Ferien¨ ubung zur

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. W. Stannat

Dipl. Math. Andreas B¨armann Dipl. Math. Walter Reußwig

WS 09/10

Ferien¨ ubung zur

” Mathematik I f. MB/MPE, WIMB, Mech und CE“

Ferienaufgaben

Aufgabe F1 (Komplexe Zahlen)

(a) Skizzieren Sie die Menge M ={re^iϕ∈C|3≤r≤4 und −^π₄ ≤ϕ≤ ³₄π}.

(b) Berechnen Sie z= (1 +i)ⁿ,n∈Nmit Hilfe der Polardarstellung von 1 +i.

Aufgabe F2 (Ebenen)

Gegeben seien die beiden Ebenen E₁ : x₁+x₂ −3x₃ = 2 und E₂ : 2x₁+x₂ +x₃ = 0 in R³. Berechnen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel von E₁ undE₂.

Aufgabe F3 (Konvergenz von Folgen)

Untersuchung Sie diese Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

(a) an= _(n+1)!^n·4n (b) b_n= ⁵ⁿ_(2n+1)³⁻³ⁿ⁺¹3 ·

n−2 n+2

n

(c) cn= 1−_n¹3n

· 1 +_n¹n−3

(d) d_n= (−1)ⁿe¹ⁿ

(e) en=n·cosn (f) fn=q

1 +^√1_n (g) g_n= √ⁿ

3ⁿ+ 5ⁿ (h) hn= ⁽⁻³⁾₂n+6ⁿ⁺⁶ⁿⁿ.

Aufgabe F4 (Konvergenz von Reihen)

Untersuchung Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a)

∞

P

k=1 n+4 n²−3n+1

(b)

∞

P

k=1 (−1)√ ^k

k

(c)

∞

P

k=1 2^k k!

(d)

∞

P

k=1 1

(²⁻k¹)^k

(e)

∞

P

k=2 (−1)^k k·lnk

(f)

∞

P

k=1

(¹⁺k¹)^k

√k

k

(g)

∞

P

k=1

sink· ¹₂k

(h)

∞

P

k=1

(−1)^ke^−k

Aufgabe F5 (Stetigkeit)

(a) F¨ur welche x∈R ist die Funktionf(x) = ₂

x f¨urx6= 0

0 f¨urx= 0 stetig?

(b) L¨asst sich die Funktiong(x) =

( ^√_x+9−3

x f¨urx <0

√x+9−3√

x f¨urx >0 an der Stellex= 0 stetig fortsetzen?

(c) Gibt es einen Wert a∈R f¨ur den sich die Funktion h(x) =

( e^x+1−e

x f¨urx <0

(1 +x)^ax f¨urx >0 an der Stelle x= 0 stetig fortsetzen l¨asst?

(d) An welchen Stellen x ∈R ist die Ableitung der Funktion k(x) =

x²·sin ¹_x

f¨urx6= 0

0 f¨urx= 0

stetig?

Aufgabe F6 (Integrationstechniken)

(a) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

i.

e⁵

R

e lnx

x dx

ii.

π

R4

0

(x·cosx)dx

iii.

e

R

1

√3

lnx x dx

iv.

π

R2

0

p1−sin²xdx

(b) Entscheiden Sie, ob das uneigentliche Integral

∞

R

0 e^x

1+e^2xdx konvergiert.