GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, TOPOLOGIE UND GEOMETRIE SOMMERSEMESTER 2016
WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER
PD DR. THOMAS TIMMERMANN
INHALTSVERZEICHNIS
Überblick iii
Literatur iii
Teil 1. Mengentheoretische Topologie 1
1. Topologische Räume und stetige Abbildungen 1
2. Konvergenz und Netze 4
3. Produkte und initiale Topologien 7
4. Quotienten und finale Topologien 10
5. Abschluss, Rand und Trennungseigenschaften 12
6. Kompaktheit 14
7. Filter und der Satz von Tychonoff 17
8. Kompaktifizierungen und lokal-kompakte Räume 21
9. Das Urysohnsche Lemma 24
10. Funktionen auf lokal-kompakten Hausdorff-Räumen 27
11. Der Satz von Stone-Weierstrass 30
12. Zusammenhang 33
Teil 2. Die Fundamentalgruppe und Überlagerungen 35
13. Die Fundamentalgruppe eines Raumes 35
14. Die Fundamentalgruppe und Abbildungen 39
15. Die Fundamentalgruppe des Kreises 42
16. Überlagerungen und Hochhebungssätze 45
17. Die Wirkung der Fundamentalgruppe 50
18. Klassifikation von Überlagerungen 54
19. Kategorien und Funktoren 59
Teil 3. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 62
20. Glatte Mannigfaltigkeiten 62
i
21. Untermannigfaltigkeiten 65
22. Approximation durch glatte Funktionen 70
23. Der Tangentialraum 73
24. Ableitungen von Funktionen und glatten Abbildungen 77
25. Das Tangentialbündel 80
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ÜBERBLICK Die Vorlesung gibt eine Einführung in
(1) mengentheoretische Topologie
(topologische Räume und stetige Abbildungen, Netze, Kompaktheit, Approxi- mationssatz von Stone-Weierstraß, Metrisierbarkeit, evt. Partitionen der Eins, Zusammenhang);
(2) Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes
(Fundamentalgruppe/-gruppoid, Windungszahl, Überlagerungen und deren Klas- sifikation);
(3) Grundlagen zu differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel, Tangentialräume und -bündel).
Diese Inhalte sind grundlegend für die drei Vertiefungsmodule
• Funktionalanalysis,
• Topologie,
• Differentialgeometrie,
(1) und (3) darüber hinaus aber auch für fast alle Gebiete der reinen Mathematik.
Die Vorlesung folgt nicht direkt einem Buch. Als Literatur empfehle ich nachfolgende Bücher, die in der Bibliothekt im Semesterapparat zu finden sind. Das Buch [Jän05b]
kann vom Uni-Netz aus als Ebook von www.springerlink.com kostenfrei heruntergela- den werden.
LITERATUR
[Bre93] Glen E Bredon.Topology and geometry, GTM 139. Springer, 1993.
[Jän05a] Klaus Jänich.Topologie. Springer, 2005.
[Jän05b] Klaus Jänich.Vektoranalysis. Springer, 2005.
[Oss92] Erich Ossa.Topologie. Vieweg, 1992.
[Ped12] Gert K Pedersen.Analysis now, volume 118. Springer, 2012.
[Que08] Bv Querenburg.Mengentheoretische Topologie. Springer, 2008.
[Run05] Volker Runde.A taste of topology. Springer, 2005.
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