr langen) Daten

reihen nicht nachzuweisen.

Die Superposition der drei iibrigen Komponenten bildet den Ansatzpunkt fiir die Konstruktion des sog.

markov-Modells (nach Fiering und Jackson, 1971,

56):

(4)

Ulrich Streit: Erzeugung synthetischer Abftufidaten im Einzugsgebiet der Lahn 95

(1) x{j j =

xj + rj (xi( j_i ?

Xj_!) s-Jshl + zi,j '

sj (! ? rj)5?

wobei: i = 1,2,... (Jahresindex)

j = 1, 2,..., 12 (zyklischer Monatsindex) xi? j = synthetischer Zeitreihenwert fiir das Jahr

i und den Monat j

Xj,Sj = monatliche Mittel und Standardabwei

chungen

rj = Korrelationskoeffizient zwischen den Monaten j und j ? 1

zio- =

standardnormalverteilte, stochastisch un

abhangige Zufallszahlen.

Vom Typ her stellt dieses Modell einen Autoregres

sivansatz 1. Ordnung dar, dem die periodische Kom

ponente der monatlichen Mittel iiberlagert ist. Der zweite additive Term dient als ?Gedachtnis" (Lan ge = 1 Zeiteinheit) des Modells, indem er durch den

monatsspezifischen Korrelationskoeffizienten einen entsprechenden Teil der Information des Vormonats auf den nachfolgenden Zeitreihenwert iibertragt. Die

Zufallskomponente gewahrleistet in dieser speziellen Form die Ubertragung bestimmter Eigenschaften der beobachteten in die kiinstlich erzeugte Zeitreihe. De

taillierte Darstellungen des markov-Zeitreihenmo dells geben in der deutschsprachigen Literatur Klee

berg (1971) und Schultz (1973).

Gegeniiber anderen Modellansatzen zur Erzeugung synthetischer Zeitreihen (z. B. Moving Average-Mo

delle; vgl. Box und Jenkins, 1970) zeichnet sich das

markov-Modell durch einen unkomplizierten forma

len Ansatz und leichte numerische Handhabung aus;

die einzelnen Komponenten lassen sich hydrologisch sinnvoll interpretieren. Ein weiterer Vorteil liegt in der leichten Bestimmbarkeit der Modellparameter, die

selbst aus kurzen Beobachtungsreihen noch relativ zu verlassig geschatzt werden konnen. Als Nachteil ge geniiber anderen Zeitreihenmodellen ist anzufiihren, dafi mit diesem Ansatz die Erzeugung von stochasti schen Prozessen mit sehr langsam abklingender Auto

korrelationsfunktion auf praktische Schwierigkeiten

stofit und die Simulation des sogenannten Hurst

Effektes (vgl. z. B. Klemes, 1974) nicht gelingt. Die

Beschrankung auf den Autoregressivansatz 1. Ord

nung erscheint im Hinblick auf die gewahlte Zeitbasis

gerechtfertigt.

Dieser Modellansatz erzeugt synthetische Zeitrei hen werte Xij, die einer Normal verteilung folgen. Dies steht nicht nur im Widerspruch zu den fast ausnahms los positiv-schiefen Stichprobenverteilungen der beob achteten monatlichen Abflufihohen, sondern es bedeu

tet infolge der nach unten unbeschrankten Normal

verteilung auch die gelegentliche Erzeugung negativer Abflufiwerte. Diese unerwiinschte Modelleigenschaft wird durch eine von Matalas (1967, 939ff.) vorge schlagene Modifikation ausgeschaltet. Anstelle der ur spriinglichen Modellparameter

Xj, sj, rj (j = 1,2,..., 12)

werden die GroBen

Xj, Sj, rd (j = 1,2,..., 12)

verwendet, die aus den Beziehungen

(2) Xj = exp (xj + Sj2/2)

(3) Sj2 = exp (2sj2 + 2xj) ? exp (sj2 + 2xj) (4) rj = (exp (Sj2 ^ - l)/(cxp (sj2) - 1) zu berechnen sind (vgl. auch Burges, 1972, 1493).

Ihre sinngemaBe Verwendung im Ansatz (1) ergibt synthetische Werte xi} j, die anschlieBend durch

(5) Xij = exp j)

in die endgiiltigen Zeitreihenwerte transformiert wer den.

