Galois representations of orthogonal rigid local systems

VonderUniversitätBayreuth

zurErlangungdesGradeseines

DoktorsderNaturwissenshaften(Dr. rer.nat)

genehmigteAbhandlung

von

Mihael Shulte (geb. Maier)

ausKarlsruhe

1.Gutahter:Prof.Dr. MihaelDettweiler(UniversitätBayreuth)

2.Gutahter:Prof. Dr.StefanWewers(UniversitätUlm)

TagderEinreihung:17.April2012

TagdesKolloquiums:10.July2012

1 Introdution 5

1.1 Einleitung . . . 10

1.2 Aknowledgement. . . 15

1.3 EidesstattliheErklärungen . . . 16

1.4 Notation. . . 17

2 Preliminary Results 19 2.1 GaloisRepresentations . . . 19

2.2 ÉtaleFundamentalGroupFuntor

π ^´ ₁ ^et

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23}

2.3 WeilConjeture. . . 31

2.4 CrystallineRepresentations . . . 33

2.5 Semi-Simpliation . . . 39

3 Introdutionto

MC χ

⁴¹ 3.1 TheMiddle Convolution . . . 41

3.2 TheNumerologyof

MC χ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44}

3.3 Construtionof

H ^m,ℓ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47}

4 Hodge Struturesand MiddleConvolution 51 4.1 HodgeStrutures . . . 51

4.2 VariationsofHodgeStruture. . . 52

4.3 ExtensionsofVariationsofHodgeStruture . . . 54

5 MotiviDesriptionof

H ^m,ℓ

⁵⁷ 5.1 Setting. . . 57

5.2 TheMotiviInterpretationof

MC χ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59}

5.3 Appliationto

H m,ℓ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60}

5.4 Analytiationof

H ^m,ℓ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65}

6 Irreduibilityof

ρ m

⁶⁷ 6.1 LiftingIrreduibility . . . 67

6.2 Serre'sResultsonCharatersof

G Q

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68}

6.3 GroupsofLieType. . . 69

6.4 Irreduibilityofthemod-

ℓ

Representation . . . 73

7 Potential Automorphyof Speializations 79 7.1 LanglandsCorrespondene. . . 79

7.2 ModularLifting . . . 80

Bibliography 85

mathematis sine then. The onsideration of polynomials and the symmetries of their roots

bythe groupofautomorphismswasinitiatedbyGalois andmarksthe startingpoint ofmodern

numbertheory. The Galois groupof apolynomialenodes muh far-reahinginformation. But

what abouttheabsolute Galoisgroup

G Q

^{,whihisthegroupof}automorphismsofthealgebrai losureof

Q

^{? Itsstrutureisstill amysteryandfarfrombeing}well-understood.

In order to get partial answers, there are various dierent approahes. First we havea look at

thefatorgroupsof theabsoluteGaloisgroup. Espeiallythereistheunsolvedquestion,ifevery

nitegroupisofthistype,knownastheinverseGaloisproblem(see[MM99℄). Aseondpromising

approah are Galois representations, i.e. ontinuous homomorphisms of

G Q

^{to matrix groups}

GL n (Q _ℓ )

^{. Oftenitispossibletoonstruttheseinasimilarwayforall}

ℓ

^{,whihyieldsundersome}

irumstanesweaklyompatible systems. Thesearefamiliesof

ℓ

^-adiGaloisrepresentationsfor eahprimenumber

ℓ

^{. TheyhavethepropertythataFrobeniusmorphismismappedinsuhaway}

thatitsharateristipolynomialisrationalandindependentof

ℓ

^foralmostallrepresentations. It ispossibletodesribemanyarithmetiobjetsbyweaklyompatiblesystems,forexampleGalois

representationsontheTatemodulesofelliptiurves,whihare ruialtotheproof ofFermat's

onjeture,f. TheoremofWiles[Wil95℄.

The

ℓ

^{-adi Galois} representations have interesting onnetions in two diretions. First we an assign to an irreduible, weakly ompatible system of

ℓ

^-adiGalois representations an analyti funtion,knownas

L

^{-funtion. Ifthesystemisautomorphiits}

L

^{-funtionisequaltoananalyti}

L

^{-funtion. Thereforepropertieslikemeromorphi}ontinuationtothewholeomplexplaneand

thefuntionalequationanbetransferred. TheotherwayaroundtheLanglandsorrespondene

isonjetured(f. [BBG

+

03℄),whihsaysthateah

L

^{-funtionassoiatedtoaweaklyompatible}

system is obtained by suh an automorphi representation. This is still mostly unproven. In

[BLGGT10℄Barnet-Lamb,Gee,GeraghtyandTaylorreentlyprovidedsomeinterestingtoolsfor

proofsinthisdiretion.

The other onnetion is to geometry. In order to ontrol the Galois group, one often hooses

families of Galois representations given by lisse étale sheaves (see Corollary2.2.12). In suh

familiesitis possible togivefarreahing informationof theabsolute Galoisgrouponthestalks

bytopologial means,the soalled monodromy. Averyimportantaseare themotivifamilies

ofGaloisrepresentations,whihdesribevariationsof

ℓ

^{-adiohomologygroupsforvariable}

ℓ

^.

Anexampleisthevariationof

H _{´ et} ¹

^{oftheLegendre familyofelliptiurves}

E λ

^givenby

Y ² = X (X − 1)(X − λ)

on

A ¹ _Q \ { 0, 1 }

^{. Moregeneralforelliptiurves}

E

^theorrespondingGaloisrepresentationonthe rstohomology

ρ ℓ : G Q −→ GL(H _{´ et} ¹ ( E , Z ℓ )) ∼ = GL 2 (Z ℓ )  // GL 2 (Q _ℓ )

is dual to the Galois representation on the Tate module

T ℓ ( E )

^{. Serre's open image Theorem}

givesinformationonthesizeoftheimageoftherepresentation.

Théorème ([Ser72℄,(7) ):

If

E

^{is an ellipti urve without omplex} multipliation dened over a number eld

K

^and

ρ ℓ : G K −→ GL 2 (Q _ℓ )

^{the orresponding} representation, then for almost all prime numbers

ℓ

wehave

im (ρ ℓ ) = GL 2 (Z ℓ ).

Let

λ

^{beageometri pointwhih isdened over}

Q

^{suh that}

E ^λ

^hasnoomplexmultipliation.

Then the speialization

H _{´ et} ¹ ( E λ , Q _ℓ )

^{is a}

G Q

^{-module on whih thegroup}

G Q

^{ats maximally for}

almostall

ℓ

^.

The seond important property is that we get a weakly ompatible system of representations

(ρ ℓ ) ℓ

^{prime whih is automorphi in the sense of the Langlands program. This was shown in}

2001 by Breuil, Conrad, Diamond, Taylor [BCDT01℄ and Wiles [Wil95℄ in the proof of the

Taniyama-Shimura-Weilonjeture, whih isnowknownasmodularity theorem, and istrue for

allelliptiurves.

Theambitionofthisworkisto provesimilarresultsforhigherdimensional generalizationsofthe

Legendrefamily. Thekeyobservationis thatthemonodromyof theLegendrefamilyisgivenby

a rigid loal system whih is the solution of aPiard-Fuhs equation, a speial hypergeometri

dierentialequation:

λ(1 − λ)f ^′′ + (1 − 2λ)f ^′ − 1 4 f = 0.

