12345 Σ Informationen NameVornameMatrikelnummerStudiengang Klausur Stochastikf¨urInformatiker(alt),(6LP)

(1)

TU Berlin, Institut f¨ ur Mathematik SoSe 16

Prof. Dr. Noemi Kurt Dr. Mathias Rafler

Stochastik f¨ ur Informatiker (alt), (6LP)

Klausur

10. Oktober 2016

Name Vorname

Matrikelnummer Studiengang

Informationen

F¨ ullen Sie bitte zuerst das Deckblatt vollst¨ andig und leserlich aus. Vergewissern Sie sich, dass das Aufgabenblatt vollst¨ andig ist.

Schreiben Sie auf jedes von Ihnen benutzte Papier sofort Ihren Namen und Ihr Matrikelnummer.

Bei der Klausur sind 50 Punkte erreichbar. Mit 25 Punkten ist die Klausur bestanden. Als Hilfsmittel darf, wie angek¨ undigt, ein beidseitig handbeschriebenes DIN-A4-Blatt sowie ein nicht programmier- barer Taschenrechner benutzt werden. Weitere Hilfsmittel sind nicht zugelassen.

Geben Sie stets den vollst¨ andigen Rechenweg an. Begr¨ unden Sie Ihre Schritte falls notwendig.

Die Bearbeitungszeit betr¨ agt 90 Minuten.

1 2 3 4 5 Σ

(2)

Aufgabe 1 10 Punkte Ein Mobilfunkanbieter bekommt den Hinweis, dass in 87% seiner vertriebenen Telefone der Akku einen Fehler aufweist. Es l¨ aßt auf diesen Telefonen ein Testprogramm zur Diagnose von Fehlern laufen, das dann entweder einen Fehler meldet oder, sofern es keinen Fehler findet, eine Meldung, dass es kein Problem gibt. 15% aller Meldungen sind Fehlermeldungen. Bei weiterer ¨ Uberpr¨ ufung des Testprogramms wurde festgestellt, dass der Akku in 90%, in denen ein Fehler gemeldet wurde auch tats¨ achlich defekt war. Bezeichne mit F das Ereignis, dass ein Testprogramm eine Fehlermeldung ausgibt und mit A das Ereignis, dass der Akku einwandfrei funktioniert.

(a) Geben Sie P (A), P (F ) und P (A

^c

|F ) an.

(b) Berechnen Sie

(i) P (A|F ), (ii) P (F|A

^c

) (iii) P (A

^c

|F

^c

), (iv) P (A ∩ F

^c

),

(c) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen f¨ ur beliebige Ereignisse B und C wahr oder falsch sind:

(i) P (B ∪ C) = P (B) + P (C);

(ii) P(B ∩ C) = P(B)P(C), so sind B und C unabh¨ angig;

(iii) P (B ∪ C) > P (B).

Aufgabe 2 10 Punkte

Es sei (X

_n

)

n∈N0

eine Markov-Kette mit Zustandsraum {1, 2, 3} und ¨ Ubergangsgraph

1 2 3

1

/

2

1

/

2 1

/

2

1

/

2

1 (a) Geben Sie die ¨ Ubergangsmatrix dieser Kette an. Ist die Kette irreduzibel? (kurze Be- gr¨ undung).

(b) Bestimmen Sie alle ggf. vorhandenen invarianten Verteilungen dieser Kette.

(c) Die Startverteilung der Kette sei ν = (

¹

/

2

,

¹

/

2

, 0)

^T

. Berechnen Sie (i) Die Verteilung von X

2

, (ii) P(X

0

· X

2

= 1).

Aufgabe 3 10 Punkte

Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

F

_X

(x) = (

x²

1+x²

falls x > 0 0 sonst.

(a) Berechnen Sie die Dichte f

X

der Zufallsvariablen X.

(b) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

(i) P (X > 1), (ii) P (

¹

/

2

< X ≤ 2)

(c) Sei Y eine von X unabh¨ angige Zufallsvariable mit gleicher Verteilung wie X. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Zufallsvariablen X und Y ihre Werte im Intervall ]

¹

/

2

, 2] annimmt.

Aufgabe 4 10 Punkte

In einer Produktionslinie werden pro Tag 200 Ger¨ ate auf Funktionsf¨ ahigkeit ¨ uberpr¨ uft. Ein

getestetes Ger¨ at passiert diese Qualit¨ atskontrolle mit 92% Wahrscheinlichkeit. Sei X die Anzahl

Ger¨ ate, welche an einem bestimmten Tag die Kontrolle passieren.

(3)

(a) Welche Verteilung hat X?

(b) Geben Sie E [X] und V (X) an.

(c) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Approximation die Wahrscheinlichkeit, dass min- destens 20 Ger¨ ate die Kontrolle nicht passieren.

(d) Wie viele Ger¨ ate m¨ ussen Sie im Mittel testen, bis zum ersten Mal ein nicht funktionsf¨ ahiges dabei ist?

Aufgabe 5 10 Punkte

Sei θ > 0 ein unbekannter Parameter, und seien X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

unabh¨ angige Zufallsvariablen mit Dichte

f

θ

(x) =

( (θ + 1)x

^θ

falls x ∈ [0, 1]

0 sonst.

(a) Geben Sie die Likelihoodfunktion f¨ ur eine Stichprobe x

1

, . . . , x

n

an.

(b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer ¯ θ

_n

f¨ ur θ.

(c) Gegeben sind die folgenden Korrelationswerte und Plots von Datenpunkten ρ

₁

= 0.99, ρ

₂

= 0.4, ρ

₃

= −0.07, ρ

₄

= −0.92.

(A) (B)

(C) (D)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

(i) Eine korrekte Zuordnung von Plot und Korrelation ist (B) zu ρ

₁

und (C) zu ρ

₃

(ii) Eine korrekte Zuordnung von Plot und Korrelation ist (A) zu ρ

1

und (D) zu ρ

4