Durch diese Modifikation werden logarithmisch (ln) - normalverteilte Abflufihohen Xij generiert. Diese Verteilung approximiert die beobachteten Stichproben verteilungen fiir alle Monate recht gut (was mit einem

KoLMOGOROV-Test gepriift werden kann); die An

wendung der Beziehung (5) gewahrleistet gleichzeitig, dafi

xi? j > 0 fiir alle i und j

ausfallt, was fiir monatliche Abflufihohen in dem ge

wahlten Untersuchungsraum durchaus realistisch ist.

Mit Hilfe dieses Modelles konnen, ausgehend von einem beliebig zu wahlenden Ausgangswert (z. B. xx) synthetische Abflufireihen monatlicher Werte in be liebiger Lange und Anzahl erzeugt werden, wozu le diglich die Modellparameter zu flxieren sind; die be notigten Zufallszahlen lassen sich in einem Zufalls

zahlengenerator (Monte Carlo-Methode) erzeugen.

Jede dieser synthetischen Zeitreihen zeichnet sich

u. a. dadurch aus, dafi in ihr die Parameter xj5 Sj, rj (j =

1,2,..., 12)

als statistische Kenngrofien erhalten bleiben; diesbe ziiglich sind also beobachtete und die darauf basieren den kiinstlichen Abflufireihen statistisch gleichwertig.

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n - z:

<8.000 Q.V83 0.960 I .?f?#0 U920 8.MOO HONflTE; ?10*

Abb. 2: Pegel Rod a. d. Weil: Monatliche Abflufihohen (mm), 1952-1972

Gauging station Rod a. d. Weil: Monthly discharges (mm), 1952-1972

(5)

^_Erdkunde_ Band 29/1975 o o

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slgBO ' 51760

Abb. 3: Pegel Rod a. d. Weil: Monatliche Abflufihohen (mm), 50 Jahre einer lOOjahrigen synthetischen Reihe

Gauging station Rod a. d. Weil: Monthly discharges (mm), 50 years of a 100 years synthetic sequence

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M0NRTE: ?10l

Abb. 4: Pegel Rod a. d. Weil: Monatliche statistische Kennwerte von beob'achteter und synthetischer Abflufireihe

(100 Jahre)

Gauging station Rod a. d. Weil: Monthly statistics of observed and synthetic discharge series (100 years)

Die Abb. 3 zeigt den ersten Teil einer derartigen syn thetischen Zeitreihe monatlicher Abflufihohen, wobei die notwendigen Modellparameter aus einer 21jahri gen Beobachtungsreihe (Abb. 2) ermittelt worden

sind. Schon der visuelle Vergleich beider Abflufireihen lafit deren Gleichartigkeit erkennen; der Vergleich der statistischen Kennwerte in der Abb. 4 erhartet diese Feststellung. Deutlich sichtbar werden aber auch die

Besonderheiten der langeren synthetischen Zeitreihe;

in ihr treten Extremereignisse geringer Eintrittswahr

scheinlichkeit auf, die im kurzen Beobachtungszeit

raum nicht vorhanden sind. Im Auftreten solcher zu

fallig nicht beobachteter aber doch wahrscheinlicher Extremwerte und Extremwertabfolgen liegt der spe

zielle Wert synthetischer Abflufireihen fiir die Simula tion hydrologischer Systeme.

(6)

Ulrich Streit: Erzeugung synthetischer Abfluftdaten im Einzugsgebiet der Lahn 97

2. Erweiterung zu einem raumvarianten Modell

Wie im einleitenden Kapitel bereits ausgefuhrt

wurde, ist eine unmittelbare Anwendung dieses 2eit reihenmodells nur dann moglich, wenn Beobachtungs

daten monatlicher Abfliisse fiir das betreffende Ein zugsgebiet in ausreichender Qualitat und Quantitat

zur Ermittlung der Modellparameter vorhanden sind.

Ist dies nicht der Fall, so bietet sich als Ausweg eine

Schatzung dieser Kennwerte durch bekannte oder

leicht zu ermittelnde naturraumliche Charakteristika

des Flufigebietes an. Diese Erweiterung des zeitvarian ten Modells durch einen raumbezogenen Ansatz kann

mit Hilfe der Regressionsanalyse durchgefiihrt wer den, wobei als raumliche Stichprobenbasis 21 Flufi gebiete aus dem Bereich der Lahn Verwendung finden.