Inthisontext,rigidmeansthattheloalsystemadmitsnodeformations,whihisequivalentto

rig( F ) = 2

^{ifthesystemisirreduible(seeTheorem3.1.5).}

In general it is possible to desribe rigid loal systems by Katz' theory of middle onvolution

MC χ

^{(Chapters5,6 of [Kat96℄). Let}

χ : π ^´ ₁ ^et (G m,K ) −→ Q ℓ

×

bea geometrially non-trivialone

dimensional representation and

F

^{a lisseétale sheaf on}

A ¹ _K \ S

^{, where}

S ⊆ A ¹ _K

^{is nite. Then}

oneobtainsalisseétalesheaf

MC χ ( F )

^on

A ¹ _K \ S

^{. If}

F

^{isirreduibleandrigid, then}

MC χ ( F )

^is

irreduibleandrigidaswellbut usually

rk(MC χ ( F )) 6 = rk( F )

^.

n ∈ N 0

^{, loal systems}

L 0 , . . . , L n

^of

Q _ℓ

^{-modules of rank one on}

A ¹ _K \ S

^and representations

χ 1 , . . . , χ n : π ^{´ et} ₁ (G m,K ) −→ Q ℓ

×

,suhthat

F = L ⁿ ⊗ MC χ n ( . . . L ² ⊗ MC χ 2 ( L ¹ ⊗ MC χ 1 ( L ⁰ ) ) . . . ).

For

S = { 0, 1 }

^if

L ⁰

^{hasmonodromytuple}

( − 1, − 1, 1)

^{(f. Chapter2.2)and}

χ = −1

^,theunique

quadratiharater,wegettheLegendrefamily

MC − 1 ( L 0 )

^{. Thisisthestartingpointofaninnite}

family

( H ^m,ℓ ) m∈N 0

^{ofloalsystemsof}

Q ℓ

^-modulson

A ¹ _K

^with

i ^∗ H ^m,ℓ = L ⁿ ⊗ MC − 1 ( . . . L ² ⊗ MC − 1 ( L ¹ ⊗ MC − 1 ( L ⁰ ) ) . . . ),

where we have

i : A ¹ _K \ { 0, 1 }  // A ¹ _K

^and

L ^j

^{with monodromy tuple}

(1, − 1, − 1)

^for

j

^odd

respetively

L j

^with

( − 1, 1, − 1)

^for

j 6 = 0

^{even. Thisonstrutionyieldsthefollowingresult:}

Theorem(f. 3.3.1)

Let

ℓ

^{be aprime number and}

K

^analgebraially losed eld with har

(K) ∤ 2ℓ

^{. Then, for any}

m ∈ N 0

^thereexistsaohomologiallyrigid

H m,ℓ ∈ T _ℓ (K)

^ofgenerirank

m+1

^,a

Q _ℓ

^-sheafon

A ¹ _K

whihislisseon

i : A ¹ _K \{ 0, 1 }  // A ¹ _K

^{. If}

m

^iseven,then

H ^m,ℓ

^{hasorthogonalmonodromy,and}

if

m

^{is odd,}

H m,ℓ

^{has sympleti monodromy, i.e. there isan orthogonal} respetively sympleti pairing

H m,ℓ × H m,ℓ −→ Q _ℓ .

The monodromytuple of

i ^∗ H ^m,ℓ

^{has the followingJordannormal form:}

at

0

^:

J 1 (1) ^{m 2} ⊕ J 1 ( − 1) ^{m 2 +1} for 2 | m, J 2 (1) ^{m+1 2} for 2 ∤ m,

at

1

^:

J 2 (1) ^{m 2} ⊕ J 1 ( − 1) for m ≡ 0 mod 4, J 1 (1) ^{m−1 2} ⊕ J 2 ( − 1) ⊕ J 1 ( − 1) ^{m−1 2} for m ≡ 1 mod 4, J 3 (1) ⊕ J 2 (1) ^{m 2 −1} for m ≡ 2 mod 4, J 2 (1) ⊕ J 1 (1) ^{m−3 2} ⊕ J 1 ( − 1) ^{m+1 2} for m ≡ 3 mod 4,

at

∞

^:

J m+1 (1).

Here

J n (λ)

^{denotestheuppertriangularJordanblokoflength}

n

^{andeigenvalue}

λ

^.

We want to note that the ase

rk( H 6,ℓ ) = 7

^{is of speial interest. Its} examination answered a questionof Serre onthe existene ofmotivi Galois groupsof type

G 2

^{(f. [Ser94℄). By this it}

was possibleto onstrut suh motives (f. Dettweiler, Katz and Reiter [DR10℄). The motivi

desriptionof rigid loal systemsby Katzyields lisseétale sheaves

H m,ℓ

^{, whose} analytiations omefromvariationsofHodgestruture.

Theorem(f. 5.4.3)

Let

H ^m,ℓ

^{beasinTheorem 3.3.1. Then thereexistsaloal systemof}

Z

^-modules

G ^m

^on

A ¹ _C \ { 0, 1 }

underlying apolarized variation of

Z

^{-Hodge struture}

( G m , F ^• , ∇ )

^on

C \ { 0, 1 }

^{pureof weight}

m

suhthat

( i ^∗ H m,ℓ ) ^an ∼ = G m ⊗ Q _ℓ .

Theinduedisomorphismonthestalks

( i ^∗ H ^m,ℓ ) ^an _x ∼ = G ^m ⊗ Q ℓ

x

^for

x ∈ C \ { 0, 1 }

^{isgiven bythe}

omparisonisomorphism betweenétale ohomology andsingularohomology:

1

2 (1 − σ)ker H _{´ et} ^m ( X ^x , Q _ℓ ) → H _{´ et} ^m ( D ^x , Q _ℓ ) ∼ = 1

2 (1 − σ)ker (H _B ^m ( X (C) x , Z) → H _B ^m ( D (C) x , Z)) ⊗ Q _ℓ .

Moreover,the Hodge ltrationof

G m

^{has maximallength.}

In this way we get, as in the Legendre ase, families of weakly ompatible systems of Galois

representations

ρ m

^of

Q

^bythree transformations,namely by tensoring itwith its determinant, speializinglikeinTheorem6.4.1andnallysemi-simpliation:

ρ m = (ρ m,ℓ ) ℓ

^prime

:= ((ρ i ^∗ H m,ℓ ⊗ det(ρ i ^∗ H m,ℓ )) ◦ ι x ) ^ss

ℓ

^prime

.

Here

ι x : G K  // π ^{´ et} ₁ (A ¹ _K \ { 0, 1 } )

^{denotes the}speializationmap for axed

x ∈ A ¹ _K \ { 0, 1 }

^,

whihomes from themorphism

{ x }  // A ¹ _K \ { 0, 1 }

^{(f. Setion2.2). These} representations

ρ m

^{havethepropertythat theyfatorover}

Z ℓ

^{andoveraspeialorthogonalgroupforeven}

m

^or

asympletigroupforodd

m

^.

