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Wendepunkte, Krümmung – Lösung
1.
f ′ ( ) x = x
3+ 2 x
2− x − 2
,f ′ ( ) x = 0
, durch probieren:x
1= 1
2 2
) 3 3 (
3 ) (
2 3 )
1 ( : ) 2 2
(
2 2 2 3
2 2
3
−
−
−
−
−
−
+ +
=
−
−
− +
x x x
x x x x
x x x
x x x
x
2+ 3 x + 2 = 0
x
2= − 1
;x
3= − 2
( ) = 3
2+ 4 − 1
′′ x x x
f f ( ) 1 = 3
125 ,f ′′ ( ) 1 = 6 > 0
Min ( 1 | 3
125)
;( ) − 1 = 6
121f
,f ′′ ( ) − 1 = − 2 < 0 Max ( − 1 | 6
121)
( − 2 ) = 5
32f
,f ′′ ( − 2 ) = 3 > 0
Min ( − 2 | 5
32)
2. Bestimmen des Scheitelpunkts durch Scheitelpunktsform oder 1.Ableitung gleich Null setzen: −2|3
Funktion verläuft:
sms für x ∈ ] − ∞ ; − 2 ]
,smf für x ∈ [ − 2 ; + ∞ [
Funktion verläuft achsensymmetrisch zu x=−2,
W = [ − ∞ ; 3 [
3. Betrachtet wird die Funktion =
− 4 + 12 .
a) Keine spezielle Symmetrie da Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten.
Nullstellen: = 0, , = 6
b) ′ = − 8 + 12 ′ = 0 setzen = 2, = 6 Aufgrund des Verlaufs der Funktion (Hoch3-Funktion von l.u. nach r.o.) folgt:
2|10,67 ist ein Maximum 6|0 ist ein Minimum
Monotoniebereiche: sms für ∈ −∞; 2 und ∈ 2; +∞
smf für ∈ 2; 6
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c) ′′ = 2 − 8 ′′ = 0 setzen = 4
′′ < 0 für < 4 also auf ∈ −∞; 4 rechtgekrümmt > 0 für > 4 also auf ∈ 4; +∞ linksgekrümmt Wendepunkt bei "4|5,33 da Krümmungswechsel.
d) Steigung beim Wendepunkt: ′4 = −4 WP und Steigung einsetzen in $% = & + ' Ergibt: $% = −4 + ()
4. Vorgehen wie bei Aufgabe 3, Ergebnisse siehe Graph:
-2 -1 1 2 3 4
-2 -1 1 2 3
x y
O
y = 0,5x3 – 1/8x4 yT = 2x – 2
2 4 6
2 4 6 8 10
x y
O
y = 1/3x3 – 4x2 + 12x yT = -4x + 64/3