Einen ersten Versuch zur Realisierung dieses Kon zeptes unternahmen Benson und Matalas (1967) im

Einzugsgebiet des Potomac (USA), indem sie fiir die Modellparameter Xj und si jeweils separate Regres

sionsgleichungen ermittelten (insgesamt also 24) und

die Korrelationskoeffizienten rj als Mittelwerte des

Gesamtgebietes bestimmten. Dieses Verfahren erscheint

jedoch als nicht voll befriedigend, da zum einen der numerische Aufwand bei 24 Regressionsgleichungen unpraktikabel hoch ist und zum anderen die raumliche Variabilitat der Korrelationskoeffizienten hohe Be

trage erreichen kann (im vorliegenden Untersuchungs

gebiet z. T. iiber 80%). Es wurde daher nach einer Methode gesucht, bei moglichst geringem Informa

tionsverlust die Anzahl der notwendigen Regressions

gleichungen wesentlich zu verringern und gleichzeitig die Korrelationskoeffizienten an wechselnde natur

raumliche Gegebenheiten anzupassen.

Die Abb. 5 zeigt exemplarisch die zeitliche Variation der Modellparameter iiber das hydrologische Jahr

(November bis Oktober) fiir ein Fluftgebiet aus dem

Untersuchungsraum. Sieht man von kleineren Schwan kungen und vereinzelt herausragenden Werten ab, so

laftt sich generalisiert ein sinusformiger Verlauf fiir

alle drei Parametertypen erkennen. Er spiegelt den

dominanten Einfluft der letztlich strahlungsabhangigen Abfluftregimefaktoren im Untersuchungsgebiet wider.

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? 1 beobachtet

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Abb. 5: Pegel Rod a. d. Weil: Fourier-Approximation der beobachteten monatlichen statistischen Kennwerte (= Para meter des MARKov-Modells)

Gauging station Rod a. d. Weil: Fourier approximation of observed monthly statistics (= parameters of the Markov

model)

(7)

98

Erdkunde Band 29! 1975

Zur Approximation und analytischen Darstellung

derartiger saisonaler Schwankungen stellt die Fourier

Analyse eine geeignete und vielfach bewahrte Technik dar (z. B. Roesner und Yevdjevich, 1967). Dabei wird einer beobachteten Datenreihe die harmonische

Reihe n-ter Ordnung n

(6) y(x) = a0 + 2 (ak ' coskx + pk sinkx)

k=l

durch Bestimmung der Fourierkoeffizienten ao, ak, /?k angepafit; die Approximationsgenauigkeit wachst mit der Anzahl der in die Analyse einbezogenen n har monischen Komponenten. Anstelle des Ansatzes (6) wird gelegentlich der mehr anschauliche, mathematisch

jedoch aquivalente Ansatz n

(7) y (x) = a0 + 2 ?k sin (kx + <Pk)

k=l

gewahlt, der aus einer Uberlagerung reiner Sinus

Schwingungen besteht. Dabei sind die Amplituden ak, die Phasenwinkel q?k, sowie ao als arithmetisches Mittel aus der Datenreihe zu bestimmen; eine Beschreibung der numerischen Losungsmoglichkeiten findet sich z. B.

bei Conrad und Pollak (1962, 119ff.).

Eine Entscheidung iiber die Anzahl n der in die

Analyse einzubeziehenden harmonischen Komponen

ten mufi sich im vorliegenden Fall nach zwei kon

kurrierenden Kriterien richten :

a) moglichst hohe Approximationsgenauigkeit durch

Superposition mehrerer harmonischer Komponen ten;

b) moglichst geringe Anzahl von Fourier-Koeffizien ten (Anzahl = 1 + 2n), da diese mit Hilfe je

einer Regressionsgleichung aus naturraumlichen

Charakteristika der Einzugsgebiete geschatzt wer

den sollen.

Versuche, die mit verschiedenen Werten fiir n durchgefiihrt wurden, zeigten folgende Ergebnisse:

Fiir die monatlichen Mittel Xj erbringt n = 1 bereits gute Approximationen, die fiir grofiere n nur noch in geringem Mafie zu verbessern sind (vgl. Abb. 5a). Be dingt durch hohe Winterniederschlage (Mittelgebirgs

typ mit z. T. primarem Wintermaximum) und geringe

Evapotranspiration treten im Dezember bei einigen

Flufigebieten hohe Abfliisse auf, die auch durch Ein beziehen hoherfrequenter Komponenten nicht optimal

angepafit werden. Gleichwertige Ergebnisse fiir die Standardabweichungen sj und Korrelationskoeffizien

ten rj lassen sich nur mit 2 oder mehr harmonischen

Komponenten erzielen, die vor allem eine verbesserte

Anpassung fiir die in einigen Fallen auftretenden

singularen Extremwerte erbringen (z. B. sekundare Sommermaxima bei den Standardabweichungen in

folge der hohen Variabilitat der sommerlichen Nieder schlage). Bei Verwendung einer einzigen Sinusschwin gung ist jedoch noch eine ausreichende Approxima tionsgiite zu erzielen (vgl. Abb. 5b, c).