If

m

^{is even, bytensoring theinitial systemof} representationswiththe ylotomi harater

χ ℓ

tothepower

m

2

^{wegetsystemsofweight}

0

representations. Theredutionmod

ℓ

^{isdened as}

d

ρ m,ℓ := ρ i ^∗ H m,ℓ ⊗ det(ρ i ^∗ H m,ℓ )

⊗ χ _ℓ ^{m 2} : π _´ ¹ _et (A ¹ _Q \ { 0, 1 } ) −→ SO m+1 (F ℓ ).

Theorem(f. 6.4.1)

Let

x ∈ A ¹ _Q \ { 0, 1 }

^{, suh that there exist odd prime numbers}

p, q 6 = ℓ

^satisfying

ν p (x) < 0

^but

ℓ ∤ ν p (x)

^and

ν q (x − 1) > 0

^but

ℓ ∤ ν q (x − 1)

^{. Then the followingholds:}

If

m ∈ N 0

^{even and}

m ≥ 12

^then

Ω m+1 (F ℓ ) ⊆ im ( ρ d m,ℓ ◦ ι x )

^{for almost all prime numbers}

ℓ

^,

where

ρ d m,ℓ ◦ ι x : G Q −→ SO m+1 (F ℓ )

^isthe speialization at

x

^.

If

m = 6

^{thenfor almostall}

ℓ

^,wehave

im ( ρ d m,ℓ ◦ ι x ) = G 2 (F ℓ )

Theorem([BLGGT10℄,Thm.5.3.1):

Suppose that

K

^{isa CM (or totally real) eld and that}

(ρ ℓ ) ℓ

^{prime is an} irreduible, totally odd, essentially onjugate self-dual, regular, weakly ompatiblesystem of

ℓ

^-adi representations of

K

^.

Then there is a nite, CM (or totally real), Galois extension

L | K

^{suh that the restrition of}

(ρ ℓ ) ℓ

^{prime to}

G L

^isautomorphi.

ThemotividesriptionofrigidloalsystemsbyKatzshowsthatthesesystemsofrepresentations

are rystalline for almost all prime numbers

ℓ

^{. Under the} assumptions of Theorem 6.4.1 using the work of Barnet-Lamb, Gee, Geraghtyand Taylor,weobtain thefollowingresult. A weaker

statementwasprovedin[GMHK10℄.

Theorem(f. 7.2.4)

For

m = 6

^or

m ∈ N 0

^even,

m ≥ 12

^and

K = Q

^the irreduible, weakly ompatible system

ρ m = (ρ m,ℓ ) ℓ

^{prime ofGalois} representationsispotentiallyautomorphi.

1.1 Einleitung

Die rationalen Zahlen sind bereits seit über 5000 Jahren bekannt und stellen seither einen

der Grundbausteine der Mathematik dar. Der Beginn der modernen Zahlentheorie war die

ÜberlegungvonGalois,seinenBlikaufdieSymmetrienderNullstellenvonPolynomendurhdie

BetrahtungihrerAutomorphismengruppenzurihten.DieGaloisgruppeeinesPolynomsenthält

vieleweitreihendeInformationen. Doh dienaheliegende Fragenahder Strukturderabsoluten

Galoisgruppe

G Q

^{, d.h. der Gruppe der} Automorphismen des algebraishen Abshlusses von

Q

^,

konnte bisheutenihtbeantwortetwerden.

Um wenigstens teilweise Antworten für dieses Problem zu erhalten, kann man auf viele

untershiedlihe Arten vorgehen. Zum einen betrahtet man die Faktorgruppen der absoluten

Galoisgruppe. Hierbei stellt sih insbesondere die Frage, ob jede endlihe Gruppe eine solhe

ist - bekannt als das inverse Galoisproblem [MM99℄. Ein zweiter viel versprehender Ansatz

ist die Beshäftigung mit Galoisdarstellungen, d.h. stetigen Homomorphismen von

G Q

ⁱⁿ

Matrizengruppen. Oftist esmöglih,diese füralle

ℓ

^{ähnlih zu}konstruieren,wasdadurh unter gewissenEigenshaftenzusogenanntenshwahkompatiblenSystemenführt.DieseSystemesind

Familien von

ℓ

^-adishenGaloisdarstellungenfürjede Primzahl

ℓ

^{.Sie habendie} Eigenshaft, dass ein Frobenius Morphismus so abgebildet wird, dass sein harakteristishesPolynom fast immer

rational und unabhängig von

ℓ

^{ist. Viele} arithmetishe Objekte lassen sih hierdurh konkret beshreiben. Ein Beispielhierfür sind Galoisdarstellungenauf dem Tatemoduleiner elliptishen

Kurve, welhe beim BeweisvonFermats Vermutung, dem Satz vonWiles [Wil95℄, einewihtige

Rollespielen.

Die

ℓ

^-adishen Galoisdarstellungenhaben in zwei Rihtungen interessante Anknüpfungspunkte.

Zu einem irreduziblen, shwah kompatiblen System von

ℓ

^-adishen Galoisdarstellungen lässt sih eine analytishe Funktion,

L

^{-Funktion genannt,} konstruieren.Wenn dasSystem automorph ist, entspriht seine

L

^{-Funktion einer} analytishen

L

^{-Funktion. Damit übertragen sih}

bekannterweise Eigenshaften, wiedie Funktionalgleihung und die meromorpheFortsetzbarkeit

auf die gesamtekomplexeZahlenebene. Umgekehrtwird die Langlandskorrespondenz[BBG

+

03℄

vermutet, nämlih dass auh jede

L

^{-Funktion von solhen} Darstellungen herrührt. Diese VerbindungistinweitenTeilennohunbewiesen.Barnet-Lamb,Gee,GeraghtyundTaylorhaben

jedoh in [BLGGT10℄ kürzlih einige interessante Werkzeuge für Beweise der Automorphie von

shwahkompatiblenSystemenbereitgestellt.

DieandereVerbindungistdiezurGeometrie.UmdieGaloisgruppezukontrollieren,wähltmanoft

FamilienvonGaloisdarstellungen,welhedurhglatteétaleGarbengegebensind(sieheCorollary

2.2.12). In solhen Familien erhält man mit einem rein topologishen Mittel, der sogenannten

Monodromie, weitreihende Informationen über die Operation der absoluten Galoisgruppe auf

den Halmen. Besondersbedeutend sindmotivishe Familien vonGaloisdarstellungen,welhedie

Variationvon

ℓ

^-adishenKohomologiegruppenfürvariables

ℓ

beshreiben.

AlsBeispielseihierdieVariationvon

H _{´ et} ¹

^derLegendre-FamilievonelliptishenKurven

E λ

^gegeben

durh

Y ² = X (X − 1)(X − λ)

über

A ¹ _Q \ { 0, 1 }

^{genannt.AllgemeinistfürelliptisheKurven}

E

^{diezugehörige}Galoisdarstellung aufdererstenKohomologie

ρ ℓ : G Q −→ GL(H _{´ et} ¹ ( E , Z ℓ )) ∼ = GL 2 (Z ℓ )  // GL 2 (Q _ℓ )

dualzurGaloisdarstellungaufdemTatemodul

T ℓ ( E )

^{.SerresopenimageSatz,(7)in[Ser72℄,gibt}

eineweitreihendeAussageüberdieGröÿederBilderdieserDarstellungen.

