Mathematisch-
Naturwissenschaftliche Fakultät
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Andreas Prohl
Optimierung mit Differentialgleichungen
Wintersemester 18 Tübingen, 23.10.2018
Übungsaufgaben 2
Problem 1. Sei O ⊂ Rd ein beschränktes Lipschitzgebiet, und f ∈ L2 sei gegeben. Betrachte die Minimierungsaufgabe: Findeu?:O →R, mitu?
∂O= 0, sodaß
J(u?) = min
ϕ:O→R, ϕ ∂O=0
J(ϕ), mit J(ϕ) = 1 2
Z
O
|∇ϕ|2d~x− Z
O
f ϕd~x .
a) Existiert ein Minimum (in welchem Raum)? Ist dieses eindeutig?
b) Wie kann man a) nutzen, um zum Nachweis der Lösbarkeit von: Findeu:O →R, sodaß
−∆u=f inO, u= 0 auf∂O nichtdas Lemma von Lax-Milgram zu verwenden?
Problem 2. Sei1< q <∞, undO ⊂Rdbeschränkt, lipschitz. In der Vorlesung haben wir nachgewie- sen, daß ein Minimiereru?∈W01,q existiert, sodaß
J(u?) = min
ϕ∈W01,q
J(ϕ),
falls die beteiligte FunktionL:O ×R×Rd→RAnnahme (A1) erfüllt.
Zeigen Sie folgende Existenzaussage: Sei 1 < p < ∞, und O ⊂ Rd beschränkt, lipschitz, sowie g∈Lq(∂O). Sei
X:=
ϕ∈W1,q(O);ϕ=gauf∂O 6=∅. Es gelte (A1). Dann existiert einu? ∈X, sodaß
J(u?) = min
ϕ∈X
J(ϕ).
P.S.: Wiederholen Sie im Rahmen dieser Problemstellung den Begriff:Spur(engl. ’trace’) einer Abbil- dungϕ∈W1,q(O).
Problem 3. Sei1 < q < ∞, und O ⊂ Rd beschränkt, lipschitz. Es seiL ∈ C1 derartig, daß für alle
~
x∈ Ogilt:
(z, ~p)7→L(~x, z, ~p) ist konvex.
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Dann ist jede schwache Lösungu∈W1,q0 der Euler-Lagrange-Gleichung auch Minimierer, also J(u) = min
ϕ∈W1,q0
J(ϕ).
Abgabe: 5.11.2018 im Tutorium.
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