In Anbetracht der Zielsetzung eines moglichst ein

fach zu handhabenden raumvarianten Ansatzes er

scheint es daher gereehtfertigt, fiir die numerische Darstellung der Zeitreihenmodellparameter lediglich

die erste harmonische Komponente zu verwenden;

mithin_ gelten fiir die approximativen Modellpara meter xj*, Sj* und rj* folgende diskretisierte analyti

sche Ausdriicke:

(8) x,-* = x + ax sin ((j ? 1) n/6 + <px) (9) Sj* = s + as sin ((j ? 1) */6 + %) (10) rj* = F + ar sin ((j ? 1) tz/6 + <pt) wobei: j = 1, 2,..., 12 (Monatsindex)

x, s, r = arithmetische Mittel der gegebenen x,-, Sj, rj

ax? as> ar =

Amplitude der Sinus-Schwingung

<px, q>s, <pT = Phasenwinkel der Sinus-Schwingung.

Auf diese Weise lafit sich die fiir die 36 Parameter des Zeitreihenmodells notwendige Information mit

tragbaren Verlusten durch das Approximationsver fahren auf 9 Kennwerte fiir den Fourier-Ansatz kom primieren.

Eine Schatzung der Zeitreihenmodell-Parameter

auf der Grundlage einzugsgebietstypischer Variabler erfordert danach nur noch 9 Schatzgleichungen, die mit Hilfe der multiplen linearen Regressionsanalyse

aufgestellt werden sollen. Es handelt sich dabei um

eine auf Stichprobenbasis arbeitende statistische Me thode zur Verkniipfung einer zu schatzenden Varia blen (Regressand) mit ggf. mehreren steuernden Varia

blen (Regressoren).

Dabei wird vom sog. Korrelationsmodell der Re

gressionsanalyse ausgegangen, bei dem alle beteiligten Variablen als zufallsbeeinflufite, stochastisch unab

hangige Grofien angesehen werden; es wird ange nommen, dafi sie einer mehrdimensionalen Normal

verteilung folgen (vgl. z. B. Taubenheim, 1969, 118).

Die Normalitat jeder Randverteilung ist eine not wendige, allerdings nicht hinreichende Bedingung da fiir. Da die verwendeten Variablen z. T. signifikante

Schiefewerte aufweisen, ist mit Hilfe geeigneter Funk tionen (z. B. ln,^) eine Transformation auf angena herte Normalverteilung vorzunehmen. Als Entschei dungskriterium dient dabei der KoLMOGOROV-Test; es

wird diejenige Transformation gewahlt, die zu einem Minimalwert der betr. Priifgrofie fiihrt.

Der hier verwendete multiple lineare Regressions ansatz hat die Form:

Y = b0 + bxXi + b2X2 +... + bnXn

mit: Y = Regressand; Xx..., Xn =

Regressoren b0 =

Regressionskonstante bi,..., bn =

partielle Regressionskoeffizienten.

Die b-Werte sind aus der mehrdimensionalen Stich

probe zu schatzen. Hinsichtlich geeigneter Schatz- und Priifmethoden sei auf die statistische Spezialliteratur

(z. B. Draper und Smith, 1966) verwiesen.

(8)

Ulrich Streit: Erzeugung synthetischer Abflujidaten im Einzugsgebiet der Lahn 99

Als Regressanden sind die Koeffizienten der drei Fourier-Ansatze (8), (9), (10)

x, ax, <px; s, as, <ps\ r, ar, (pr vorgegeben.

Die Regressoren stellen einzugsgebietstypische Varia

ble dar; sie sollten einerseits die den Abflufiprozefi im Fluftgebiet steuernden Faktoren einschlieftlich der kli

matischen Verhaltnisse moglichst gut reprasentieren, andererseits aus praktischen Griinden einfach zu quan tifizieren sein. Insgesamt werden 13 derartige natur

raumliche Variable in die statistische Analyse einbe zogen. Gemaft der dominierenden Rolle des Nieder schlages bei der Steuerung des Abflufiverhaltens kommt dieser Variablengruppe eine besondere Bedeu

tung zu; die Bestimmung der Niederschlagsvariablen geschieht auf der Grundlage monatlicher Nieder

schlagshohen aus der einheitlich fiir alle Gebiete er fafken Periode 1963-1972. Das verwendete Meft stellennetz ist aus der Tabelle 2 ersichtlich. Mit Hilfe

