Darstellung en

2 Beschreibende

Statistik

2.1 Grafische

Darstellung en

Streudiagramm. a

„Funktioniert"

nichtimmer!

0.60 0.64

0.68 0.72

0.76 0.80

0.350.400.450.500.550.600.65

log(Länge)

log(Breite)

0.60 0.64

0.68 0.72

0.76 0.80

0.350.400.450.500.550.600.65

log(Länge)

log(Breite)

DreiDimensionen b :Echtz

eit-Drehung

MehrereV c ariab

lein zwei

Dimensionen:

inkl.Aesthetik:

•

E.T ufte(1983,

1990,1997).

W.Cle

•

veland:

„trellis"-Grafik.

S library(trellis) >

R library(lattice) >

Streudiagramm-Matr d ix.

pairs >

Sepal.Length

4.55.05.56.06.57.07.5 2.02.53.03.54.0

Sepal.Width Petal.Length

1234567

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0

0.51.01.52.02.5

1 2 3 4 5 6 7

Petal.Width

e

coplot >

2.03.04.0

4.5 5.5 6.5 7.5 4.5

5.5 6.5 7.5 4.5

5.5 6.5 7.5

2.03.04.0

4.5 5.5 6.5 7.5

2.03.04.0

4.5 5.5 6.5 7.5 4.5

5.5 6.5 7.5

Sepal.Length

Sepal.Width

1 2

3 4

5 6

Given : Petal.Length

setosa

versicolor

virginica

Given : Species

2.2 Dynamische

Grafik

Dynamischeg a rafische

Elemente.

Darstellungen„be

•

wegen"

Interaktionen:

•

identifyS >

brush >

Linked b Views

. brushing wirkt

sichin versch.

Fenster naus

2.3 Kennzahlen

Mittelwer a t

= x

1 n n

P x

i=1 (j

) i

(empirische) Var

ianz

c ^var h

(

X

) j

= i

2

s 1 =

− n 1 X

n i=1

(

x

) j i

−

(

x

) j 2

Kov b arianz

d ^cov h

(j

X ,X

)

i

(k)

1 =

− n 1 X

n

(

i=1 (

x

) j i

−

(j

x )(x

) k (

) i

−

(k

x )

)

.

Korrelation

b ^ρ h

(j

X ,X

)

i

(k)

d ^cov = h

(j

X ,X

)

i ^{X h}

(k)

c ^var i

) (j

^{X h} c ^var p

i

(k)

.

Mittelwer c t,V

arianz, Kov

arianz, Korrelation

math.einf

− →

acheResultate

aber nichtrob

ust gegenA

usreisser!

Robuste

− →

Methoden,Rg-2d

Rangkorrelation. d

2.4 Matrix-Notation

Daten-Matrix b

= x



 



(1)

x x

1

(2)

..

1

.

(m)

x

1

(1)

x x

2

(2)

..

2

.

(m)

x

2 . . . .

(1)

x x

n

(2) n

..

.

(m)

x

n



 



Sepal-Blätter Länge Nr.

Breite

1 5.1

3.5 4.9 2

3.0 4.7 3

3.2 4.6 4

3.1

Var c iable:

Spalte ,

j

Vektor

(j

x

=

)



 



(1)

x

1 (1)

x

. . . 2 (1)

x

n



  , 

(2)

x

=

 3.5  3.0 3.2 3.1





Beobachtung:Zeile

i x

=

i



 



(1)

x

i (2)

x

i

..

.

(m)

x

i



  ,  x

=

3

4 h 7 . 3.2 i

T

x

=[

i (1)

x

,x

i (2)

,.

i

..

(m)

,x ]

i

,

T

x

=[4

3

7 . 3 , 2] .

(Tfür

„transponier t")

Mittelwer d

P

t.

x

i (j

) i

T

=1

(j

x

, ) T

1

, =[1 1,..., 1]

(j

x

=

) 1

1

n

x

T (j )

T

x

1

= 1

n

x

T 1

=

[1,

4

1, 1, 1]

 5.1 

3.5 4.9

3.0 4.7

3.2 4.6

3.1



=[4  , .825

3.2]

Zentrier e teDaten.

x

=

c

− x x 1

.

T

x

=

c

 5.  1 3.

5 3. 9 4.

0 3. 7 4.

2 3. 6 4.

1



− 

 1  1 1 1

 [4.825,  3.2]

=

 5  1 . . 3

5 3. 9 4.

0 3. 7 4.

2 3. 6 4.

1



− 

 4  825 . . 3

2 3.2 3.2 3.2 4.825 4.825 4.825





=

 0.275 

0

.3 0 − 0.075

.2 0.125 −

0 .1 0 − 0.225 −



. 