Théorème ([Ser72℄,(7) ):

Ist

E

^{eineübereinemZahlkörper}

K

^{denierteelliptishe Kurveohne komplexe}Multiplikationmit zugehörigerDarstellung

ρ ℓ : G K −→ GL 2 (Q ℓ )

^{,sogiltfür fastalle Primzahlen}

ℓ

im (ρ ℓ ) = GL 2 (Z ℓ ).

Sei

λ

^eingeometrisherPunkt, dersoüber

Q

^{deniertist,dass}

E ^λ

^{keinekomplexe}Multiplikation besitzt. Dann sind die Spezialisierungen

H _{´ et} ¹ ( E λ , Q _ℓ ) G Q

^{-Moduln, auf denen die Gruppe}

G Q

^für

fastalle

ℓ

^{sogroÿwiemöglihoperiert.}

Des Weiteren ergibt sih so ein shwah kompatibles System von Darstellungen

(ρ ℓ ) ℓ prim

^,

welhes automorphim Sinne des Langlandsprogrammes ist. Diese Eigenshaft zu zeigen gelang

2001 Breuil, Conrad, Diamond, Taylor [BCDT01℄ und Wiles [Wil95℄ durh den Beweis der

Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, die damit zum Modularitätssatz wurde. Sie gilt allgemein

fürelliptisheKurven.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es nun, diese Resultate für höherdimensionale

VerallgemeinerungenderLegendre-Familiezuzeigen.Eine Shlüsselbeobahtungisthierbei,dass

die Monodromieder Legendre-Familie durh ein starreslokales System gegeben ist, welhesdie

LösungeinerPiard-Fuhs-Gleihung,einerspeziellen hypergeometrishenDierentialgleihung,

λ(1 − λ)f ^′′ + (1 − 2λ)f ^′ − 1 4 f = 0

beshreibt. Starr heiÿt hier, dass das lokale System keine Deformationen zulässt, was im

irreduziblenFallzufolgenderGleihungäquivalentist:

rig( F ) = 2

^{(siehe Theorem3.1.5).}

AllgemeinkannmanstarrelokaleSystememitHilfederKatzshenTheoriederMittlerenFaltung

MC χ

^{(Chapter5,6von[Kat96℄)}beshreiben.Dabeiist

χ : π ₁ ^{´ et} (G m,K ) −→ Q _ℓ ^×

^eineniht-triviale eindimensionaleDarstellungund

F

^eineGarbeauf

A ¹ _K \ S

^{,so dass}

S ⊆ A ¹ _K

^{endlih ist.Wenn}

F

irreduzibelundstarrist,soist

MC χ ( F )

^wiederirreduzibelundstarrmiti.a.

rk(MC χ ( F )) 6 = rk( F )

^.

Zusammengefasst ergibt sih so die folgende konstruktive Aussage, die auh häug als

Katz-Algorithmusbezeihnetwird:

Theorem([Kat96℄):

Ist

F

^ein irreduzibles starres lokales System von

Q _ℓ

^{-Moduln auf}

A ¹ _K \ S

^{, so gibt es}

n ∈ N 0

^,

lokale Systeme

L ⁰ , . . . , L ⁿ

^von

Q ℓ

^{-Moduln von Rang eins auf}

A ¹ _K \ S

^und Darstellungen

χ 1 , . . . , χ n : π ^{´ et} ₁ (G m,K ) −→ Q _ℓ ^×

^,sodass

F = L n ⊗ MC χ n ( . . . L 2 ⊗ MC χ 2 ( L 1 ⊗ MC χ 1 ( L 0 ) ) . . . ).

Für

S = { 0, 1 }

^{, falls}

L 0

Monodromie-Tupel

( − 1, − 1, 1)

^{hat und}

χ = −1

^{, dem} eindeutigen quadratishen Charakter, ergibt sih durh

MC − 1 ( L ⁰ )

^die Legendre-Familie. So entsteht eine unendliheFamilie

( H m,ℓ ) m∈N 0

^{vonlokalenSystemenvon}

Q _ℓ

^-Modulnauf

A ¹ _K

^mit

i ^∗ H m,ℓ = L n ⊗ MC − 1 ( . . . L 2 ⊗ MC − 1 ( L 1 ⊗ MC − 1 ( L 0 ) ) . . . ),

wobei

i : A ¹ _K \ { 0, 1 }  // A ¹ _K

^und

L j

^mitMonodromie-Tupel

(1, − 1, 1)

^{fürungerades}

j

^bzw.

L j

mit

( − 1, 1, 1)

^fürgerades

j 6 = 0

^.DieseKonstruktionführtzufolgendemErgebnis:

Theorem(siehe3.3.1)

Für eine Primzahl

ℓ

^{und einen algebraish} abgeshlossenen Körper

K

^{mit har}

(K) ∤ 2ℓ

^gibt

es für jedes

m ∈ N 0

^eine kohomologish starre

Q ℓ

^-Garbe

H ^m,ℓ

^auf

A ¹ _K

^{von generishem Rang}

m + 1

^{, welhe glatt auf}

i : A ¹ _K \ { 0, 1 }  // A ¹ _K

^{ist. Ist}

m

^{gerade, so besitzt}

H m,ℓ

orthogonale Monodromie, und ist

m

^ungerade, symplektishe Monodromie, d.h. es gibt eineorthogonale bzw.

symplektishe Paarung

H m,ℓ × H m,ℓ −→ Q _ℓ .

DasMonodromie-Tupelvon

i ^∗ H m,ℓ

^{hat diefolgenden Jordanshen}Normalformen:

an

0

^:

J 1 (1) ^{m 2} ⊕ J 1 ( − 1) ^{m 2 +1}

^für

2 | m, J 2 (1) ^{m+1 2}

^für

2 ∤ m,

an

1

^:

J 2 (1) ^{m 2} ⊕ J 1 ( − 1)

^für

m ≡ 0 mod 4, J 1 (1) ^{m−1 2} ⊕ J 2 ( − 1) ⊕ J 1 ( − 1) ^{m−1 2}

^für

m ≡ 1 mod 4, J 3 (1) ⊕ J 2 (1) ^{m 2 −1}

^für

m ≡ 2 mod 4, J 2 (1) ⊕ J 1 (1) ^{m−3 2} ⊕ J 1 ( − 1) ^{m+1 2}

^für

m ≡ 3 mod 4,

an

∞

^:

J m+1 (1).

Hierbeibezeihnet

J n (λ)

^{denoberenJordanblokderLänge}

n

^{zum Eigenwert}

λ

^.

An dieser Stelle kann konstatiert werden,dass vor allem derFall

rk( H 6,ℓ ) = 7

^{von besonderem}

Interesse ist. Seine Betrahtung gab Antwort auf eine Frage von Serre nah der Existenz von

motivishenGaloisgruppenvomTyp

G 2

^{.Sogelanges(siehe}Dettweiler,KatzundReiter[DR10℄), einsolhes Motivzu konstruieren.DiemotivisheBeshreibung derstarrenlokalenSystemevon

KatzergibtglatteétaleGarben

H ^m,ℓ

^derenAnalytizierungenvonVariationenvonHodgeStruktur herrühren.