Tabelle 2: Verzeichnis der Niederschlagsstationen List of precipitation stations

Lfd. Nr. Stationsname Lfd. Nr. Stationsname

1 Allendorf (WZ) 35 Hillscheid

2 Alten-Buseck 36 Hirzenhain

3 Amonau 37 Homberg (Ohm)

4 Bad Schwalbach 38 Idstein

5 Berghofen 39 Kirchhain

6 Bickern 40 Kl. Feldberg

7 Biedenkopf 41 Laasphe

8 Brandoberndorf 42 Lohlbach

9 Braunfels 43 Mandeln

10 Breithard 44 Mappersheim

11 Burbach 45 Mellnau

12 Burg-Gemunden 46 Mengerskirchen

13 Camberg 47 Montabaur

14 Colbe 48 Niederbrechen

15 Dillbrecht 49 Niederkleen

16 Dilschhausen 50 Neuhof

17 Ehringshausen 51 Oberndorf-Riidershausen

18 Eisenroth 52 Quotshausen

19 Eppenroth 53 Rauschenberg

20 Erda 54 Rosenthal

21 Freienseen 55 Ruppertenrod

22 Frickhofen 56 Sackpfeife

23 Fronhausen 57 Selters

24 Gemmrich 58 Singhofen

25 Gemunden 59 Treis

26 Geroldstein 60 Treisberg

27 GieBen 61 Ulrichstein 28 Gilserberg 62 Weilburg

29 Gladenbach 63 Weilmunster

30 Griinberg 64 Weilrod-Neuweilnau

31 Haiger 65 Wiesenfeld

32 Haina 66 Willersdorf

33 Hainchen 67 Wommelshausen

34 Halsdorf 68 WZ-Nauborn

der EDV-adaquaten, allerdings recht groben Thiessen Polygon-Methode werden die Datenreihen der Ge bietsniederschlage fiir jedes Flufigebiet und daraus wiederum die verschiedenen Niederschlagsvariablen

errechnet. Alle ubrigen Variablen sind so ausgewahlt, dafi sie in sehr einfacher Weise aus topographischen,

pedologischen und klimatologischen Karten zu ent nehmen sind; sie dienen zur Kennzeichnung der Tem peratur- und Schneeverhaltnisse, der Relief- und Bo

deneigenschaften sowie der Bedeckung mit Wald und Siedlungsflachen. Im folgenden werden nur diejenigen Variablen kurz erlautert, die nach Durchfiihrung der Regressionsanalysen letztlich in die Schatzgleichungen

eingehen. Es sind dies:

NJAHR = mittlere jahrliche Hohe des Gebietsnie

derschlages in mm.

NWISO = Verhaltnis der Niederschlagshohen des Winterhalbjahres (Nov. bis Apr.) zum

Sommerhalbjahr (Mai bis Okt.).

TEMP =

Jahresmitteltemperatur im langjahrigen Mittel in ?C als Gebietsmittelwert, er

rechnet aus der Isothermenkarte

1:200 000 des Gewasserkundlichen Kar

ten werkes Hessen.

BODEN = Variable zur naherungsweisen Charak terisierung der hydrologischen Eigen schaften der im Einzugsgebiet verbreite ten Boden: Prozentanteil der Flachen mit mittel- bis tiefgriindigen Boden guter Wasseraufnahmefahigkeit und Speicher

fahigkeit im Untergrund (z. B. nicht zu stark tonhaltige Boden auf Lofi und an

deren pleistozanen/quartaren Sedimen ten, sandige Boden auf Sandsteinen etc.)

- kartiert auf der Grundlage der Boden iibersichtskarte 1:300 000 (Hessen, NRW).

WALD =

prozentualer Anteil der mit Wald be deckten Flachen an der Gesamtflache des

topographischen Einzugsgebietes; kartiert auf der Grundlage der topographischen Karte 1:50000.

In dieser Zusammenstellung der in den Schatzglei

chungen letztlich verwendeten Regressoren fehlen

einige naturraumliche Variable, die bekanntermafien steuernde Effekte auf den Abflufiprozefi ausiiben, so z. B. die Grofie des topographischen Einzugsgebietes oder etwa eine Indexgrofie, die mittlere Dauer und Hohe der Schneedecke angibt. Dieser an sich iiber raschende Sachverhalt lafit sich aus der Eigenart des

verwendeten statistischen Verfahrens und der zuge horigen Voraussetzungen erklaren: die Regressionsana

lyse stellt einen numerischen Zusammenhang zwischen Regressand und Regressoren lediglich auf der Basis

statistischer Beziehungen her, die durch partielle Kor relationskoeffizienten gemessen werden; dabei werden nur solche Regressoren in die Schatzgleichungen einbe

(9)

100 Erdkunde Band 29/1975

zogen, die zu einer signifikanten Verringerung der durch die Regressionshyperebene noch nicht erfafiten Restvarianz der Stichprobenpunktwolke beitragen.