Kov f arianz

d ^cov h

(j

X ,X

)

i

(k) 1 − n

=

x

1 (j

) c

x

T (k) c

d ^cov h

(1)

X

(2)

,X

= i

1 − n

[0.275,

1

0.075, 0. −

− 125, 0.225]

 0.3 −  0 0.2 0.1 −





= 0.03

1 − n

x

1 T c

x

c

=



  c ^var

h

(1)

X d ^cov i

h

(1)

X

(2)

,X i d ^cov ...

h

(1)

X

(m)

,X

i

_(m)

,X

(2)

^{X h} d ^cov ... i

(2)

^{X h} c ^var i

₍₁₎

,X

(2)

^{X h} d ^cov

i

^{. . . . . .}

. . .

...

d ^cov h

(

X

) m (1)

,X d ^cov i

h

(

X

) m (2)

,X i c ^var ...

h

(

X

) m

i



 

c ^var = h i X b =

|

Σ

c ^var h i X b =

|

Σ

:V arianz- Kov

arianz-Matr ix

|

b Σ

1 − n

=

1

0.275 h 0.075

0 −

− .125

0.225 − 0 0.2 − 0.3

0.1

 i 0.275 

0.3 − 0.075

0.2 0.125 −

0 . 0 − 225 . 0 −

1





= 0.0492 h

0.0300 0.0300

0.0467 i .

Kov arianzmatr ixist

symmetrisch

var >

b

g

h ρ

(

X

) j (

,X

) k

= i b ^ρ

=

jk

| c

Σ

jk ^jj | c

Σ

q

| c

Σ

kk

Korrelationsmatr

− →

ix

cor >

Sepal.Length

1 0.743 Sepal.Width

1 0.178 0.267 Petal.Length

1 0.332 0.233 0.278 Petal.Width

1

Sepal.Length Sepal.Width

Petal.Length Petal.Width

Einfachste h Kov

arianzmatr ix=

Einheitsmatrix

= I



 1 ... 0

0 ... 1 0

0

^{. . .}

. . .

0 ... 0

1





Var ianzen

=1, unkorrelier

t.

2.5 LineareT

ransformationen undPr

ojektionen

Linearkombinationen a von

Var iablen.

BeispielIr is:

log(Blattfläche)= Konstante +log(Länge)

+log(Breite)

„For m"=log(Breite)

-log(Länge)

= Y + a

b X

1

+

(1)

b X

2

oder (2)

y

=

i

+ a b x

1 (1) i

b + x

2 (2) i

.

y

=

i

+ a

T

b x

i

3

y

− = 0.1+

[1, 1]

4.7 h . 3 2 i

=7

.8

Mittelwer b tv

on

?

Y

= y + a

1 n

X b

i

x

1 (1) i

b + x

2 (2) i

a =

1

+

n

b

1

X x

i (1) i

b +

2

X x

i (2) i

a = + b

1 1 n

X x

i (1)

+

i

b

1 2 n

X x

i (2) i

a = b +

x

1

+

(1)

b x

2

=

(2)

+ a

T

b

x

Var c ianzv

on

?

Y

c ^var h i Y

1 − n

=

1

X (y

i

−

i

) y

2

1 − n

=

1

X

i

+ a

1

b

(1)

x +

i 2

b

(2)

x

−

i

a ( b +

x

1

+

(1) 2

b

(2)

x )

2

1 − n

=

1

X

i

b (

1 (1)

x

−

i (1)

x

b )+

(x

2 (2)

−

i (2)

x

)

2

1 − n

=

1

2

b

1

X (

i (1)

x

−

i (1)

x

2

) b +2

b

1 2

X (x

i (1) i

−

(1)

x

(2)

)(x

−

i (2)

x

)

b +

2 2

X (

i (2)

x

−

i (2)

x

2

)

b =

2 1

c ^var h

(1)

X +2 i b

b

1

d ^cov

2

h

(1)

X

(2)

,X + i

2

b c ^var

2

h

(2)

X i

= b [ ,b

1

]

2

c ^var h

(1)

X d ^cov i

h

(1)

X

(2)

X

i i

(2)

^{X h} c ^var i

₍₂₎

X

(1)

^{X h} d ^cov

b h

1

b

2

i b =

b

T

|

Σ

b

Projektion d Cosinus-Satz fürein

bel.Dreiec k:

Skalarprodukt

T

b x

=Seitenlänge i

Seitenlänge

×

cos(Zw.wink

×

el)

