Themenverteilung Hauptseminar Modallogik (SS2008)

Themenverteilung Hauptseminar Modallogik (SS2008)

Paul Harrenstein und Martin Lange

Ludwig-Maximilians-Universit ¨at, M ¨unchen

12. Februar 2008

Was ist und soll die Modallogik?

1 Modallogische Sprachen sind einfache doch ausdruckstarke Sprachen um

¨uber relationale Strukturen zu reden, und relationale Strukturen sind allgegenw ¨artig.

2 Modallogische Sprachen beschreiben relationale Strukturen aus einem nat ¨urlichen lokalen Sichtpunkt. Somit unterscheiden modallogische Sprachen sich von, zum Beispiel, der Logik der ersten Stufe.

3 Modallogische Sprachen haben viele verschiedenen Anwendungen in der Informatik, k ¨unstlichen Intelligenz, Philosophie und Mathematik.

Aussagenlogik

Syntax Peine Menge von Aussagevariabelen mit typischem Elementp.

ϕF p | ¬ϕ | ϕ₁∧ϕ₂

Semantik ModelV:P → {true,false}.

V p ⇔ V(p) =true

V ¬ϕ ⇔ V 1ϕ

V ϕ∧ψ ⇔ V ϕundV ψ

Syntax und Semantik von modallogischen Sprachen

Syntax

ϕF p | ¬ϕ | ϕ₁∧ϕ₂ | ϕ | ^ϕ

SemantikModelM= (S,R,V)woR ⊆S×S undV:S× P → {true,false}.

M,s ϕ ⇔ f ¨ur alles∈S, wennsRs⁰dannM,s⁰ϕ M,s^ϕ ⇔ f ¨ur manches∈S,sRs⁰undM,s⁰ϕ

Beispiele:

Alethische Modallogik: ϕheißt “ϕist notwendig.”

Beweisbarkeitslogik: ϕheißt “ϕist beweisbar.”

Syntax und Semantik von modallogischen Sprachen

Syntax

ϕF p | ¬ϕ | ϕ1∧ϕ2 | [i]ϕ | hiiϕ

Semantik ModelM= (S,{Ri}_i∈I,V)woR ⊆S×S undV:P →2^S. M,s[i]ϕ ⇔ f ¨ur alles∈S, wennsR_is⁰dannM,s⁰ϕ M,shiiϕ ⇔ es gibts∈SmitsR_is⁰undM,s⁰ϕ

Beispiele:

Epistemische Modallogik: K_iϕheißt “Agentiweiß, dassϕ.”

Dynamische Logik: [π]ϕheißt “nach Terminierung von Programπgiltϕ”

Themen: Theorie der Modallogik

• Korrespondenztheorie

• Characterisierung von Modellen und Rahmen

• Standard ¨ubersetzung

• Normale Modallogiken

• Bisimulation

• Beweissysteme

• Hilbertsche Beweissysteme f ¨ur normalen Modallogiken

• Vollst ¨andigkeit und Korrektheit

• Kanonische Modelle

• Alternative Beweissysteme: Tableaumethoden

• Entscheidbarkeit und Komplexit ¨at von Modallogiken

Themen: Anwendungen der Modallogik

• Epistemische Logik (philosophisch und k ¨unstliche Intelligenz)

• Temporale Logik (komputationell)

• Dynamische Logik (komputationell)

• Beschreibungslogiken (k ¨unstliche Intelligenz, Wissensdarstellung)

• Modale Fixpunktlogiken (komputationell)

• Intuitionistische Logik (mathematisch)

• Beweisbarkeitslogik (mathematisch)

Epistemische Logik

ϕF p | ¬ϕ | ϕ₁∧ϕ₂ | K_iϕ | B_iϕ | Dϕ | Eϕ | Cϕ K_iϕ:Agentiweiß, dassϕ

B_iϕ:Agentiglaubt, dassϕ

Dϕ:Erkenntnis vonϕist distribuiert Eϕ:Jeder weiß, dassϕ

Cϕ:Es istcommon knowledge, dassϕ

Temporale Logik

ϕF p | ¬ϕ | ϕ1∧ϕ2 | ϕ | ϕ | ϕ1Uϕ2

ϕ : Von jetzt anϕ ϕ : Als n ¨achstesϕ ϕUψ: ϕbisψ

Dynamische Logik

ϕF p | ¬ϕ | ϕ1∧ϕ2 | [π]ϕ πFa | π1;π2 | π1∪π2 | π^∗ | ϕ?

[π]ϕ :Nachπgiltϕ

π1;π2 :F ¨uhre zuerstπaus und als n ¨achstesπ⁰ π1∪π2:F ¨uhre entwederπ1oderπ2aus π^∗ :F ¨uhreπnull oder mehr Mal aus ϕ? :Uberpr ¨ufe ob¨ ϕgilt

Beschreibungslogiken

Beschreibungslogiken f ¨urs Argumentieren ¨uber Ontologien.

Formale Ausarbeitung

• Zust ¨ande sind Instanzen von “Konzepten”

• Relation sind “Rollen”

• Interpretation von Formeln wiederum als Konzepte

Beispiel:

Konzept M ¨order f ¨ur die Mafia

Beschreibungslogik killeru ∃employer.killer Modallogik killer∧ hemployerigangster

Fixpunktlogiken

ϕF p | X | ¬ϕ | ϕ1∧ϕ2 | [a]ϕ | µX.ϕ(X) (Xpositiv inϕ)

Intuition:µX.ϕ(X)¨aquivalent zu⊥ ∨ϕ(⊥)∨ϕ(ϕ(⊥))∨. . ..

Normalerweise keine Rekursion in Modallogiken, mit Fixpunkten aber gegeben.

Beispiel:Erreichbarkeit in Graphen ohne Rekursion normalerweise nicht definierbar.

Intuitionistische Logik

• Tertium non Daturϕ∨ ¬ϕundreductio ad absurdum

• Konstruktivistische Philosophie der Mathematik

• Dazugeh ¨orende Logik:intuitionistische Logik

• Intuitionistischer Logik kann eine modale Semantik gegeben werden

Beweisbarkeitslogik

• Frage:Was k ¨onnen mathematische Theorien ¨uber sich selbst aussagen?

• G ¨odels erster Unvollst ¨andigkeitssatz

• Peano Arithmetik (PA)

• pϕqbezeignet die G ¨odelzahl von der Aussageϕ

• Prov(pϕq)heißt, dassϕinPA beweisbar ist

• Provkann analysiert werden als eine Modalit ¨at

Hauptseminar

Voraussetzungen

• Bestandenes Vordiplom

• Elementare Kenntnisse in Aussagenlogik

• Affinit ¨at mit mathematische Argumentation

Organisation

• Vortrag halten (ca. 60 Minuten), danach eine Ausarbeitung schreiben

• Ein bis drei Termine mit dem Betreuer

• Anwesenheit bei den anderen Vortr ¨age

Lernziele

Themenverteilung

• Korrespondenztheorie

• Beweissysteme f ¨ur Modallogiken

• Entscheidbarkeit und Komplexit ¨at von Modallogiken

• Epistemische Logik

• Temporale Logik

• Dynamische Logik

• Beschreibungslogiken

• Modale Fixpunktlogiken

• Intuitionistische Logik

• Beweisbarkeitslogik