Kausale Gesichtspunkte werden dabei stets erst vom Bearbeiter in Form einer Hypothese oder Interpreta

tion eingefiihrt. So kommt z. B. der Variablen ?Ein

zugsgebietsgrofie" wohl deshalb keine Signifikanz als Regressor zu, weil die Abflufidaten in der von der Grofte des zugehorigen Fluftgebietes nur noch schwach

beeinfluftten Mafteinheit ?mm" verwendet werden.

Die Auswahl eines statistisch wie kausal optimalen Regressorentupels stellt bei jeder Regressionsanalyse

das Hauptproblem dar. Insbesondere ist namlich dar

auf zu achten, dafi die Regressoren nicht interkorreliert sind; andernfalls (wie z. B. bei TEMP und einem Schneeindex) treten nicht nur numerische Probleme bei der Berechnung der partiellen Regressionskoeffizienten

durch quasisingulare Matrizen auf, sondern es konnen

auch Regressionsgleichungen mit sachlich unsinnigen Vorzeichen in den Koeffizienten resultieren. Mit der

Hauptkomponentenanalyse (z. B. Oberla, 1968) exi

stiert ein statistisches Verfahren zur Aufdeckung sol dier Abhangigkeitsstrukturen in Variablentupeln; fiir die praktische Durchfiihrung eignet sich ein von Efroymson (1960) angegebener Algorithmus.

Tabelle 3: Ergebnisse der Regressionsanalyse Results of regression analysis Regressand: ln x

Regressoren part. Regr. Koeff. Netto-Regr. Signifikanz

InNJAHR 2,522 0,81 ***

TEMP ?

0,181 ?0,20 **

Regr. Konst. ?12,182

S = 0,414 SS = 0,097 B = 0,95 ***

Regressand: ln ax

InNJAHR 2,335 0,62 ***

BODEN ? 0,0119 ?0,37 **

S = 0,505 SS = 0,172 B = 0,90 ***

Regressand: <px

InNWISO 1,327 0,87 ***

WALD ? 0,0039 ?0,25

Regr. Konst. 0,454

S = 0,190 SS = 0,135 B = 0,55 ***

2 i?

Regressand: j/s

InNJAHR 5,473 0,68 ***

WALD 0,0154 0,20 **

BODEN ?

0,0119 ?0,17

S = 1,068 SS = 0,315 B = 0,93 ***

Regressand: In as

In NWISO 2,503 0,64 ***

BODEN ? 0,0107 ?0,35 **

Regr. Konst. 2,798

S 0,488 SS = 0,178 B = 0,88 ***

Regressand: <ps

InNJAHR 1,040 0,69 ***

Regr. Konst. ? 6,618

S = 0,201 SS = 0,148 B = 0,48 **

Regressand: j/r

In NJAHR ? 0,410 ?0,77 ***

Regr. Konst. 3,389

S = 0,071 SS = 0,046 B = 0,59 ***

Abk.: S = Standardabweichung des Regressanden SS = Standardschatzfehler der Regression B = multiples BestimmtheitsmaB.

Signifikanzen gegen Null: *** = 1%-Niveau

* = 5%-Niveau

= 10%-Niveau

* = 15%-Niveau

Die Ergebnisse der Regressionsanalysen konnen der

Tabelle 3 entnommen werden. Mit entsprechenden Testmethoden sind sowohl das multiple Bestimmt heitsmafi, das den durch die Regression erklarten Va

rianzanteil des Regressanden angibt, als auch jeder Regressionskoeffizient auf Signifikanz gegen Null ge

priift; die gleichzeitig aufgefuhrten Netto-Regressions koeffizienten (Beta-Werte) ermoglichen eine verglei

chende Analyse des Einflusses der verschiedenen Re

gressoren auf den Regressanden und damit eine Inter

pretation. Wie die multiplen Bestimmtheitsmafie und

die Standardschatzfehler zeigen, lassen die Regres

sionsgleichungen fiir die Fourier-Koeffizienten x, ax,

s, as gute Schatzungen erwarten. Die Ergebnisse fiir

(10)

Ulricb Streit: Erzeugung synthetischer Abflufidaten im Einzugsgebiet der Lahn 101

(fx, und r sind dagegen relativ schlecht und liegen an der Grenze der praktischen Brauchbarkeit; bei der

Anwendung dieser Regressionsbeziehungen ist infolge dessen mit einer grofieren Fehlerstreuung zu rechnen.

