Linsen
seit ca. dem 10. Jh. zur Vergrößerung ("Lesestein"), Brillen seit Ende 13. Jh., Teleskop Ende 15. Jh.
n R n R n
R R
f
f f
R h
) 1 ( ) 2 (
) 2 ( sin
sin sin
cos sin cos
sin
sin sin
sin
sin sin
sin
Brechung an einer gekrümmten Grenzfläche (Radius R):
Genähertes Brechungsgesetz für kleine Winkel
R h g
h b
h n n
n n
sin tan
tan
) 2 ( )
1 (
sin ) 2 ( sin ) 1 (
(Näherung!)
Versuch zur Übungsaufgabe: Abstand Gegenstand-Schirm < 4∙f kein scharfes Bild
= 4∙f ein Bild mit Linse in der Mitte > 4∙f zwei mögliche Linsenpositionen
n f n R n
f n R
n n b n g n
b h R n h
g h R n h
) 2 (
) 1 ( ) 2 mit (
) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (
) 2 ( )
1 (
Näherung für dünne Linsen mit n(1) = 1 und n(2) = n:
2 1
1 2
2 1 2
1 1
1
2 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1
R R
R n R
b g
R n R
R n R
n b b
n b
n g
R n b
b n R
n b
n g
Abbildung für dünne Linsen (Dicke d vernachlässigt) "Linsengleichung"
Betrachte unendlich entfernten Gegenstand: Strahlen schneiden sich in 1/b = 1/f
f b g
1 1
1 oder auch (b f)(g f) f2
Abbildungsmaßstab
g f
f g b G B
Hier wurde die Reihenfolge der Brechungsindizes vertauscht und -b1 für die Gegenstandsweite angesetzt 1. Grenzfläche: 2. Grenzfläche:
Dicke Linsen
Sogenannte Hauptebenen werden so definiert, dass ein Lichtstrahl in einer dieser Ebenen die Achse schneidet, bis zur zweiten Hauptebene auf der Achse verläuft und dort die Achse wieder verlässt. Alle Lichtstrahlen verlaufen zwischen den Hauptebenen parallel zur Achse. Anmerkung:
Diese Konstruktion berücksichtigt die endliche Dicke der Linsen korrekt, entspricht aber nicht dem Verlauf des wirklichen Strahls in der Linse (der ja an den Grenzflächen gebrochen wird). Die Formeln
gelten weiterhin, aber
- die Gegenstandsweite wird vom Gegenstand zur ersten (zugewandten) Hauptebene gemessen.
- die Bildweite wird von der zweiten Hauptebene zum Bild gemessen
- der Ausdruck für die Brennweite (auch von den Hauptebenen gemessen) enthält die Linsendicke d (ohne Herleitung)
f b g
1 1
1 bzw. (b f)(g f) f2
R d R n
n R
R R n R
f
2 1
2
2 1
1
2 1
1 1
grau:
Näherung für dünne Linse blau:
gebrochener Strahl rot:
Konstruktion mit Hauptebenen
Abbildungsfehler (Aberration) mit Linsen
Sphärische Aberration: Brennpunkt hängt bei sphärischen Spiegeln und Linsen vom Abstand der Lichtstrahlen von der Achse ab. Kann bei achsennahen Strahlen vernachlässigt werden (paraxiale Näherung), je nach Anspruch an die Genauigkeit. Hängt bei plankonvexen Linsen von der Richtung ab (konvexe Seite zum Lichteinfall ist besser).
Kompensation:
- durch Blende achsenferne Strahlen unterdrücken
- asphärische Linsen oder Kombinationen sphärischer Linsen (Aplanate)
Astigmatismus: Für schräg einfallende Strahlen ist eine sphärische Linse in der Meridional-Ebene (in der die optische Achse liegt, senkrecht dazu: Sagittalebene) perspektivisch verkürzt. Die stärkere Krümmung bewirkt eine kürzere Brennweite. Andere Ursache: unvollkommene, nicht rotations-symmetrische Linse (z.B. beim Auge). Kompensation:
- Zylinderlinse
Koma: Wenn Strahlen unter einem Winkel zur Achse einfallen, hängen Entfernung und transversale Lage des Brennpunkts von der transversalen Lage des einfallenden Strahls ab. Kompensation:
- Aplanate (Elemente ohne sphärische Aberration) haben keinen Komafehler, aber Astigmatismus.