Theorem(siehe5.4.3)

Sei

H ^m,ℓ

^{wie in Theorem3.3.1, so gibt es ein lokales System von}

Z

^-Moduln

G ^m

^auf

A ¹ _C \ { 0, 1 }

^,

demeinepolarisierte Variationvon

Z

^{-HodgeStruktur}

( G m , F ^• , ∇ )

^auf

C \ { 0, 1 }

^{reinvonGewiht}

m

^{zuGrundeliegt, sodass}

( i ^∗ H m,ℓ ) ^an ∼ = G m ⊗ Q _ℓ .

Der induzierte Isomorphismus auf den Halmen

( i ^∗ H ^m,ℓ ) ^an _x ∼ = G ^m ⊗ Q ℓ

x

^für

x ∈ C \ { 0, 1 }

ist durh den Vergleihsisomorphismus zwishen der étalen Kohomologie und der singulären

Kohomologie gegeben:

1

2 (1 − σ)ker H _{´ et} ^m ( X x , Q _ℓ ) → H _{´ et} ^m ( D x , Q _ℓ ) ∼ = 1

2 (1 − σ)ker (H _B ^m ( X (C) x , Z) → H _B ^m ( D (C) x , Z)) ⊗ Q _ℓ .

Insbesondere hatdie HodgeFiltrierung von

G ^m

^{maximaleLänge.}

Aufdiesem Weg erhältman wieimLegendre-FalleineFamilievonGaloisdarstellungen

ρ m,ℓ

^von

Q

^{durh folgende drei T}ransformationen. Dies wird erreiht, indem man mit der Determinante tensoriert,wiein Theorem6.4.1passendspezialisiertundshlieÿlihverhalbeinfaht:

ρ m = (ρ m,ℓ ) ℓ prim := ((ρ i ^∗ H _m,ℓ ⊗ det(ρ i ^∗ H _m,ℓ )) ◦ ι x ) ^ss

ℓ prim .

Hierbeibezeihnet

ι x : G _K  // π ₁ ^{´ et} (A ¹ _K \ { 0, 1 } )

^die Spezialisierungsabbildungzueinem festen

x ∈ A ¹ _K \ { 0, 1 }

^{,die vomMorphismus}

{ x }  // A ¹ _K \ { 0, 1 }

^{herrührt(siehe Setion2.2). Diese}

Darstellungen haben die Eigenshaft, dass sie über

Z ℓ

^{und für gerades}

m

^{über die spezielle}

orthogonaleoderfürungerades

m

^überdiesymplektisheGruppefaktorisieren.

Falls

m

^{geradeist,erhältman}DarstellungenvonGewiht

0

^,indemmandieursprünglihenSysteme von Darstellungen mit der

m

2

^{-Potenz des} zyklotomishen Charakters tensoriert. Die Reduktion

modulo

ℓ

^{istdeniertals}

d

ρ m,ℓ := ρ i ^∗ H m,ℓ ⊗ det(ρ i ^∗ H m,ℓ )

⊗ χ _ℓ ^{m 2} : π _´ ¹ _et (A ¹ _Q \ { 0, 1 } ) −→ SO m+1 (F ℓ ).

Theorem(siehe6.4.1)

Sei

x ∈ A ¹ _Q

^{,so dass ungerade Primzahlen}

p, q 6 = ℓ

existieren, die

ν p (x) < 0

^aber

ℓ ∤ ν p (x)

^und

ν q (x − 1) > 0

^aber

ℓ ∤ ν q (x − 1)

^{erfüllen.Danngilt:}

Für

m ∈ N 0

^{gerade und}

m ≥ 12

^gilt

Ω m+1 (F ℓ ) ⊆ im ( ρ d m,ℓ ◦ ι x )

^{fürfast allePrimzahlen}

ℓ

^,wobei

d

ρ m,ℓ ◦ ι x : G Q −→ SO m+1 (F ℓ )

^die Spezialisierung an

x

^ist.

Dies erlaubt es so zu spezialisieren, dass wir eine irreduzible Darstellung erhalten. Shlieÿlih

ergibtTheorem 7.2.2unddiemotivisheBeshreibung inKapitel 5die Automorphieübereinem

Zahlkörper.

Theorem([BLGGT10℄,Thm.5.3.1):

Sei

K

^{ein CM (oder total reeller) Körper und}

(ρ ℓ ) ℓ prim

^ein irreduzibles, total ungerades, essentiellkonjugiert selbstduales,reguläres,shwah kompatiblesSystem

ℓ

^-adisherDarstellungen von

K

^{. Dann gibt es eine endlihe CM (oder total reelle) Galois} Erweiterung

L | K

^{, so dass die}

Einshränkung von

(ρ ℓ ) ℓ prim

^auf

G L

^{automorph ist.}

Aus der motivishe Beshreibung der starren lokalen Systeme von Katz ergibt sih, dass diese

SystemevonDarstellungenfürfastallePrimzahlen

ℓ

^{kristallinsind.}

UnterdenVoraussetzungenvonTheorem6.4.1undBenutzungderErgebnisse vonBarnet-Lamb,

Gee,GeragthyundTaylor,erhaltenwirdasfolgendeResultat.EineshwähereAussagewurdein

[GMHK10℄bewiesen.

Theorem(siehe7.2.4)

Für

m = 6

^oder

m ∈ N 0

^gerade,

m ≥ 12

^und

K = Q

^istdasirreduzible,shwahkompatibleSystem

ρ m := (ρ m,ℓ ) ℓ prim

^von Galoisdarstellungen potentiell automorph.

1.2 Aknowledgement

AboveallIwould liketothankmyadviserProf.Dr.M.Dettweilerasithasbeenanhonortobe

hisrstdotoralstudent. Heintroduedmetonumbertheoryandinspiredmebyhisinteresting

researhonGaloisrepresentationsonstrutedbymiddleonvolution. Moreoverthisworkwould

nothavebeenpossiblewithouthis onstantontributionoftime,ideas,funding, motivationand

oee.

TheheartysupportofProf. Dr.B.H. Matzatwasfarinexessofthenaningofmywork. His

arefor thestateof mythesisand myproessinggavethe bakground,whih is neessaryfora

projetlikethis. It wasdue to Prof. Dr. F. Herrlih whoreommendedthe algorithmialgebra

work groupinHeidelberg,that Ionludedtodomathematisbeyondmydiploma.

BesidetheolleaguesinHeidelberg,theworkgroupnumbertheoryinBayreuthwasveryimportant

andIowetobothalot,beauseoftheinspiringdisussionsonthesubjetofthework.Inpartiular

I wanttothankStefan Reiterforhis suggestionsin thenal phaseofmyworkandthe dierent

arefulproofreadersfortheirorretionsandannotationsbothonsubjetandform:

Sebastian Basten,AndreasMaurishat,JuliaOllesh,ElisabethPlewa,

ChristianRüsho,UteShulte,ZhiyiTang,DenisVogel.