Die Aufstellung von signifikanten Schatzgleichungen fiir die beiden iibrigen Koeffizienten ar, <pr ist auf der gegebenen Datengrundlage nicht moglich; in den fol genden Beispielen wird daher mit deren arithmetischen

Mittel werten im Untersuchungsgebiet gerechnet:

ar = 0,146 (raumliche Variabilitat = 35%) yr = 2,218 (raumliche Variabilitat = 29%) Bei der Suche nach den Griinden fiir die nicht voll befriedigenden Ergebnisse in den genannten Fallen ist zunachst der vergleichsweise geringe Stichprobenum

fang von N =

21 zu nennen, auf dem die Regressions analysen beruhen; steuernde Variable mit schwacherem

Einflufi kommen daher nicht hinreichend zur Geltung.

Eine Erweiterung der raumlichen Stichprobenbasis

durch Hinzunahme weiterer, naturraumlich moglichst verschiedenartiger Einzugsgebiete sollte daher ange

strebt werden. Weiterhin fallt auf, dafi vor allem die Phasenwinkel schlecht oder gar nicht geschatzt werden

konnen; hier sind offensichtlich die Inputvariablen

zur Kennzeichnung der zeitlichen Lage von Extrem

werten im Abflufiregime zu grob gefafit. Abhilfe ware durch eine detailliertere Auswertung der Nieder

schlagsdaten zu schaffen, jedoch wiirde dabei ein

praxisrelevanter Vorzug der hier benutzten Variablen verloren gehen: Alle verwendeten Niederschlagscha

rakteristika lassen sich namlich notfalls auch aus kli

matologischen Karten entnehmen.

Ein besonderes Augenmerk ist noch auf die Korre

lationskoeffizienten zu richten. Das Ziel der oben an

gesprochenen raumlichen Variabilitat bei ihrer Bestim mung ist zwar durch die Schatzgleichung fiir den

Koeffizienten" r des Fourier-Ansatzes im Prinzip er

reicht, jedoch befriedigt die Verwendung von raum lichen Mittelwerten fiir ar und cpv noch nicht. Abge

sehen von wahrscheinlichen Verbesserungen durch ver grofierten Stichprobenumfang und verfeinerte Input variable konnte z. B. gepriift werden, ob eine inter

vallspezifische Schatzung mit Hilfe der Diskriminanz

analyse zu brauchbaren Ergebnissen fiihrt.

3. Beispiele

An zwei Beispielen sollen Anwendbarkeit, Schatz

genauigkeit und Beschrankungen des entwickelten zeit und raumvarianten Modells zur Erzeugung syntheti

scher Abflufireihen aufgezeigt werden; es werden dafiir nur solche Einzugsgebiete herangezogen, die wegen der geringen Lange der beobachteten Abflufireihen (je 7 Jahre) nicht in die Stichprobe zur Modellkonstruk

tion eingegangen sind. Durch die Existenz der Beob achtungsreihen ist es moglich, die Schatzgenauigkeit des Modells in diesen Fallen zu iiberpriifen.

Zur Anwendung des raumvarianten Ansatzes miis

sen fiir das betreffende Einzugsgebiet zunachst die not wendigen naturraumlichen Charakteristika NJAHR, NWISO, TEMP, BODEN und WALD ermittelt wer

den; die zugehorigen Werte sind in der Tabelle 1 auf gefiihrt. Diese gehen als Inputwerte in die Regressions

gleichungen zur Schatzung der Fourier-Koeffizienten

ein. Die Ergebnisse dieser Einzelschatzungen sind in der Tabelle 4 aufgefiihrt, wobei die 90?/o-Konfidenz intervalle (fiir Schatzwert als Mittelwert) als zusatz

liche Information iiber den jeweiligen Mutungsbereich

angegeben werden. Die Regressionsschatzungen wer Tabelle 4: Beispiele: Geschatzte Koeffizienten des Fourier

Ansatzes

Examples: Estimated coefficients of Fourier approximation

Beispiel Koeffizienten des Fourier-Ansatzes 90%-Konfi denzintervall Koeffizient beobachtet geschatzt