T

b x

=

i

k kk b x k

i

h cos b,x i

i

,

k

(

k c

:Länge desV

ektors

=W

c

urzel

k

aus

k c p =

T

c

)

c

b

1

ⁱ

x

1

e ^x

i

i

ⁱ

b,x h ∠

HH HH HH HH

HH HH

B B B B B B B B B

b

1

ⁱ

x

1

e ^x

i

i

ⁱ

b,x h ∠

HH HH HH HH

HH HH

B B B B B B B B B

e ^x

=„Projektion" i

von

x

aufRichtung i

von

b

Länge

k x k

i

h cos b,x i

i

b = x

T

/

i

k k b

Wähle so,dass

b k

k b

.Dann

=1

ist

y

=

i T

b

x

=Längen i

derProjektionen der

x

auf i

.

b

Für

=2 m

:

= b cos h

h i β

h sin

i β

i

LineareT e ransf

ormation.

= Y + a

B

= X

− h 0 0.1 i + 1 h

1 1 −

1 i X

Mittelwer f ts-Vektor

= y + a

B

.

x

Var ianzen

der

(k

Y

:er )

ledigt.K ovar ianz?

d ^cov h

(1)

Y

(2)

,Y

= i

T

b

|

Σ

1

b

. 2

c ^var h i Y B =

c ^var h i X

T

B

= 1 h

1 1 −

1 0 ih

0492 . . 0

0300 0.0467 0.0300

1 ih

1 1 − 1

i

= 0 h

.0208

0.0128 .0128 0

0.0751 i .

T

B

transponier teMatr

ix .

B

Herleitung g eleganter:

= y a 1

+

T T

xB

=

 1  1 1 1

 [a,  0]+

 5.1 

3.5 9 . 4

. 3

0 3.2 3.1 4.7 4.6

 h 

− 1

1 1 1

i

T

y

1

= 1

n

y

T 1

=

1

n

1

T T

a

1

+ 1

n

xB

T

=

T 1 n T

na

x + B

T T

= y + a

B x

=

− h 0

.1 0

i + 1 h

1 1 −

1 4.825 ih

3.2 i

= 7.925 − h

1.625 i .

c

y y =

1 −

T

y a =1

+

T T

xB

1( −

T

a x +

B

T

)=

T

x ( 1 −

T

x B )

T

x = B

c T

c ^var h i Y

1 − n

= y

1 T c

y

=

c 1 − n

Bx

1 T c

x B

c

=

T

c ^var B h i X

T

B

muss

B

nichtquadr atischsein.

Spezialfall

= B

T

b

Zwei h Transf

ormationen.

∗

Y a =

+

∗

∗

B X,

∗∗

Y a =

+

∗∗

∗∗

B

∗

Y

∗∗

Y a =

+

∗∗

∗∗

B

∗

a B +

B

∗∗

X

∗

e ^a = B +

X e

c ^var h

∗∗

Y

= i

∗∗

B c ^var h

∗

Y B i

∗∗

=

T

∗∗

B

∗

B c ^var h i X

∗

B B

T

∗∗

T

B = c ^var e h i X e B .

T

Mansieht:

e B

=(

T

∗∗

B

∗

B

T

) B =

T ∗

∗∗

B

wieaus T

Lin.Alg.bekannt.

DieIdentität. i Transf ormation,

diegar nichtsv

erändert?

= X



 0 0

. . .

0

 + 



 1 ... 0

0 ... 1 0

0

^{. . .}

. . .

0 ... 0

1







 

(1)

X

(2)

X

. . .

(m)

X



 

=0 I +

X.

Rücktr j ansfor

mation,in verse Matrix.

= X

−

B (Y

1

− )= a

"

2

1 1 −

2 ²

1

²

1

#

(1)

Y

(2)

Y h − a 0 i ,

−

B

Inverse 1

von ,

B

−

B B

1

I =

Inverse kannes

nur zuquadr

atischenMatr izen

geben,

abernicht allequadr

atischenMatr izen

habeneine Inverse

.

reguläre

− →

oder inver tierbare

Matriz envs . singuläre

Standardisierung. k Univar iateStatistik:

Stichprobestandardisieren,

z

=(

i

x

−

i

)/ x b ^σ

.

Multivar iat:

gegeben,

x

− →

,

x

|

b Σ

Gesuchtlineare Transf

ormation zu

,so

z

dass

=0 z c ^var

und

h i Z I =

.

=0 z

einfach zuerreichen:

z

=

i

x

−

i

.

x

c ^var

Für

h i Z I =

brauchen wirein

Resultatder lin.Alg.:

|

b Σ

istsymmetr ischund

positivsemidefinit

⇔

T

b

|

b Σ

≥ b

fürbel.