Thanksto all myother friendsfor supporting my, bytheirunderstanding of myabsene of free

time. FortheearlyonveyaneinmathematiswassurelyduetomyparentsBarbaraandRainer

Maier,whoarmed mealwaysin mystudiesand pursuitofknowledge. LongbeforeI knewthe

multipliationtable,Iknewthewordmatrixduetothediplomathesisofmymother[Sh74℄. And

IwanttothankmysisterNinaReinhardt,asshealwaysfoundtherightwordstosupportme.

This work isadditedto myveryspeial girlfriendViolaCaspariforher loveandpatiene. She

wastherewhenIneededhermostandontinuouslyenouragedmetodomybest. Withoutherit

wouldnothavebeenpossibletonishthiswork,asshegavemethereason. Sheisthebestthing

thateverhappenedtomeinmylife.

1.3 Eidesstattlihe Erklärungen

Hiermit versihereih, dass ih die hier vorliegende zurPromotion eingereihte Arbeit mit dem

Titel Galois representations of orthogonal rigid loal systems selbstständig verfasst, nur die

angegebenenQuellenund Hilfsmittel benutzt undwörtlihoder inhaltlih übernommene Stellen

alssolhegekennzeihnethabe.Ih versihereanEidesstatt, dassdieseAngabenwahrsindund

dassihnihtsvershwiegenhabe.Miristbekannt,dassdiefalsheAbgabeeinerVersiherungan

EidesstattmitFreiheitsstrafebiszudreiJahrenodermitGeldstrafebestraftwird.

Bayreuth,den 16.April2012

Hiermit erkläre ih, dass ih bisher keine Promotionsversuhe mit dieser oder einer anderen

Dissertationunternommenhabe.DieArbeitwurdebisherwederimIn-noh Auslandin gleiher

oderähnliherFormeineranderenPrüfungsbehördevorgelegt.

Bayreuth,den 16.April2012

Hiermit bestätige ih, dass ih keinerlei Hilfe von gewerblihen Promotionsberatern bzw.

-vermittlernoderähnlihenDienstleisterninAnspruhgenommenhabe,nohkünftiginAnspruh

nehmenwerde.

Bayreuth,den 16.April2012

1.4 Notation

N = { 1, 2, . . . }

^{naturalnumbers}

N 0 = { 0, 1, 2, . . . }

^{naturalnumberswithzero}

K, L

^elds

K

^{algebrailosureof}

K

K ^sep

^{separablelosureof}

K

ⁱⁿ

K

G K = Gal(K ^sep /K)

^{absoluteGaloisgroupof}

K

Σ K

^{setofniteplaesof}

K

K v

^ompletionof

K

^at

v

k v

^residueeldof

K

^at

v

C v = ˆ K v

^{theompletionofthealgebrailosureof}

K v

I w

^{inertiagroupat}

w ∈ Σ L \ { 0 }

^{foraeldExtension}

L/K I _K ^tame := π ₁ ^tame (G m,K )

^{tameinertia groupasin Denition2.2.4}

K _v ^nr

^{maximalunramiedextension}

A _K , I _K

adeleringof

K

^{andidelegroupof}

K

ℓ

^primenumber

χ

^onedimensional

ℓ

^-adiGaloisrepresentation

χ ℓ

^{ylotomiharater}

1, −1

^{trivialandquadratirankone}representation

L ^χ

^{Kummersheafassoiatedto}

χ

L

^{middleextensionsheafon}

A ¹ _K

MC χ

^{middleonvolutionfuntorasin Denition3.1.2}

MT L

^{middletensorprodutasin Denition3.1.6}

T _ℓ (K)

^{ategoryofspeial}

Q _ℓ

^{-sheavesasin Denition3.1.3}

i : U  // A ¹ _K

^{inlusionofanopendensesubsetoftheaneline}

R

^{ommutativeringwith}

1

M (m × n, R) m

^times

n

^{matriesoverthering}

R

GL(V )

^{groupofinvertible}endomorphismsofthevetorspae

V A ⁿ _K , G a,K , G m,K , GL n (K), SL n (K)

^{algebraigroups}

O

n (K)

^{orthogonalgroup}

SO n (K)

^{speialorthogonalgroup}

Ω n (K)

^{derivedgroupof}

SO n (K)

Sp _n (K)

^{sympletigroup}

G 2 (K)

^{asporadigroup}

J n (λ)

^{uppertriangularJordanblokoflength}

n

^{andeigenvalue}

λ ι x

speialization mapto

x

^{(f. Setion 2.2)}

H ^m,ℓ

^speial

Q ℓ

^{-sheafonstrutedin Setion3.3}

ρ m,ℓ : G K −→ GL m+1 (Q _ℓ ) ℓ

^-adiGaloisrepresentationonstrutedinSetion7.2

d

ρ m,ℓ : π ₁ ^{´ et} (A ¹ _Q \ { 0, 1 } ) −→ SO m+1 (F ℓ )

^weight

0

representationof

π ^{´ et} ₁ (A ¹ _Q \ { 0, 1 } )

^{(seeSetion6.4)}

oneptsandtheoremsloselyrelatedto Galoisrepresentations.

2.1 Galois Representations

Let

K

^{beaeldanddenoteanalgebrailosureby}

K

^{. If}

L/K

^{isaGaloisextension(notneessarily}

nite), we getthe Galois group

Gal(L/K) := Aut K (L)

^{. The group is equipped with anatural}

topology,theKrulltopology. Thisistheasebeause

Gal(L/K)

^{isatopologialgroupasprojetive}

limitofthedisreteniteGaloisgroupsoftheniteGaloissubextensions. Thereforetheabsolute

Galoisgroup

G K := Gal(K ^sep /K)

^{isapronitegroup,where}

K ^sep

^{denotestheseparablelosure}

of

K

ⁱⁿ

K

^{. We will regardall ourring algebraiextensions of}

K

^{as subeldsof}

K

^{. If}

K

^{is a}

perfeteld,thealgebraiandtheseparablelosureoinide.

For axed prime number

ℓ

^{, wehavethe}

ℓ

^-adiintegers

Z ℓ := lim

←− Z/ℓ ⁿ Z

^{and the eld of}

ℓ

^-adi

rationalnumbers

Q ℓ := Quot(Z ℓ ) = Z ℓ [ ¹ _ℓ ]

^{,whihistheompletionof}

Q

^{withrespettothe}

ℓ

^-adi

disreteabsolute value. Thisvaluation extends uniquelyto thealgebrailosure

Q _ℓ

^{. The}

ℓ

^-adi

distanegivenbythisvaluationinduesfor

n ∈ N

^atopologyon

M (n × n, Q _ℓ )

^{. BesidetheZariski}

topologyon

GL n (Q ℓ )

^{wegettherebyanotherstrutureastopologialgroup,whihwewillusein}

thefollowingdenition. Thisyieldsanaturalontinuousationofthistopologial groupon

Q _ℓ ⁿ

equipped with any norm, espeially the

ℓ

^{-adi one. This onstrution of the}

ℓ

^{-adi topologyis}

suitableforanynitedimensional

Q _ℓ

^-vetorspae

V

^.

Forfurtherdetails onthefollowingdenitionssee[Ser68℄.

Denition2.1.1

Foraeld

K

^an

ℓ

^-adiGaloisrepresentationisahomomorphism

ρ : G K −→ GL(V )

of topologial groups from the absolute Galois group of

K

^{to the general linear group of anite}

dimensional

Q ℓ

^{-vetor spae}

V

^{equipped with the}

ℓ

^{-adi topology. The dimension of}

V

^{is alled}

the rank of

ρ

^.

