Analytische Geometrie

(1)

 Tim Nagel 1998

Analytische Geometrie

Grundrechnungen















 + + +

= +

3 3

2 2

2 1

b a

b a b ar r

















−

=

−

3 3

2 2

2 1

b a

b a b ar r

















=

3 2 1

*

a a a a

λ λ λ λ r

Eigenschaften:

a b b

ar+ r = r+ r

( )

^a^r⁺^b^r ⁺^c^r ⁼^a^r⁺

( )

^b^r⁺^c^r â^r⁺^r⁰⁼â^r â^r⁺

^{( )}

⁻^a^r ⁼⁰^r

(

λ^*µ

)

^*^a^r =λ^*

(

µ^*^a^r

) (

λ+µ

)

^*â^r =λ^*â^r+µ^*â^r ^λ^*

( )

^a^r⁺^b^r ⁼^λ^*^a^r⁺^λ^*^b^r

Ortsvektor pr von P: pr =OP Vektor PQ: PQ=qr− pr Mittelpunkt AB: ^m^r ⁼

( )

^a^r⁺^b^r

2 1

Spiegelpunkt (bzgl. Z): pr′=2*zr− pr Schwerpunkt (Dreieck ABC): ^s^r ⁼

(

^a^r⁺^b^r ⁺^c^r

)

3 1

Betrag (= Länge) eines Vektors: ar = a₁²+a₂²+a₃² Normierter Vektor in Richtung ar:

a

ar⁰ = arr (Länge des Vektors = 1 à Einheitsvektor) Entfernung der Punkte A & B: d(A,B)= AB

Teilverhältnis:

τ τ +

= + 1

*b t a

r r r

Lineare (Un-)Abhängigkeit:

0

*

* ₂

1

r r

r+ b =

a λ

λ und nicht beide λ_i =0à ar,brlinear abhängig (kollinear) 0

*

* ₂ ₃

1

r r r+ br + c =

a λ λ

λ und nicht alle λ_i =0 à ar,br,crlinear abhängig (komplanar) 0

*

* ₂ ₃

1

r r r+ br + c =

a λ λ

λ und λ₁ =λ₂ =λ₃ =0(als einzige Lösung) à ar,br,crlinear unabhängig Sonderfälle:

• mehr als drei Vektoren sind immer linear abhängig [in _ℜ³]

• ist ein Vektor der Nullvektor sind die Vektoren linaer abhängig

Skalarprodukt

3 3 2 2 1

*b a1b a b a b

ar r = + + Es gilt: ar*br = ar*br *cosγ , wenn ar*br =0⇒ar⊥br Eigenschaften:

a b b

ar*r = r*r ^a^r^*

( )

^b^r ⁺^c^r ⁼^a^r^*^b^r⁺^a^r^*^c^r ^λ^*

( )

^a^r^*^b^r ⁼

⁽

^λ^*^a^r

⁾

^*^b^r â^r^*â^r ⁼â^r²

0

2 ⇒ * ≥

= a a a

ar r r r

0

2 0 r r

r = ⇔a = a

(2)

 Tim Nagel 1998

Vektorprodukt

















−

=

×

1 2 2 1

3 1 1 3

2 3 3 2

b a b a

b a b a b ar r

nr =ar×br ⇒nr⊥ar,br ar×br=0r⇔ ar,brlinear abhängig

Eigenschaften:

( ) ( )

â^r^×^b^r ⁼⁻^b^r^×â^r â^r^×

( )

^b^r⁺^c^r ⁼^a^r^×^b^r⁺^a^r^×^c^r ^λ

( )

^a^r^×^b^r ⁼

^{( )}

^λ^a^r ^×^b^r ⁼^a^r^×

( )

^λ^b^r

0r r r×a =

a Assoziativgesetz gilt nicht ! à

( )

^a^r^×^b^r ^×^c^r^≠ ^a^r^×

( )

^b^r^×^c^r

Fläche Parallelogramm: A= ar×br Fläche Dreieck: A= ar×br 2 1

Spatprodukt

Ein von den Vektoren ar,br,cr aufgespannter Spat hat das Volumen ^V ⁼

( )

^a^r^×^b^r ^*^c^r ^.

[Pyramide mit Parallelogramm als Grundfläche: VP = ¹/3 V; Pyramide mit Dreieck als Grundfläche: V_D = ¹/₆ V]

( )

^a^r^×^b^r ^*^c^r⁼⁰^⇔^a^r^,^b^r^,^c^r linear abhängig

Geraden im Raum

Punkt-Richtungs-Gleichung (PRG): g:xr=ar+λur Zweipunkte-Gleichung (ZPG): ^g^:^x^r⁼^a^r⁺^λ

( )

^b^r⁻^a^r

Ebenen im Raum

Punkt-Richtungs-Gleichung (PRG): e:xr =ar +λur+µvr

Dreipunkte.Gleichung (DPG): ^e^:^x^r ⁼^a^r ⁺^λ

( )

