Das Wazewski Prinzip

Das Wazewski Prinzip

Annika Schall

August 2007

Annika Schall Das Wazewski Prinzip

Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Notation

Im Folgenden sei

X ein topologischer Raum, ϕ:R×X −→X ein Fluß, I:= [0,1],

W ⊂X eine Teilmenge, und

W⁰:={x ∈W|∃t>0:ϕ(t,x)∈/ W}dieMenge aller AustrittspunktevonW unterϕ, und

W⁻:={x ∈W|ϕ([0,t),x)6⊂W,∀t>0}die Menge aller Punkte, dieW unterϕsofort verlassen.

Es gilt offensichtlichW⁻⊂W⁰⊂W

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Definition 1.1

Eine TeilmengeW ⊂X heißtDeformationsretraktvonX, falls es eine Abbildung

r :X×I−→W

gibt, mit

r(x,0) =x,∀x ∈Xr(x,1)∈W,∀x ∈Xr(w,1) =w,∀w ∈W. Dann istW 'X.

Fallsr(w,t) =w,∀t ∈I, so heißtW starker Deformationsretrakt vonX.

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Definition 1.2

Eine Funktionf :X −→Ristvon oben halbstetig, falls die Menge{x ∈X|f(x)< α}offen ist für alleα∈R. Sie heißtvon unten halbstetig, falls die Menge{x ∈X|f(x)> α}offen ist für alleα∈R.

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Proposition 1.3

Eine Funktionf :X −→Riststetig, falls sie sowohl von oben als auch von unten halbstetig ist.

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Definition 2.1

Eine MengeW ⊂X heißtWazewski Menge, falls gilt 1)x ∈W, ϕ([0,t),x)⊂W ⇒ϕ([0,t),x)⊂W 2)W⁻ist abgeschlossen inW⁰.

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Satz 2.2

Es seiW eine Wazewski Menge. Dann gilt:

i)W⁻ ist starker Deformationsretrakt vonW⁰und ii)W⁰ist offen inW.

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Korollar 2.3 (Wazewski Prinzip)

Es seiW eine Wazewski Menge undW⁻ kein starker

Deformationsretrakt vonW. Dann istW \W⁰6=∅, es existieren also Lösungen, die für allet ≥0 inW bleiben.

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Korollar 2.4

Es seiW eine kompakte Wazewski Menge undW⁻kein starker Deformationsretrakt vonW. Dann gilt

Inv(W, ϕ) ={x ∈W|ϕ(R,x)⊂W} 6=∅.

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Proposition 2.5

Es seiW eine Wazewski Menge und es seienW undW⁻ kubische Mengen. Wenn giltH∗(W,W⁻)6=∅, dann ist Inv(W, ϕ)6=∅.

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