43,2 x 44,9 41,7 /48,4 ax

32,3 30,0 26,4 /34,0 (px 0,26 0,39 0,25/ 0,52

Breiden- s~ 29,0 29,3 25,7 /33,1

stein as 22,6 19,4 17,0 /22,0

(ps 0,45 0,54 0,44/ 0,64

0,36 r 0,32 0,29/ 0,36

ar

0,13 0,16 Mittelwert

cpr

21,7 x 20,6 18,7 /22,6 ax

10,6 7,4 4,9 /11,0

<px

0,10 0,09 0,02/ 0,16

Barten- s" 9,3 10,5 6,5 /15,5

hausen as 9,8 5,8 3,9 / 8,8

<ps

0,48 0,25 0,15/ 0,35 0,45 r 0,46 0,42/ 0,50

ar

cpr

den anschliefiend als Koeffizienten in den Fourier-An satzen (8), (9), (10) verwendet, wodurch man die be

notigten 36 Parameter xj, sj, rj (j =

1,...,12)

fiir den zeitvarianten Modellansatz erhalt. Damit las

sen sich schliefilich synthetische Datenreihen monat licher Abflufihohen fiir das betreffende Einzugsgebiet in beliebiger Lange und Anzahl erzeugen.

Das e r s t e Beispiel (Pegel Breidenstein) zeigt ins

gesamt befriedigende Schatzergebnisse des raumvarian ten Ansatzes fiir die Parameter des Zeitreihenmodells.

Im Vergleich mit den durch die Sinusfunktion approxi mierten Werten (Abb. 6) sind die Fehler bei den mo natlichen Mittelwerten und Standardabweichungen ge ring. Bei den Korrelationskoeffizienten ergeben sich dagegen deutliche Abweichungen; sie resultieren aus

schliefilich aus der starken Diskrepanz zwischen dem raumlichen Mittel des Phasenwinkels qjy und dem approximierten Wert fiir dieses Beispiel.

Der Vergleich mit den aus der Beobachtungsreihe

errechneten Kennwerten lafit z. T. auf gravierende

Fehlschatzungen schliefien; wahrend dies bei den Mit

(11)

102 Erdkunde Band 2911975

? I o

S A o

?- A ?

o o 1

"g // 1 ^-^tV J*v ?0 o J 51 I \ \ cc 1

U J 1 V\ Q X

iZ? \\ 2o / A

<=> sz

\ I feo" * 1 / Ms

o * ^

2 0

?_ _ o

a ^.000 o.moo 0.800 1.200 <e 000 '

oNoo '

olsoo-1 T.2ao b

MONATE: ?101 MONATE: ?10l

o a o

- beobachtet

A / ** Fourier-Approximation

A g / /\ 0-0 geschatzt

ul *" ? */*\ * / \ t\j&f-*>

o \ / Sr \ jb'Yx] *

0?_V_\ /_

o o to

C ^.000 0.400 0.800 1.200

MONATE: ?10l

Abb. 6: Pegel Breidenstein: Vergleich der geschatzten Parameter des MARKOV-Modells mit den beobachteten und durch Fourier-Ansatz approximierten Werten

Gauging station Breidenstein: Comparison of estimated, observed and approximated parameters of the Markov model

telwerten und Standardabweichungen nur fiir singu lare Monate zutrifft, scheint bei den Korrelations koeffizienten sogar die Zweckmafiigkeit der Fourier

Approximation in Frage zu stehen. Hierzu ist anzu

merken, dafi in diesem wie auch im folgenden Beispiel die Berechnung der Kennwerte auf der Basis lediglich

7jahriger beobachteter Abfliisse erfolgt (dagegen im Mittel 16 Jahre bei der Stichprobe fiir die Modellkon

struktion), weshalb mit einer starkeren Streuung der

Werte zu rechnen ist; dieser Stichprobenfehler macht sich bei der hier verwendeten Momentenmethode vor allem bei den Korrelationskoeffizienten bemerkbar.

Als Vergleichsmafistab zur Beurteilung der Schatzge nauigkeit sind diese Werte daher nur bedingt brauch bar. Eine geeignete Methode zur Verringerung des zeitlichen Stichprobeneffektes ist in diesem Falle die Anwendung eines Tiefpafi-Filters (z. B. gleitende Mit

telwerte) zur Unterdriickung unerwiinschter Fluktua tionen (z. B. Taubenheim, 1969, 31 If.); sie wird hier

nicht angewendet, weil der Fourier-Ansatz praktisch

eine (starker wirksame) Bandpafifilterang darstellt.

Insbesondere bei kurzen Beobachtungsreihen konnen

die derart gefilterten Werte also durchaus den reali tatsnaheren Vergleichsmafistab abgeben.