^b^r ⁻^a^r ⁺^µ

⁽

^c^r⁻^a^r

⁾

Punktnormalengleichung (PNG): e^:nr^*

(

xr−ar

)

=⁰ [nr=ur×vr à Normalenvektor]

allg. Normalengleichung (ANG): e:nr*xr−c=0

Koordinatengleichung (KG): e:n₁x₁+n₂x₂ +n₃x₃ −c=0

Hessesche Normalengleichung (HNG): e:nr⁰*xr−d =0 mit nr⁰ =1∧d ≥0

[d ist die Entfernung der Ebene zum Ursprung]

Lagebeziehungen zwischen 2 Geraden

• g parallel h: ur,vrlinear abhängig à g = h, wenn Aufpunkt von g auf h liegt

• g und h schneiden sich: ar+λur =br+µvr

• wenn g und h nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert à g und h windschief

(3)

 Tim Nagel 1998

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

• g ⊂e wenn gilt: nr⊥ur∧A∈e

• g parallel e und g ⊄ewenn gilt: nr⊥ur∧A∉e

• g∩e⇒Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen à Schnittpunkt Spurpunkte = Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenebenen

Lagebeziehung zwischen 2 Ebenen

• e1 und e2 sind parallel wenn gilt: nr₁,nr₂ sind linar abhängig

• e1 = e2 , wenn e1 und e2 parallel und A∈e₂,B∈e₁ oder ar−br⊥nr₁ bzw. ar−br⊥nr₂

• e1 und e2 schneiden sich à Schnittgerade g:xr=ar+λ

(

nr1×nr2

)

,ar∈e1∧e2

(Aufpunkt A durch probieren, oder 2 Punkte durch Probieren und ZPG anwenden, oder e1 in PRG einsetzen in e2 in NG oder umgekehrt )

Schnittwinkel

• 2 Geraden:

v u

v u r r

r r

* cosα = *

• Gerade und Ebene:

n u

n u r r

r r

* sinα = *

• 2 Ebenen:

2 1

* cos *

n n

n n r r

r r

= α

• Winkelhalbierende zweier Geraden: ^w¹^:^x^r ⁼^s^r⁺^λ¹

(

^u^r⁰ ⁺^v^r⁰

) (

⁰ ⁰

)

1

2 :x s u v

w r = r+λ r −r

• 2 Vektoren:

b a

b a r r

r r

*

sin ×

= α

Abstandsberechnung

Punkt - Punkt

( ) ( ) (

3 3

)

²

2 2 2 2 1

) 1

,

(P Q PQ q p q p q p

d = = − + − + −

Ursprung - Ebene

Umwandlung von e in HNG: e:nr⁰*xr−d =0 ⇒^d

( )

^O,^e =^d Punkt - Ebene

1. Möglichkeit:

• Bestimme Gleichung der Geraden l, durch P, die senkrecht auf e steht: l:xr = pr+λnr

• Bestimme den Lotfußpunkt:

{ }

^L =^l∩^e

• d(P,e)= PL

(4)

 Tim Nagel 1998 2. Möglichkeit:

• Ebene in HNG

• d(P,e)= nr⁰*pr−c

à nr⁰* pr−c>0⇒ P und O liegen in verschiedenen Halbräumen à nr⁰* pr−c<0⇒ P und O liegen im gleichen Halbraum

[Halbräume = verschiedene Seiten einer Ebene]

Ebene - parallele Ebene 1. Möglichkeit:

• d

(

e1,e2

) (

=d P,e2

)

, mit P∈e₁ 2. Möglichkeit:

• Ebenen in HNG

•

( )





−

=

= +

sonst c

c

n n c e c

e

d ,

, ,

2 1

0 2 0 1 2 1 2 1

r r

Punkt - Gerade

• Aufstellen einer Hilfsebene e mit P∈e und e⊥g: e^:ur^*

(

xr− pr

)

=⁰

• Bestimme den Lotfußpunkt:

{ }

^L =^g∩^e

• ^d

( ) ( )

^P,^g =^d ^P,^L = ^PL parallele Geraden

(

g1,g2

) (

d A,g2

)

d = mit A∈g₂ (A beliebig, z.B. Aufpunkt) windschiefe Geraden

• Aufstellen der Ebene eg mit nr=ur×vr durch A∈g (z.B. Aufpunkt)

• Umformung in HNG : ^eg ^:

(

^u^×^v

) (

⁰ ^* ^x⁻^a

)

⁼⁰

r r r r

• ^d

( )

^g^,^h ⁼^d

( )

^e^g^,^B ⁼

⁽

^u^r^×^v^r

⁾

⁰^*

( )

^b^r⁻^a^r ^{, wobei}^B^∈^h (z.B. Aufpunkt)

Spiegelung eines Punktes

an Gerade

• Lotfußpunkt L des Lotes von P auf g (durch Hilfsebene e:g⊥e⇔ nr =ur ∧P∈e)

• pr′=2*lr− pr an Ebene

• Lotfußpunkt L des Lotes von P auf e (durch Lotgerade: l:xr= pr+λnr)

• pr′=2*lr− pr