Nuss-Projekt 1 Numerische Simulation und analytische Vergleichs- rechnung eines Keilprofiles 1 Aufgabenstellung und Lehrziele

Nuss-Projekt 1

Numerische Simulation und analytische Vergleichs- rechnung eines Keilprofiles

1 Aufgabenstellung und Lehrziele

1.1 Aufgabenstellung

Im folgenden Anwendungsbeispiel soll ein Keilprofil in einer Überschallströ- mung mit einer Anströmmachzahl von M₀ = 3.0 bei verschiedenen Anstell- winkeln von 0 bis 20^◦ mit Hilfe des am IAG entwickelten Finite-Volumen Codes HYDSOL berechnet werden. Das für die Simulation zu benutzende Gitter wird zur Verfügung gestellt. Zu untersuchen sind dabei die qualita- tiven Strömungsverläufe (Stöße, Verdünnungsfächer und Entropietrennflä- chen) wie auch quantitative Aussagen über die aerodynamischen Beiwerte, die am Ende der Übung von den einzelnen Gruppen zu einer Polaren zusam- mengesetzt werden. Da bei diesem Beispiel eine theoretische Vergleichslösung der Strömung mit Hilfe der Stoß-Expansions Theorie vorliegt, soll zunächst diese analytische Lösung mittels eines Maple Worksheets hergeleitet werden.

Danach sind die mit HYDSOL gewonnenen numerischen Ergebnisse mit der Theorie kritisch zu vergleichen.

1.2 Lehrziele

• Anwendung eines bestehenden Finite-Volumen Codes auf unstruktu- rierten Gittern

• Einführung in das symbolische Mathematikprogramm Maple

• Einführung in das Visualisierungsprogramm IBM Open DX

• Verständnis der grundlegenden Phänomene einer Überschallströmung

• Mathematische Umsetzung der Grundgleichungen supersonischer Strö- mungen

• Teamarbeit

1

(0) (1)

(2)

(3)

(4) (5)

Abbildung 1: Konfiguration 1 mit drei Stößen

1.3 Benötigte Software

• Linux

• Maple

• HYDSOL

• IBM OpenDX

1.4 Gegebene Größen

• M0 = 3.0

• a0 = 0.0,2.0,4.0, ...20.0^◦

• p₀ = 1.0

• ρ0 = 1.0

• γ = 1.4

• l = 2.0, h= 0.2

• θ = arctan^2h_l

2

(0) (1)

(2)

(3)

(4) (5)

Abbildung 2: Konfiguration 2 mit drei Expansionsfächern

2 Benötigte Formeln

2.1 Allgemeine Beziehungen

Definition der Schallgeschwindigkeit

c=

γp

ρ (1)

Definition der Machzahl

M = V

c (2)

Ideale Gasgleichung

p

ρ =R·T (3)

Isentropenbeziehungen für Dichte und Druck:

ρ1 =ρ0

1 + ^γ−1₂ M₀² 1 + ^γ−1₂ M₁²

_γ−1¹

(4) 3

p₁ =p₀

1 + ^γ−1₂ M₀² 1 + ^γ−1₂ M₁²

_γ−1^γ

(5)

2.2 Stoßformeln

tan(σ₁−(θ−α)

tan(σ1) = 2 γ+ 1

1

M₀²sin²(σ1) +γ−1

γ+ 1 (6)

ρ1 =ρ0 tan(σ1)

tan(σ1−(θ−α)) (7)

M0n1 =M0sin(σ1) (8)

p₁ =p₀ 2

1 +γ(γM_0n1² −γ−1

2 ) (9)

M_1n =

1 + ^γ−1₂ M_0n1² γM_0n1² − ^γ−1₂

¹₂

(10)

M₁ = M_1n

sin(σ1−(θ−α)) (11)

2.3 Expansionsfächer

Definition der Prandtl-Meyer Funktion:

ν(M) =

γ+ 1

γ−1arctan

γ−1

γ+ 1(M²−1)−arctan√

M² −1 (12)

Relation über den Fächer

ν(M1) =ν(M0) + (α−θ) (13)

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