Bildfeldwölbung: Die Bildebene ist keine ebene, sondern eine gewölbte Fläche. Punkte fern der Achse werden unscharf abgebildet. Maßnahmen:
- asphärische Linsen
- gewölbte Bildebene (Kino)
Verzeichnung: Abbildungsmaßstab ändert sich mit der Entfernung von der Achse. Quadrate werden nicht quadratisch abgebildet, sondern tonnenförmig (Weitwinkelobjektiv) oder kissenförmig (bei Ferngläsern manchmal beabsichtigt).
Weitere Fehler: Chromatische Aberration kommt durch die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge zustande (Dispersion). Beugungserscheinungen treten aufgrund der Wellennatur des Lichts auf. Die Bildhelligkeit nimmt i.d.R. von der Mitte zum Rand ab (cos4-Gesetz, Vignettierung), auch Streulicht und Absorption
beeinträchtigen die Bildqualität.
7.3 Prismen
Körper konstanter Höhe mit meist dreieckiger Grundfläche (aber nicht immer, z.B. Pentaprisma einer Spiegelreflexkamera), oft gleichseitiges Dreieck.
Zweck:
- Aufspaltung von Licht durch Dispersion (blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes - normale Dispersion).
- Umlenkung durch Totalreflexion
(keine Brechung, da senkrechter Einfallswinkel) Regel (ohne Beweis):
Kleinste Ablenkung bei symmetrischem Strahlengang
Ebenfalls ohne Beweis (siehe z.B. Demtröder) d 1 dn
Zur sphärischen Aberration:
achsennahe und achsenferne Strahlen schneiden sich nicht im selben Punkt
7.4 Systeme von Linsen, optische Instrumente
Weitere optische Kenngrößen
Fokussierendes oder defokussierendes Element (Linse, Hohlspiegel):
Brennweite Brechkraft
Numerische Apertur
Es ist üblich, den Betrag der bildseitigen Brennweite anzugeben. Sind die äußeren Medien gleich (z.B. Luft), haben bild- und objektseitige Brennweite den gleichen Betrag. Die Brennweite
divergenter Systeme wird oft mit einem Minuszeichen angegeben.
sin NA
(Dioptrie) dpt
1 m 1 1
m 1
1
n f D D
f f
-
Für benachbarte Linsen addieren sich die Brechkräfte (näherungsweise)
2 1
2 1
1 1 1
D D D
f f f
n: Brechungsindex des Mediums (i.d.R. =1)
: halber objektseitiger Öffnungswinkel
Das Auge
- Lichtsinn: Helligkeit
- Becher- und Grubenauge: Einfallsrichtung - Lochauge*: Bildsehen
- Facettenauge: Bildsehen (hohe Zeitauflösung) - Linsenauge: Bildsehen (hohe optische Auflösung) * z.B. Nautiliden (bereits vor 500 Millionen Jahren)
Ersatzdarstellung des Auges: Bildweite 22 mm, Brennweite (entspanntes Auge) bildseitig 22 mm Brechkraft 1/0,022 dpt = 45 dpt
(Giancoli)
Bestandteile des menschlichen Auges (Ø Erwachsene 24 mm, Neugeborene 17 mm)
- Hornhaut, 0,6 mm dick) dahinter Kammerwasser 43 dpt - Linse ca. 4 mm dick, Ø 7-9 mm, 20-30 dpt,
Ziliarmuskeln zur Akkommodation (20-jähriger 10 dpt, 60-jähriger 1 dpt) - Pupille (Öffnung der Iris), variable Blende , Ø 1,5-8 mm
- Glaskörper (gelartig)
- Netzhaut 0,1-0,5 mm dick, Makula (gelber Fleck) 2,0x0,9 mm
120∙106 Stäbchen (max. bei 498 nm), 6∙106 Zapfen (420, 534, 564 nm) Spektralbereich 400-760 nm, dynamischer Bereich hell/dunkel 1:106 - Sehnerv, Ø 4 mm, ca. 106 Nervenfasern
Auflösungsvermögen 1/120 Grad oder 0,15 mrad zeitliche Auflösung 1/60 s
Bildverarbeitung im Gehirn (etwas langsamer 1/20 s), korrigiert Abbildungsfehler, kann aber auch zu
Fehlinterpretationen führen (optische Täuschungen).
kurzsichtig: Auge zu lang, Brennweite zu kurz, Brechkraft zu groß, erfordert Zerstreuungslinse (Brennweite und Brechkraft negativ)
Demonstrationsmodell für Kurz- und Weitsichtigkeit