This is the same as a

Q _ℓ

^{-vetor spae}

V

^{equipped with the}

ℓ

^{-adi topology and a ontinuous}

G K

-operation. Tworepresentations

ρ, ρ ^′ : G K −→ GL(V )

^areequivalent, if there exists alinear map

φ ∈ GL(V )

^suhthat

φ ⁻¹ ◦ ρ(g) ◦ φ = ρ ^′ (g)

^forall

g ∈ G K

^.

An important example of an

ℓ

^{-adi Galois} representation of

G Q

^{of rank one is the ylotomi}

harater

χ ℓ : G Q −→ GL 1 (Q _ℓ ) = Q _ℓ ^×

^{. Morepreisely, itmapsto}

Z ^× _ℓ

^{in thefollowingway: For}

eah

n ∈ N

^{,wehavealookattheylotomiextension}

Q(ζ ℓ ⁿ )

^{foraprimitive}

ℓ ⁿ

^{-th root ofunity}

ζ ℓ ⁿ

^{. Then}

Gal(Q(ζ ℓ ⁿ )/Q) ∼ = (Z/ℓ ⁿ Z) ^×

^{, whih anbehosenin suh away that it ts together}

with theisomorphismfor smaller

n

^. Independent of thehoies, weget aompatible systemof ontinuousgrouphomomorphismswhihgivesrisetotheharater.

Thisonstrutionanbegeneralizedtoaeld

K

^withharateristiunequalto

ℓ

^.

One of the main properties of the Galois representations

ρ H m,ℓ

^{onstruted in Setion 3.3 and}

Setion7.2istheexisteneofalongunipotentelementinitsimage.

Denition2.1.2

Wesay that arepresentation

ρ : G −→ GL(V )

^{for agroup}

G

^andan

n

-dimensional vetorspae

V

^{over a eld}

K

^{has a longunipotent element, if there exists an element}

g ∈ G

^{suh that the}

Jordan normalform of

ρ(g)

^is

J n (1)

^over

K

^,where

J n (1)

^{denotes a Jordanblokof length}

n

^to

the eigenvalue

1

^.

For agood introdution to the oneptsof algebrainumber theory, have alook at [Neu99℄. If

K

^{is anumbereld,i.e. anite extension of}

Q

^{, then}

Σ K

^{denotes theset of nite plaes, whih}

isthe set ofnormalizednon-arhimedeanvaluations of

K

^{. Weidentify}

Σ K \ { 0 }

^{withthe setof}

non-trivialprimeidealsof

O ^K

^{. For}

v ∈ Σ K \ { 0 }

^{wehavetwoelds: theniteeld}

k v := O ^K /v

ofharateristi

p v

^{andtheompletionviatheinduedmetri}

K v := Quot(lim

←− ( O K /v ⁿ ))

^,aseah

plaeorrespondstoanormalizeddisretevaluation.

Theadelering

A _K

^of

K

^{isdened as}

A _K := Y

v|∞

K v

| {z }

=: A _K,∞

× Y ^′

v∈Σ K \{0}

K v ,

where

A _K,∞

^{is the produt of the ompletions of}

K

^{aording to the valuation given by the}

Arhimedean plaes and

Q ′

is the restritedprodut, i.e. almost all entries are in the ringsof

integers

O K v

^{. Theidelegroup}

I _K

^{isthegroupofunits}

A ^× _K

^{oftheadele ring.}

For a nite Galois extension

L/K

^and

w ∈ Σ L \ { 0 }

^{suh that}

w | v

^{, i.e.}

w ⊇ v O L

^,

we obtain two anonial subgroups of the Galois group

Gal(L/K)

^{, the} deomposition group

D w := { σ ∈ Gal(L/K) | σw = w }

^{and a normal subgroup of}

D w

^{the inertia group}

I w := { σ ∈ D w | σ(x) − x ∈ w ∀ x ∈ O L }

^{. Fixing anembedding of}

K

ⁱⁿ

K v

^{, we get anatural}

embedding of

G K v

ⁱⁿ

G K

^{, whih orrespondsto hoosinganite plae}

w

ⁱⁿ

K

^extending

v

^and

thereforexing

G K v

^asaspeideompositiongroup

D w

^{. Setting}

l w := O L /w

^{,wehaveashort}

exatsequeneofnite groups

1 −→ I w −→ D w −→ Gal(l w /k v ) −→ 1.

Foraniteplae

w 6 = 0

^of

L

^{thereisauniqueniteplae}

v

^of

K

^,suhthat

w | v

^{. Theextension}

L/K

^{isalledunramiedat}

w

^if

[L : K] = [l w : k v ]

^{. Inthisasewehave}

I w = 1

^{. Foraniteplae}

v 6 = 0

^of

K

^{multiple nite plaes}

w

^of

L

^{mayexist,suh that}

w | v

^{. Theeld extension}

L/K

^is

alledunramiedat

v

^if

[L : K] = [l w : k v ]

^foreahofthem(equivalentlyoneofthem,aswehave aGalois extension). Otherwisethe nite plaes are alled ramiedand for eah suh extension

thereisonlyanite numberofthem.

For a general eld

K

^and

L

^{an algebrai extension,}

L/K

^{is unramied at a} non-arhimedean valuation

v

^of

K

^{,if foreahnite eld extension}

L ^′ /K

^inside

L/K

^{and eah valuation}

w ^′

^of

L ^′

extending

v

^,

l ^′ _w ^′ | k v

^{isseparableand}

[L ^′ : K] = [l ^′ _w ^′ : k v ]

^,otherwise

L/K

^{isalledramiedat}

v

^.

In the number eld ase,

Gal(l w /k v )

^{is a nite yli group generated by the Frobenius. If}

w ∈ Σ L \ { 0 }

^{is unramied, wehave}

D w ∼ = Gal(l w /k v )

^{and weantalk of a Frobenius element}

in the deomposition group as well. For

v ∈ Σ K \ { 0 }

^{unramied and}

w, w ^′ ∈ Σ L \ { 0 }

^suh

that

w, w ^′ | v

^{, there is an element}

σ ∈ Gal(L/K)

^{mapping one to the other, i.e.}

σw = w ^′

^.

Thereforetheorrespondingdeomposition groupsare onjugated, i.e.

σD w σ ⁻¹ = D w ^′

^,aswell

astheFrobenius elements. Theotherwayaround,foronjugatesofFrobeniuselementswehave

orrespondingplaesof

L

^.

If we generalize to an arbitrary algebraiGalois extension

L/K

^{, the set of nite plaes}

Σ L

^is

the projetive limit of the system of nite plaes of the nite subextensions of

L/K

^{. This is}

denedviathefollowingonnetionmorphisms: wheneverwehaveasubextension

L/L 1 /L 2 /K

^,

wemap

w 1 ∈ Σ L 1

^to

w 2 ∈ Σ L 2

^,where

w 2

^{is theuniqueplaesuhthat}

w 1 | w 2

^{. Theinertiaand}

deompositiongroupanbedened asprojetivelimitsin thesameway.

