4.5 Analytische Geometrie
4.5.1 Orthogonale Gruppen
Spiegelung
(orthogonale) Spiegelungsmatrix
Q=E− 2
|d|2ddt mit d einem Normalenvektor der Spiegelungsebene
Drehung
Drehung um den Winkel ϕin der xixj-Ebene Drehmatrix Qi,j
Zeile i →
Zeile j →
1 0
. ..
c −s . ..
s c
. ..
0 1
mit c= cosϕund s= sinϕ Q orthogonal, detQ= 1 =⇒
Q=Y
i<j
Qi,j
Drehung im Raum
x7→Qx= cosϕ x+ (1−cosϕ)uutx+ sinϕ u×x
mit normierter Drehachsenrichtung u, Drehwinkel ϕ (orientiert wie eine Rechtsschraube) und × dem Kreuzprodukt
Qu=u, cosϕ= (SpurQ − 1)/2 entsprechende Drehmatrix
Q: qik = cosϕ δik+ (1−cosϕ)uiuk+ sinϕX
j
εijkuj
95