Be- stimmex, y∈P2 derart, dassV \Γ(f) ={x, y}

Universit¨at Konstanz Sebastian Gruler Fachbereich Mathematik und Statistik Christoph Hanselka

Wintersemester 2011/2012 Markus Schweighofer

Ubungsblatt 13 zur Algorithmischen Algebraischen Geometrie¨

Aufgabe 1.

Im folgenden verwenden wir die Notation aus Aufgabe 3 auf dem letzen Blatt, wobei n= 2 undC =C. Seif = _T2¹−4 ∈C(T). Betrachtef als Abbildung vonA¹\ {±2} nach A¹ und bezeichne Γ(f)⊆A² den Graphen von f.

(a) Zeige, dass Γ(f) eine irreduzible affine C-Variet¨at ist.

(b) Sei V der projektive Abschluss von Γ(f). Dabei identifizieren wir A² mit U₀. Be- stimmex, y∈P² derart, dassV \Γ(f) ={x, y}.

(c) Sei außerdemz := (0, f(0))∈A². Zeichne jeweils ϕ⁻¹_i (V)∩R² f¨ur i∈ {0,1,2} und skizziere jeweils die Lage vonx,y und z.

(d) Finde einen (Vektorraum-)Automorphismus Φ vonC³ und eine Abbildungϕ:P² → P² derart, dass das Diagramm

C^{3 Φ //}

π

C³

π

P^{2 ϕ //}P²

kommutiert und dass ϕ(x) = (−1,0) und ϕ(y) = (1,0) als Punkte in A² = U0

aufgefasst und zeichneϕ(V)∩R², wobeiR² ⊆A²=U₀⊆P².

Aufgabe 2. (Fortsetzung von Aufgabe 1 auf Blatt 12)

Erkl¨are sehr ausf¨uhrlich und im Detail, warum verschiedene Resultate aus der Vorlesung zusammen mit demSINGULAR-Code auf der R¨uckseite dieses Blatts zeigen, dass

{(3 cosϕ+ cos(9ϕ),3 sinϕ+ sin(9ϕ))|ϕ∈[0,2π)}=

{(y₁, y₂)∈R² |y₁¹⁸+ 9y¹⁶₁ y²₂−18y₁¹⁶+ 36y₁¹⁴y₂⁴−144y₁¹⁴y₂²+ 27y¹⁴₁ + 84y₁¹²y⁶₂−504y₁¹²y₂⁴ + 189y₁¹²y₂²+ 150y₁¹²+ 126y¹⁰₁ y⁸₂−1008y¹⁰₁ y⁶₂+ 567y¹⁰₁ y⁴₂+ 900y¹⁰₁ y₂²+ 873y¹⁰₁ + 126y₁⁸y₂¹⁰

−1260y₁⁸y⁸₂+ 945y⁸₁y₂⁶+ 2250y₁⁸y⁴₂+ 4365y⁸₁y₂²−34128y₁⁸+ 84y₁⁶y¹²₂ −1008y⁶₁y¹⁰₂ + 945y⁶₁y₂⁸ +3000y₁⁶y₂⁶+8730y₁⁶y⁴₂+1123200y₁⁶y₂²+30720y₁⁶+36y⁴₁y₂¹⁴−504y⁴₁y₂¹²+567y⁴₁y₂¹⁰+2250y⁴₁y₂⁸ + 8730y₁⁴y⁶₂−2724192y⁴₁y₂⁴+ 92160y₁⁴y²₂+ 147456y₁⁴+ 9y₁²y₂¹⁶−144y²₁y₂¹⁴+ 189y₁²y¹²₂ +900y₁²y₂¹⁰+4365y₁²y₂⁸+1123200y²₁y⁶₂+92160y₁²y⁴₂+294912y₁²y²₂+y₂¹⁸−18y₂¹⁶+27y¹⁴₂ +150y₂¹²

+ 873y¹⁰₂ −34128y⁸₂+ 30720y₂⁶+ 147456y₂⁴−16777216 = 0}.

LIB "poly.lib"; // for having the "substitute" command

proc Re(poly p) {return(reduce((p+conj(p))/2,J))} // real part

proc Im(poly p) {return(reduce(-ii*(p-conj(p))/2,J))} // imaginary part ring R=0,(ii,x0,x1,x2,y1,y2),lp;

ideal J=ii^2+1; // imaginary unit

map conj=R,-ii,x0,x1,x2,y1,y2; // complex conjugation poly f1=3*x1*x0^8+Re((x1+ii*x2)^9);

poly f2=3*x2*x0^8+Im((x1+ii*x2)^9);

poly g=x1^2+x2^2-x0^2;

ideal I=f1-x0^9*y1,f2-x0^9*y2,g; // homogeneous in the x-variables /* projective elimination of the x-variables */

ideal G0=groebner(substitute(I,x0,1));

ideal G1=groebner(substitute(I,x1,1));

ideal G2=groebner(substitute(I,x2,1));

int i;

for (i=1; i<=size(G0); i++) {print(variables(G0[i]),"%s");}

for (i=1; i<=size(G1); i++) {print(variables(G1[i]),"%s");}

for (i=1; i<=size(G2); i++) {print(variables(G2[i]),"%s");}

G0[1]==G1[1];

G0[1]==G2[1];

G0[1]; // the polynomial defining the projection on the y-space /* exclude solutions at infinity */

groebner(substitute(I,x0,0));

/* exclude non-real solutions */

substitute(f2,x1,y1,x2,y2)==substitute(f1,x1,y2,x2,y1); // detect symmetry ring A=0,(ii,a,b,c,d),lp;

map conj=A,-ii,a,b,c,d; // complex conjugation map phi=R,ii,1,a+b*ii,c+d*ii,0,0;

ideal J=ii^2+1; // imaginary unit

ideal K=Im(phi(f1)),Im(phi(f2)),Re(phi(g)),Im(phi(g));

ideal H=groebner(K);

H[1];

Abgabe bis Montag, den 30. Januar 2012, 10:14 Uhr in die Zettelk¨asten neben F411.