0

.

b

Satz:Es gibt

,so

B

dass

T

BB b =

|

Σ

–sogar viele!

∞

Cholesky-Zerlegung liefer

teine davon,

eineDreiec ksmatrix

= B 0 h 222 .

0 0.168 0.135

i

0.222 h

0 0.168 0.135

0.222 ih

0.135 0

0.168 i

= 0.0492 h 0.

0300 0. 0.0300

0467 i .

Setze

= z (x C

b ^µ) −

,

= C

−

B

,und 1

prüfe!

z

=

i

(x C

−

i

− x)=

C + x C x

i

= z (x C

x)= − 0

c ^var h i Z C =

|

b ΣC

=

T

CB

T

B

T

C CC =

1 −

C (

1 − T

)

T

C I =

.

Zielerreicht!

...falls inver

C

tierbarist

b ⇔

|

Σ

nichtsingulär

= C 4.51 h

0 5.94 3.62 −

i z ,

x = C

c

=

T

 0.153 

1.781 − 1.063

1.188 0.564 −

0 0.594 − 0.652 −





Rotation,or l thogonaleT

ransf ormation.

Drehungen und Spiegelungen

lassen

dieLängen von

Strecken unddie

„For men"v

onFiguren unveränder

t.

Drehungenum denNullpunkt

ohneoder mitSpiegelung

anv ert.

Achse:

= B cos h h i β sin −

h

i i β β h cos i β h sin

i

resp.

=

− h h cos

i β h sin

i β β h cos i β h sin

i i

−2

−1 0

1 2

3 4

5 6

7

01234

Transf m ormation

rückgängig machen!Drehung

−

um

.

β ^{i β h− sin − i β h− cos} h

h− sin i β h− cos

i β i

= cos h

h i β h sin

i β β h cos i β h sin −

i i B =

.

T

T

B B =

1 −

,oder

T

B

= B I .

Auch fürSpiegelungen.

„orthogonale

− →

Matriz en"und

Transf ormationen.

Längenv onV ektoren

k y k

i

=

2 T

y y

i

=

i T

x

B

i

B

T

x

=

i T

x

I

i

x

=

i T

x

x

i

=

i

k x k

i

.

2

Anmerkung.

Drehungenmit Verschieb

ungebenso .

*

n Lösungenv

on

= BB

|

b Σ

?

Wenn

B

eineLösung c

ist,dann auch

B B

c

mitor o

thog.

B

,denn o

B B

c

(

o

B B

c

)

o

=

T

B B

c

B

o T o T

B

=

c

B IB

c T c

B = B

c T c

b =

|

Σ

.

Umgekehr t:Zw eiLösungen

unterscheidensich immerum

eineor thog.Mx.

Anschaulich:Standardisier teDaten

mitor thogonalerMatr

ixtr ansfor

mieren

bleiben

− →

standardisiert.

(Standardis.-T .,dann orthogonale)

=wieder eineStandardis

.-T.

Basis-Transf o ormation.

StattDrehung allerPunkte

um Drehungdes

β

Koordinatenkreuz

−

esum

β

beideV orstellungenführen

zuden gleichen„neuen

Koordinaten"

y

. i

2.6 Projektion

Pursuit

Grundidee a .

Explorativ em ultivar

iateStatistik sollinteressante

Strukturen

inden Datenfinden.

Werden evtl.

sichtbarbei geeigneterV

eränderung desK

oordinatensystems

Suchenach

„Richtungenim Raum",die

interessanteStr ukurenz

eigen.

Manuelle b Suche.

InteressanteProjektionen c mit

numer ischerOptimier

ung eines

„Interessantheits-Masses"einer Projektion,

Projektionsindex

Q

*

d

h Q + a i by

Q = h i y

Genaueressiehe Block

Mu-2b.

Merkpunkte BeschreibendeStatistik

Grafische

•

Methodener laubenauch

dieDarstellung

von mehrerenV

ariab lenmit

Symbolen,F arben,etc.

Dynamischeund

•

interaktiv eGr

afikbietet zusätxlicheMöglichk

eiten.

WichtigsteK

•

ennzahlen:Mittelw ertsv

ektorund Kov

arianzmatr ix;

Korrelationsmatr ix

LineareT

•

ransf ormation

führtzu einfachen

Regeln:

= y + a

B

,

x c ^var

h i Y B =

c ^var h i X

T

B

.

Standardisierung:

• z

=

i

(x C

−

i

,

x)

= C

−

B

, 1 T

BB

b =

|

Σ

Orthogonale Transf

ormation (resp.Matr

ix):

T

BB I =

Basis-Transf ormation

äquivalent zu(nicht-sing.)

linearerT .