Denition2.1.3

For an

ℓ

^{-adi Galois} representation

ρ

^{of a number eld}

K

^{, we say that}

ρ

^{is unramied at}

v ∈ Σ K \ { 0 }

^,if

ρ(I w ) = 1

^{for anyvaluation}

w

^of

K ^sep

^extending

v

^.

Let

ρ

^{be unramied at}

v ∈ Σ K \ { 0 }

^{, then the Frobenius element}

Frob v,ρ

^{in the} representation

ρ

^at

v

^{is the onjugay lass in}

GL(V )

^{of the images of the Frobenius element in}

D w

^{for any}

w ∈ Σ K ^sep \ { 0 }

^extending

v

^:

1 // I w  //

ρ| _Iw

D w

 _

// // Gal(l w /k v ) //

1

G K

ρ

1 // GL(V )

.

AstheFrobenius element

Frob v,ρ

^{isaonjugaylass,its}harateristipolynomial

f v,ρ (x) := det(1 · x − Frob v,ρ ) ∈ Q ℓ [x]

is well-dened. An

ℓ

^-adiGalois representationis rational (respetivelyintegral) ifat almost all nite plaes

v

^{itis unramied,i.e.}

f v,ρ (x)

^{exists, andthe}harateristipolynomialhasrational (respetivelyintegral)oeients.

We will keep to the language of Rihard Taylor(f. [BLGGT10℄), for systemsof

ℓ

^{-adi Galois}

representations.

Denition2.1.4

a) Let

ℓ, ℓ ^′

^{be prime numbers. A rational}

ℓ

^-adiGalois representation

ρ

^andarational

ℓ ^′

^-adi

Galois representation

ρ ^′

^{of the same number eld}

K

^{are ompatible at}

v ∈ Σ K \ { 0 }

^if

they are both unramied at

v

^{and the} harateristi polynomials

f v,ρ (x) = f v,ρ ^′ (x) ∈ Q[x]

oinide.

b) A weakly ompatible system

(ρ ℓ ) ℓ

^{prime of Galois} representations of a number eld

K

onsistsof afamily of rational, semi-simple

ℓ

^{-adi Galois} representations

ρ ℓ

^of

K

^{for eah}

prime number

ℓ

^{andanite set}

S ⊂ Σ K

^{,suhthat the following holds:}

1. For

v ∈ Σ K \ S

^{and prime numbers}

ℓ, ℓ ^′

^{unequal to the} harateristi of

k v

^{, the}

representations

ρ ℓ , ρ ℓ ^′

^{areompatibleat}

v

^.

2. For

v ∈ Σ K

^and

ℓ

^equaltotheharateristi

p v

^of

k v

^,therepresentation

ρ ℓ

^isdeRham

in

v

^{andrystallinein}

v

^if

v 6∈ S

^{(f. Denition2.4.8).}

3. Foreahembedding

τ: K  // Q

^the

τ

-Hodge-Tate numbersof

ρ ℓ

^areindependentof

ℓ

(f. Denition 2.4.9).

) A weakly ompatible system

(ρ ℓ ) ℓ

^{prime is alled irreduible if there is a set}

P

^{of prime}

numbers ofDirihlet density

1

^,i.e.

s→1+ lim | log(s − 1) | ⁻¹ X

ℓ∈P

ℓ ^−s = 1,

suhthat for all

ℓ ∈ P

^therepresentation

ρ ℓ

^isirreduible.

It is also possibleto extend this denition by hoosing anumber eld

M

^insteadof

Q

^{. Inthis}

asethe familyis indexed bythe set ofnite plaes of

M

^andharateristipolynomialsin the ring

M [x]

^{areallowed. Asthisis notneessaryforthiswork,weomitthis andrefertothemore}

general[BLGGT10℄,Denition 1.1.

If

ρ = (ρ ℓ ) ℓ

^{primeisaweaklyompatiblesystemand}

S ⊂ Σ K

^{theniteexeptionalset. Foranite}

plaes

v ∈ Σ K \ S

^theharateristipolynomials

f v,ρ ℓ (x)

^{oftheFrobeniuselementsoinidein}

Q[x]

foralmostall

ℓ

^{,whihwillbealled}

f v,ρ (x)

^{. ThiswillbethekeyingredientinSetion7.1todene}

an

L

^{-funtion foraspeialkindofweaklyompatible systemsof}

ℓ

^-adiGaloisrepresentations.

2.2 Étale Fundamental Group Funtor

π ₁ ^´et

Thisintrodutiontotheétalefundamentalfuntor

π ^{´ et} ₁

^{fromtheategoryofNoetherianseparated}

onnetedshemestotheategoryofgroupsisasinthersthapterof[FK88℄.

Denition2.2.1

a) A ring homomorphism

f : A −→ B

^{of loal ommutative rings with unit isunramied, if}

f (m A ) · B = m B

^{andthe induedeldextension}

A/m A −→ B/m B

^{isnite andseparable.}

b) Let

X , Y

^{be Noetherian separated shemes. The morphism}

f : Y −→ X

^{is étale, if the}

following onditionsaresatised:

1.

f

^{is loally of nitetype.}

2. for every point

x ∈ X

^{the morphism}

f _x ^♯ : O Y,f (x) −→ O ^X,x

isat, unramiedandmakes

O ^{X ,x}

^{anitelygenerated}

O Y,f (x)

^-algebra.

For a Noetherian separated sheme

X

^{, we alla Noetherian separated sheme}

Y

^{with an étale}

morphism

X −→ Y

^{anétaleextensionof}

X

^{. Wedenotethefullsubategoryofétaleextensionsof}

X

^{in the ategory}

Sch( X )

^{of shemesover}

X

^byÉt

( X )

^{(then everymorphismin Ét}

( X )

^{is étale,}

f. [FK88℄, Remark2.2.).

A morphism of Noetherian separated shemes is a overing if it is nite and étale. Again

the full subategory

Cov( X )

^{of overings over}

X

^{in Ét}

( X )

^{has only morphisms whih are}

overings. This is beause an étale morphism is nite, if and only if it is proper (see page

282 of [FK88℄ and [Har06℄,Corollary4.8 (e) ). If we x a geometri point

s : spec(Ω) −→ X

(

Ω

^{separablylosed),wegettheassoiatedfuntorofgeometripointsover}

s Cov( X ) −→ Sets, Y 7→ Y (s) := Hom X (spec(Ω), Y ).

Apointedoveringof

( X , s)

^isapair

( Y , α)

^onsistingof

Y ∈

^Ob

(Cov( X ))

^andan

α ∈ Y (s)

^{. These}

formtheategory

Cov( X , s)

^{togetherwiththemappingof pointedoveringspaes}

f : ( Y ¹ , α 1 ) −→ ( Y ² , α 2 )

whihisan

X

^-morphism

f : Y ¹ −→ Y ²

^satisfying

f ◦ α 1 = α 2

^.

Foraonneted

Y ∈

^Ob

(Cov( X ))

^,wehave

| Aut X ( Y ) | ≤ |Y (s) | ,

asthereisat mostonemorphismfromapointedoveringshemeto aonnetedpointedsheme

(see[FK88℄, (1)). Nowwewillhavealookattheasewhenthereexistsexatlyonemorphism.