Analytische Geometrie - Mathespicker (Schullizenz)

P P

Q Q

( | ) ( | )

1 1 1

1

3 2 3

2 fi = ÊË ˆ

¯ fi = ÊË ˆ

¯



 Die Regel „ Spitze minus Fuß “ liefert den

Vektor, der den Punkt P auf den Punkt Q abbildet:

PQ

  

= Ê Ë Á

Spitz e Fuß

ˆ

¯ ˜˜ = - Ê -

Ë ˆ

¯ = Ê Ë ˆ 3 1 ¯

2 1 2

- 1

im   im

 

2 1

2

3 1

2 3

: v v , :

v v

v v

= ÊË ˆ v

¯ = Ê

Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜

x P( | ) 1 1

Q( | ) 3 2 y

 P

 Q

x y

v

₁

v

₁

v

₁

v

₁

v

₂

v

₂

v

₂

v

₂

x y

a a a

b b b

a b a b a b

1 2 3

1 2 3

1 1

2 2

3 3

Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜ + Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜ = + + + Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜

  a b+

 b a

c a a a

c a c a c a

◊ Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜ = ◊

◊ ◊ Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜

1 2 3

1 2 3

a c a◊

c a ◊ + ◊  d b 

 b

a c a◊ d b◊

A M B

Mittelpunkt der Strecke [ AB ]

  

M = ◊ + 1 A B

2 ( )

a

 b

OP

  

P



v 

zur Vollversion

VORSC

HAU

u 

Das sind drei Gleichungen.

O

g X :  A s  u

= + ◊ 

A

X

B A

u 

s =0 s =0,5 s =1 s =1,5 s =2

s = –0,5 s = –1

Durchläuft der Parameter salle reellen Zahlen, durchläuft X alle Punkte auf der Geraden g.

g

g X : A s B A ( )

   

= + ◊ -

g n x :

_{1 1}

+ n x

_{2 2}

= b

g y mx t : = +

A=Ê Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜ 1 2 3 u=

- Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜ 1 0 1

:

g X a a

a s

u u u : 

= Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜ + ◊ Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜

1 2 3

1 2 3

x a su x a su x a su

1 1 1

2 2 2

3 3 3

= +

= +

= +

g : X s

 = Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜ + ◊ - Ê Ë ÁÁ ˆ

¯ ˜˜

1 2 3

1 0 1

x s

x

x s

1 2 3

1 2 3

= +

=

= -

g



n n

= ÊË n ˆ

1

¯

2

 u π 0 

g X :  A s B A  (   )

= + ◊ -

n

₂

π 0

Ü

^BERSICHT

zur Vollversion

VORSC

HAU

2 x3

x1

x₂

E x x x

x x x

: _{1 2 3}

1 2 3

2

2 2 2 1

+ + =

fi + + =

E x x x

n

: 1 1 1 0

1 1 1

1+ 2+ 3=

fi =Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜



E x s

x s

x :

¹

s

1 2 2

3 3

+ + = 1

E : n x

_{1 1}

+ n x

_{2 2}

+ n x

_{3 3}

= b

A( | | )0 2 0

E : n  ( X A )



  - = 0

X

E

x x x

x x

: ( )

( )

1 1 1

0 2 0

0

1 1 2

1 2 3

1 2

Ê Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜ Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜-Ê Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜ = fi

◊ + ◊ -



++ ◊ =

fi + + =

1 0

2

3

1 2 3

x x x x A=Ê

Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜ 0 2 0 Geg: 

n=Ê Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜ 1 1 1 , n

  X-A O O

2

n 

E n x n x n x b

n n n

HNF

:

^{1 1 2 2 3 3}

1 2

2 2

3

2

0

+ + -

+ + =



 n A  = b

n⁰

1 3 1

3 1

3

= Ê

Ë ÁÁ Á

ˆ

¯

˜˜

˜

A=Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜ 0 2 0

E : n  ( X A )



 

0

- = 0

E

x x x E_HNF :

/ / /

( )

1 3 1 3 1 3

0 2 0

0

1 2 3

Ê Ë ÁÁÁ

ˆ

¯

˜˜˜

Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜-Ê Ë ÁÁ

ˆ

¯

˜˜ = fi

fi



:: ¹_{3 1} ¹_{3 2} ¹_{3 3} ²₃

0

0 x + x + x - =

≥







 n⁰ A 

1 3 1 3 1 3

0 2 0

2 3 0

= Ê Ë ÁÁÁ

ˆ

¯

˜˜˜

Ê Ë ÁÁ ˆ

¯

˜˜= ≥ /

/ / X

O

A

n   

X - A

n 

⁰



 n

⁰

A  ≥ 0

n⁰

n⁰=1

n⁰

 

n n

n n n

0 12

2 2

32

= + +

S

EITE

1

zur Vollversion

VORSC

HAU

E

g S u  

n

E

g S u 

u  n 

u  n  v 

w 

E

g u 

v 

w 

u 

v 

w 

   u v w , , linear unabhängig

fi n a

₁

(

₁

+ s u

₁

) + n a

₂

(

₂

+ s u

₂

) + n a

₃

(

₃

+ s u

₃

) = b x a su

x a su x a su

1 1 1

2 2 2

3 3 3

= +

= +

= +

E n x :

_{1 1}

+ n x

_{2 2}

+ n x

_{3 3}

= b

u  

n a

E

g

E

g A

g X : A s u , E X : C r v t w

      

= + ◊ = + ◊ + ◊

g X : A s u , E n x : n x n x b

  

= + ◊

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

=

   u v w , , linear abhängig

n  steht nicht senkrecht auf 

u :

  n u ◊ π 0

sin a =

◊







  u n u n ( 0 ∞ £ a £ 90 ∞ )

  

S = A s u + ◊

0

n 

u 

  n u ◊ = 0

zur Vollversion

VORSC

HAU